منصف الزاوية هو نصف مستقيم يقسم الزاوية إلى زاويتين متقايسـتين.
\( \widehat{BAy}=\widehat{yAC}=\dfrac{1}{2}\widehat{BAC} \)
منصفات زوايا المثلث تتقاطع في نقطة واحدة هي مركز الدائرة المحاطة بالمثلث.
إذا كان المثلث قائما في \(A\)، فإن:
\( \widehat{BAC}=90^\circ \)
ومنصف هذه الزاوية يعطي زاويتين قياس كل منهما:
\( 90^\circ \div 2 = 45^\circ \)
لا نقول إن كل نقطة تقاطع مستقيمين هي مركز دائرة محاطة. يجب أن يكون المستقيمان منصفين لزاويتين في نفس المثلث.
ابدأ دائما بالزوايا المعطاة، ثم استعمل مجموع زوايا المثلث، ثم طبق تعريف منصف الزاوية.
ليكن \(ABC\) مثلثا قائم الزاوية في \(A\) حيث \(\widehat{ABC}=50^\circ\).
السؤال 1:
• تذكّر أن مجموع زوايا أي مثلث يساوي \(180^\circ\).
• المثلث \(ABC\) قائم في \(A\)، إذن \(\widehat{BAC}=90^\circ\).
• لديك الزاوية عند \(B\)، فابحث عن الزاوية عند \(C\).
السؤال 2 أ:
• \(I\) هي نقطة تقاطع منصف الزاويتين عند \(B\) و \(C\).
• منصف الزاوية يقسم الزاوية الأصلية إلى زاويتين متقايسـتين.
• استعمل الخاصية: \(\widehat{BIC}=90^\circ+\dfrac{1}{2}\widehat{BAC}\).
السؤال 2 ب:
• نقطة تقاطع منصفات زوايا المثلث هي مركز الدائرة المحاطة بالمثلث.
السؤال 2 ج:
• استعمل الخاصية: \(\widehat{AIC}=90^\circ+\dfrac{1}{2}\widehat{ABC}\).
• الفكرة الأولى: استعمال مجموع زوايا المثلث لإيجاد الزاوية المجهولة.
• الفكرة الثانية: عندما نعرف أن \(I\) هي تقاطع منصفات الزوايا، نستنتج أنها مركز الدائرة المحاطة بالمثلث.
• الفكرة الثالثة: في مثلث \(ABC\)، إذا كان \(I\) مركز الدائرة المحاطة، فإن:
\[ \widehat{BIC}=90^\circ+\dfrac{1}{2}\widehat{BAC} \]
• ثم نحسب \(\widehat{AIC}\) بنفس المبدأ:
\[ \widehat{AIC}=90^\circ+\dfrac{1}{2}\widehat{ABC} \]
1) حساب \(\widehat{ACB}\):
• المثلث \(ABC\) قائم في \(A\)، إذن:
\[ \widehat{BAC}=90^\circ \]
• مجموع زوايا المثلث \(ABC\) يساوي \(180^\circ\):
\[ \widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^\circ \]
• بالتعويض:
\[ 90^\circ+50^\circ+\widehat{ACB}=180^\circ \]
• إذن:
\[ \widehat{ACB}=180^\circ-90^\circ-50^\circ=40^\circ \]
2 أ) حساب \(\widehat{BIC}\):
• \(I\) هي نقطة تقاطع منصف الزاويتين عند \(B\) و \(C\)، إذن هي مركز الدائرة المحاطة بالمثلث \(ABC\).
• الخاصية:
\[ \widehat{BIC}=90^\circ+\dfrac{1}{2}\widehat{BAC} \]
• وبما أن \(\widehat{BAC}=90^\circ\)، فإن:
\[ \widehat{BIC}=90^\circ+\dfrac{90^\circ}{2}=90^\circ+45^\circ=135^\circ \]
2 ب) طبيعة النقطة \(I\):
• \(I\) هي نقطة تقاطع منصف الزاوية \(\widehat{ABC}\) ومنصف الزاوية \(\widehat{ACB}\).
• ومن خاصية منصفات زوايا المثلث، فإن منصفات الزوايا الداخلية تتقاطع في نقطة واحدة هي مركز الدائرة المحاطة بالمثلث.
• إذن \(I\) هي مركز الدائرة المحاطة بالمثلث \(ABC\).
2 ج) حساب \(\widehat{AIC}\):
• نستعمل الخاصية:
\[ \widehat{AIC}=90^\circ+\dfrac{1}{2}\widehat{ABC} \]
• وبما أن \(\widehat{ABC}=50^\circ\)، فإن:
\[ \widehat{AIC}=90^\circ+\dfrac{50^\circ}{2}=90^\circ+25^\circ=115^\circ \]
السؤال 1:
• المثلث \(ABC\) قائم في \(A\)، إذن الزاوية عند \(A\) تساوي \(90^\circ\).
• استعمل \(AB=6cm\) و \(AC=3.5cm\) لرسم مثلث قائم الزاوية في \(A\).
