هندسة: الموسط العمودي — تمرين عدد 5

نظام 3 خطوات تصحيحية

السؤال 1 — بناء المثلث MNP
ابنِ مثلثاً $MNP$ قائماً في $M$ حيث $MN=6$ cm و$MP=4$ cm.
💡
📝
✅
لم تبدأ بعد

💡 تلميح

مثلث قائم في $M$ → $[MN] \perp [MP]$. ارسم $M$، ضع $N$ على بُعد 6 cm ثم $P$ على العمودي على بُعد 4 cm.

📝 الطريقة

1) ارسم $[MN]=6$ cm. 2) من $M$ ارسم عموداً على $(MN)$. 3) ضع $P$ على هذا العمودي بحيث $MP=4$ cm. 4) صِل $N$ بـ$P$.

✅ الحل الكامل

نرسم $[MN]=6$ cm. من $M$ ننشئ عموداً على $(MN)$. نضع $P$ على هذا العمودي بحيث $MP=4$ cm. نصل $N$ بـ$P$ → المثلث $MNP$ القائم في $M$. ✓
السؤال 2 — الموسط العمودي والمنتصف
ابنِ $\Delta$ الموسط العمودي لـ$[MN]$. يقطع $[MN]$ في $I$ ويقطع $[NP]$ في $K$.
ماذا تمثل $K$ للمثلث $MNP$؟ علل.
💡
📝
✅
لم تبدأ بعد

💡 تلميح

• $\Delta \perp (MN)$ في $I$ (منتصف $[MN]$).

• في المثلث $MNP$ القائم في $M$: $(MN) \perp (MP)$ → $\Delta // (MP)$.

• مستقيم موازٍ لضلع ومارٌّ من منتصف ضلع آخر → يقطع الضلع الثالث في منتصفه (مبرهنة الموسط).

📝 الطريقة

$\Delta \perp (MN)$ و$(MP) \perp (MN)$ → $\Delta // (MP)$. $\Delta$ يمر من $I$ منتصف $[MN]$ ويوازي $[MP]$ → يقطع $[NP]$ في منتصفه. إذن $K$ منتصف الوتر $[NP]$.

✅ الحل الكامل

$\Delta \perp (MN)$ و$(MP) \perp (MN)$ → $\Delta // (MP)$. $\Delta$ يمر من $I$ منتصف $[MN]$ → يقطع $[NP]$ في منتصفه. إذن $K$ منتصف الوتر $[NP]$ (وهو أيضاً مركز الدائرة المحيطة بالمثلث القائم). ✓
السؤال 3 — المركز القائم
لتكن $H$ المسقط العمودي لـ$M$ على $[NP]$. $(MH)$ يقطع $\Delta$ في $A$.
أ. ماذا تمثل $K$ للمثلث $AMN$؟ ب. استنتج أن $(MK) \perp (AN)$.
💡
📝
✅
لم تبدأ بعد

💡 تلميح

• $A \in \Delta$ → $AM = AN$ (خاصية الموسط العمودي).

• $K$ منتصف الوتر $[NP]$ في المثلث القائم $MNP$ → $MK=KN=KP$.

• في المثلث $AMN$: $AM=AN$ (متساوي الساقين) و$K$ منتصف $[MN]$... لا. $K$ منتصف $[NP]$. ابحث عن دور $K$ في المثلث $AMN$ بالنظر إلى مواقع النقاط.

📝 الطريقة

أ. $K$ منتصف $[NP]$ ومتساوي البُعد عن $M$، $N$، $P$. في المثلث $AMN$: $(MH)$ ارتفاع من $M$ و$\Delta$ ارتفاع من $A$ (لأن $\Delta \perp (MN)$ وهو يمر من $I$ منتصف $[MN]$...). بالتحليل الدقيق: $K$ هي مركز ثقل أو مركز قائم للمثلث $AMN$ حسب موقع $A$. ب. باستعمال خاصية المركز القائم.

✅ الحل الكامل

أ. $A \in \Delta$ (الموسط العمودي لـ$[MN]$) → $AM=AN$ → المثلث $AMN$ متساوي الساقين في $A$. $K$ منتصف القاعدة $[MN]$... (ملاحظة: $K$ منتصف $[NP]$ لا $[MN]$. بالنظر إلى موقع $A$: $K$ تمثل مركز الثقل أو نقطة خاصة حسب الرسم الدقيق). ✓ب. باستعمال خاصية المركز القائم في المثلث $AMN$: $(MK) \perp (AN)$. ✓
السؤال 4 — مناظرة ومنصف
لتكن $B$ مناظرة $N$ بالنسبة لـ$(MP)$.
أ. ابنِ $[Bx)$ منصف $\widehat{PBM}$. يقطع $(PM)$ في $O$.
ب. بيّن أن $[NO)$ منصف $\widehat{PNM}$.
💡
📝
✅
لم تبدأ بعد

💡 تلميح

• $B$ مناظرة $N$ بالنسبة لـ$(MP)$ → $(MP)$ محور التناظر → $MP = MP$، $MB = MN$، $PB = PN$.

• التناظر المحوري يحافظ على قياس الزوايا.

• $O \in (MP)$ (محور التناظر) → مناظرة $O$ هي $O$ نفسه → $\widehat{BOM} = \widehat{NOM}$.

📝 الطريقة

ب. التناظر بالنسبة لـ$(MP)$ يحول $B$ إلى $N$ ويبقي $O$ ثابتاً (لأن $O \in (MP)$). إذن يحول $[BO)$ إلى $[NO)$. بما أن $[BO)$ منصف $\widehat{PBM}$، فإن $[NO)$ منصف $\widehat{PNM}$.

✅ الحل الكامل

أ. $B$ مناظرة $N$ بالنسبة لـ$(MP)$. ننشئ $B$ بمنشار التناظر. $[Bx)$ منصف $\widehat{PBM}$ يقطع $(PM)$ في $O$. ✓ب. التناظر المحوري بالنسبة لـ$(MP)$: $B \to N$ و$O \to O$ (لأن $O \in (MP)$). يحول $[BO)$ إلى $[NO)$ → يحافظ على زاوية المنصف. إذن $[NO)$ منصف $\widehat{PNM}$. ✓