التمرين رقم 3 — المثلثات

الموسط العمودي والمثلث متقايس الأضلاع — 7 أساسي

تمرين 3

ارسم مثلثًا ABC بحيث $\widehat{BAC} = 70^\circ$ و $\widehat{ABC} = 60^\circ$ و $AB = 6\ \text{cm}$، ثم ابنِ الموسط العمودي $\Delta$ للقطعة [AB] يقطعها في I ويقطع (BC) في E.

1. بيّن أن $EA = EB$.
2. احسب $\widehat{EAB}$ و $\widehat{AEB}$ ثم استنتج أن المثلث AEB متقايس الأضلاع.
ارسم (Ax] منصف الزاوية $\widehat{EAB}$ يقطع [EI] في O.
1. بيّن أن [EI) هو منصف الزاوية $\widehat{AEB}$.
2. ارسم الدائرة المحاطة بالمثلث AEB.
لتكن M منتصف [EB]. ما هي طبيعة الرباعي AIBM ؟ علل جوابك.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

س1: كل نقطة على الموسط العمودي تبعد نفس المسافة عن طرفَي القطعة، إذًا $EA = EB$. وبما أن E على (BC) فإن $\widehat{EBA} = \widehat{ABC}$.
س2: I منتصف [AB] و E على الموسط العمودي، إذًا [EI] محور تناظر للمثلث AEB المتقايس الأضلاع.
س3: M و I منتصفا ضلعين؛ استعمل خاصية الواسط وتساوي الأطوال لتحديد نوع الرباعي AIBM.

📝 الطريقة

1-أ) E تنتمي إلى الموسط العمودي لـ [AB] $\Rightarrow EA = EB$.

1-ب) المثلث EAB متقايس الضلعين $\Rightarrow \widehat{EAB} = \widehat{EBA}$. وبما أن E على (BC) فإن $\widehat{EBA} = \widehat{ABC} = 60^\circ$، ثم احسب $\widehat{AEB}$.

2-أ) [EI] الموسط العمودي لـ [AB] هو محور تناظر للمثلث المتقايس الأضلاع، فهو منصف الزاوية الرأسية $\widehat{AEB}$.

2-ب) مركز الدائرة المحاطة O = تقاطع المنصفات، وشعاعها ✍️ حساب الشعاع سيُدرَج لاحقًا.

3) [IM] واسط يوازي [AE]، مع $AI = BM$ و $AI \parallel BM$ $\Rightarrow$ رباعي خاص؛ قارن الأطوال.

✅ الحل الكامل

1-أ) إثبات $EA = EB$ :

E تنتمي إلى الموسط العمودي $\Delta$ للقطعة [AB]. وبخاصية الموسط العمودي، كل نقطة عليه تبعد نفس المسافة عن A وعن B :

$$EA = EB$$

1-ب) حساب الزوايا :

المثلث EAB متقايس الضلعين ($EA = EB$) ومنه $\widehat{EAB} = \widehat{EBA}$. وبما أن E تقع على (BC) فإن $\widehat{EBA} = \widehat{ABC} = 60^\circ$، إذًا :

$$\widehat{EAB} = \widehat{EBA} = 60^\circ$$

$$\widehat{AEB} = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$$

الزوايا الثلاث تساوي $60^\circ$، إذًا المثلث AEB متقايس الأضلاع.

2-أ) [EI) منصف الزاوية $\widehat{AEB}$ :

I منتصف [AB] و E على الموسط العمودي لـ [AB]، إذًا [EI] هو الموسط العمودي لـ [AB]. وبما أن المثلث AEB متقايس الأضلاع، فإن [EI] (الصادر من الرأس E نحو منتصف القاعدة) هو أيضًا منصف الزاوية الرأسية، ومنه [EI) منصف الزاوية $\widehat{AEB}$.

2-ب) الدائرة المحاطة بالمثلث AEB :

مركزها $O = (Ax] \cap [EI)$ (تقاطع منصفَي زاويتين). شعاعها بدلالة الضلع $a = AB = 6\ \text{cm}$ :

✍️ حساب الشعاع سيُدرَج لاحقًا

3) طبيعة الرباعي AIBM :

I منتصف [AB] و M منتصف [EB]، إذًا [IM] هو الواسط في المثلث AEB، فهو يوازي [AE] وطوله نصفه. ولدينا :

$$AI = \dfrac{AB}{2} = 3\ \text{cm}, \qquad BM = \dfrac{EB}{2} = 3\ \text{cm}$$

(لأن $AB = EB = 6\ \text{cm}$ في المثلث المتقايس الأضلاع). وبما أن $AI = BM$ وهما متوازيان، فإن AIBM متوازي أضلاع. وبما أن $AI = IM = 3\ \text{cm}$ (أضلاع متتالية متساوية)، فهو معيّن.

دليل المثلثات: الموسط العمودي والدائرة المحاطة

قواعد أساسية:

أخطاء شائعة:

الخلط بين المحاطة والمحيطة

نصيحة:

المثلثات — التمرين رقم 3

💡 مؤشر

📝 الطريقة

✅ الحل الكامل