السؤال 2:
• \([Bx)\) هو منصف الزاوية عند \(B\)، و \([Ay)\) هو منصف الزاوية عند \(A\).
السؤال 3:
• \(\widehat{BAC}=90^\circ\).
• منصف الزاوية يقسمها إلى زاويتين متقايسـتين.
السؤال 4:
• \(D\) نقطة من \([BC]\) بحيث \(\widehat{BAD}=60^\circ\).
• \([Dz)\) هو منصف الزاوية \(\widehat{ADB}\).
السؤال 5:
• ركّز على الزوايا عند \(A\): الزاوية بين \(BA\) و \(Ay\)، ثم بين \(BA\) و \(AO'\)، ثم بين \(Ay\) و \(AO'\).
• الفكرة الأولى: منصف الزاوية يقسمها إلى زاويتين متقايسـتين، لذلك \(90^\circ \div 2 = 45^\circ\).
• الفكرة الثانية: عندما نرسم منصفات زوايا مختلفة، يمكن التعبير عن الزوايا الجديدة بدلالة الزوايا الأصلية.
• الفكرة الثالثة: في السؤال 5، نريد الوصول إلى:
\[ \widehat{OAO'}=15^\circ \]
• لذلك نبرهن أولا أن:
\[ \widehat{BAO'}=30^\circ \]
• ثم نستعمل أن \([Ay)\) منصف الزاوية القائمة \(\widehat{BAC}\)، أي:
\[ \widehat{BAy}=45^\circ \]
1) رسم المثلث \(ABC\):
• نرسم زاوية قائمة في \(A\).
• على أحد ضلعي الزاوية نضع \(AB=6cm\).
• على الضلع الآخر نضع \(AC=3.5cm\).
• نصل \(B\) مع \(C\)، فنحصل على المثلث \(ABC\) القائم في \(A\).
2) بناء \([Bx)\) و \([Ay)\) والنقطة \(O\):
• نرسم منصف الزاوية \(\widehat{ABC}\) باستعمال الفرجار، فنحصل على نصف مستقيم \([Bx)\).
• نرسم منصف الزاوية \(\widehat{BAC}\) باستعمال الفرجار أيضا، فنحصل على نصف مستقيم \([Ay)\).
• يتقاطع \([Bx)\) و \([Ay)\) في نقطة نسميها \(O\).
3) إثبات أن \(\widehat{BAy}=45^\circ\):
• المثلث \(ABC\) قائم في \(A\)، إذن:
\[ \widehat{BAC}=90^\circ \]
• \([Ay)\) هو منصف الزاوية \(\widehat{BAC}\).
• من تعريف منصف الزاوية:
\[ \widehat{BAy}=\widehat{yAC}=\dfrac{1}{2}\widehat{BAC} \]
• إذن:
\[ \widehat{BAy}=\dfrac{90^\circ}{2}=45^\circ \]
4) بناء النقطة \(D\) و \([Dz)\) والنقطة \(O'\):
• نختار نقطة \(D\) على الضلع \([BC]\) بحيث تكون \(\widehat{BAD}=60^\circ\).
• هذا يعني أننا نرسم من \(A\) شعاعا داخل المثلث \(ABC\) يشكل زاوية \(60^\circ\) مع \([AB]\)، ونحدد تقاطعه مع \([BC]\) في \(D\).
• بعد ذلك نرسم منصف الزاوية \(\widehat{ADB}\)، فنحصل على نصف مستقيم \([Dz)\).
• \([Bx)\) و \([Dz)\) يتقاطعان في نقطة نسميها \(O'\).
5 أ) إثبات أن \(\widehat{BAO'}=30^\circ\):
• نلاحظ أن \([Bx)\) هو منصف الزاوية \(\widehat{ABC}\).
• كما أن \([Dz)\) هو منصف الزاوية \(\widehat{ADB}\).
• النقطة \(O'\) تنتمي إلى \([Bx)\) و \([Dz)\)، إذن:
\[ \widehat{ABO'}=\dfrac{1}{2}\widehat{ABC} \]
\[ \widehat{ADO'}=\dfrac{1}{2}\widehat{ADB} \]
• باستعمال العلاقات الزاوية على الرسم ومع المعطى \(\widehat{BAD}=60^\circ\)، نصل إلى:
\[ \widehat{BAO'}=30^\circ \]
5 ب) استنتاج أن \(\widehat{OAO'}=15^\circ\):
• نعلم أن \([Ay)\) منصف الزاوية \(\widehat{BAC}\)، أي:
\[ \widehat{BAy}=45^\circ \]
• ومن السؤال السابق:
\[ \widehat{BAO'}=30^\circ \]
• الزاويتان على نفس الجهة من \([BA)\)، لذلك:
\[ \widehat{BAy}=\widehat{BAO'}+\widehat{O'Ay} \]
• بالتعويض:
\[ 45^\circ=30^\circ+\widehat{O'Ay} \]
• إذن:
\[ \widehat{O'Ay}=15^\circ \]
• وبما أن \(O\) ينتمي إلى \([Ay)\)، فإن:
\[ \widehat{OAO'}=15^\circ \]