دليل: المثلث القائم والدائرة

قواعد أساسية:

مجموع زوايا المثلث:

$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ$. إذا كان المجموع لزاويتين $= 90^\circ$ فالثالثة قائمة.

شعاعان لنفس الدائرة:

إذا كانت E و C على دائرة مركزها B فإن $BE = BC$ (المثلث EBC متقايس الضلعين).

المثلث القائم:

المركز القائم = رأس الزاوية القائمة؛ مركز الدائرة المحيطة = منتصف الوتر، والشعاع نصف الوتر.

محور تناظر المثلث متقايس الضلعين هو المستقيم المار بالقمة الرئيسية ومنتصف القاعدة، وهو عمودي على القاعدة.

أخطاء شائعة:

المركز القائم لمثلث قائم

ليس خارج المثلث: إنه رأس الزاوية القائمة نفسه.

نصيحة:

كلما رأيت "دائرة مركزها B وشعاعها يساوي ضلعًا"، فكّر فورًا في مثلث متقايس الضلعين قمته B.

المثلثات — التمرين رقم 7

دفواراتي
المثلث القائم والدائرة والمراكز — 7 أساسي
تمرين 7
  1. ارسم مثلثًا ABC بحيث $BC = 5\ \text{cm}$ و $\widehat{ABC} = 40^\circ$ و $\widehat{ACB} = 50^\circ$.
  2. احسب $\widehat{BAC}$ ثم استنتج طبيعة المثلث ABC.
  3. ارسم دائرة مركزها B وشعاعها $5\ \text{cm}$ تقطع (AC) في نقطة ثانية E.
    1. أثبت أن المثلث EBC متقايس الضلعين قمته B.
    2. استنتج $\widehat{BEC}$.
    3. ماذا يمثل (AB) بالنسبة للقاعدة [EC] ؟ علل جوابك.
  4. ارسم [CI] موسط المثلث BEC من C، يقطع [AB] في G. ماذا يمثل G بالنسبة للمثلث BEC ؟
  5. اذكر المركز القائم ومركز الدائرة المحيطة بالمثلث ABE ثم ارسمها.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • س2: $\widehat{BAC} = 180^\circ - \widehat{ABC} - \widehat{ACB}$. قارن الناتج بـ $90^\circ$.
  • س3-أ: E و C على نفس الدائرة مركزها B $\Rightarrow BE = BC$.
  • س3-ب: في المثلث المتقايس الضلعين الزاويتان عند القاعدة متساويتان، و $\widehat{EBC} = \widehat{ABC}$.
  • س3-ج: المستقيم المار بالقمة الرئيسية B وعمودي على القاعدة هو محور التناظر.
  • س5: المثلث ABE قائم في A، فمركزه القائم A ومركز دائرته المحيطة منتصف الوتر [BE].

📝 الطريقة

2) $\widehat{BAC} = 180^\circ - 40^\circ - 50^\circ = 90^\circ \Rightarrow$ المثلث ABC قائم في A.

3-أ) E على الدائرة مركزها B وشعاعها $5 = BC \Rightarrow BE = BC \Rightarrow$ EBC متقايس الضلعين قمته B.

3-ب) $\widehat{EBC} = \widehat{ABC} = 40^\circ \Rightarrow \widehat{BEC} = \widehat{BCE} = \dfrac{180^\circ - 40^\circ}{2} = 70^\circ$.

3-ج) (AB) يمر بالقمة الرئيسية B وعمودي على [EC] (لأن $\widehat{BAC} = 90^\circ$) $\Rightarrow$ (AB) ارتفاع ومحور تناظر للمثلث EBC.

4) [CI] موسط من C، و (AB) يحمل الموسط من B $\Rightarrow G$ تقاطع موسطين $\Rightarrow$ مركز ثقل BEC.

5) ABE قائم في A $\Rightarrow$ مركزه القائم A، ومركز دائرته المحيطة منتصف [BE].

✅ الحل الكامل

2) حساب $\widehat{BAC}$ وطبيعة المثلث :

$$\widehat{BAC} = 180^\circ - \widehat{ABC} - \widehat{ACB} = 180^\circ - 40^\circ - 50^\circ = 90^\circ$$

$\Rightarrow$ المثلث ABC قائم الزاوية في A.

3-أ) المثلث EBC متقايس الضلعين :

E تقع على الدائرة التي مركزها B وشعاعها $BC = 5\ \text{cm}$، إذًا $BE = BC = 5\ \text{cm}$، ومنه المثلث EBC متقايس الضلعين قمته الرئيسية B.

3-ب) حساب $\widehat{BEC}$ :

المثلث EBC متقايس الضلعين ($BE = BC$) $\Rightarrow \widehat{BEC} = \widehat{BCE}$. وبما أن E تقع على نصف المستقيم [AC) فإن $\widehat{EBC} = \widehat{ABC} = 40^\circ$، إذًا :

$$\widehat{BEC} = \widehat{BCE} = \dfrac{180^\circ - 40^\circ}{2} = \dfrac{140^\circ}{2} = 70^\circ$$

3-ج) (AB) بالنسبة لـ [EC] :

المثلث EBC متقايس الضلعين قمته B، والمستقيم (AB) يمر بالقمة الرئيسية B. وبما أن $\widehat{BAC} = 90^\circ$ فإن A هو المسقط العمودي لـ B على (EC). إذًا (AB) هو الارتفاع الصادر من B في المثلث EBC، أي $(AB) \perp [EC]$، وهو أيضًا محور تناظر المثلث EBC (والموسط العمودي للقاعدة [EC]).

4) النقطة G :

I منتصف [BE] $\Rightarrow$ [CI] موسط المثلث BEC من C. ومن جهة أخرى، (AB) محور تناظر المثلث المتقايس الضلعين فهو يحمل الموسط الصادر من القمة B. إذًا $G = [CI] \cap [AB]$ هي تقاطع موسطين من مواسط المثلث BEC، ومنه G هو مركز ثقل المثلث BEC.

5) المركز القائم ومركز الدائرة المحيطة بالمثلث ABE :

بما أن E على (AC) فإن $\widehat{BAE} = \widehat{BAC} = 90^\circ$، إذًا المثلث ABE قائم الزاوية في A.

  • المركز القائم للمثلث القائم هو رأس الزاوية القائمة $\Rightarrow$ A.
  • مركز الدائرة المحيطة هو منتصف الوتر [BE]، نسمّيه I، والشعاع :
$$R = \dfrac{BE}{2} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5\ \text{cm}$$