هندسة: المستوى السابعة — تمرين عدد 4

السؤال 1 — موسط الوتر

ابنِ مثلثاً $IAB$ قائماً في $I$ حيث $IA=4$ cm، $AB=6$ cm.
لتكن $J$ منتصف $[AB]$. احسب $IJ$.

💡

📝

✅

لم تبدأ بعد

💡 تلميح

في المثلث القائم، الموسط المتعلق بالوتر = نصف طول الوتر.

$J$ منتصف الوتر $[AB]$ → $IJ = AB ÷ 2$.

📝 الطريقة

$IAB$ قائم في $I$ → $[AB]$ وتر. $J$ منتصف الوتر → $IJ = \dfrac{AB}{2}$.

✅ الحل الكامل

$IAB$ قائم في $I$ → $[AB]$ وتر. الموسط المتعلق بالوتر = نصفه: $IJ = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{6}{2} = \mathbf{3}$ cm. ✓

السؤال 2 — مركز الثقل

أ- عيّن $C$ بحيث $I$ منتصف $[BC]$.
ب- ما نوع المثلث $ABC$؟
ج- $(AI)$ و$(CJ)$ يتقاطعان في $H$. ماذا تمثل $H$؟
د- $(BH)$ و$(AC)$ يتقاطعان في $K$. أثبت أن $K$ منتصف $[AC]$.

💡

📝

✅

لم تبدأ بعد

💡 تلميح

• $I$ منتصف $[BC]$ و$IAB$ قائم في $I$ → $(AI) \perp (BC)$ وهو موسط عمودي → $ABC$ متساوي الساقين.

• $[AI]$ موسط من $A$، $[CJ]$ موسط من $C$ → تقاطعهما = مركز الثقل.

• مركز الثقل يقع على الموسطات الثلاثة.

📝 الطريقة

ب. $(AI) \perp (BC)$ ويمر من منتصف $[BC]$ → موسط عمودي → $ABC$ متساوي الساقين في $A$.

ج. $[AI]$ موسط ($I$ منتصف $[BC]$) و$[CJ]$ موسط ($J$ منتصف $[AB]$) → $H$ مركز الثقل.

د. $H$ مركز الثقل → $(BH)$ يحمل الموسط الثالث → $K$ منتصف $[AC]$.

✅ الحل الكامل

ب. $(AI) \perp (BC)$ ($IAB$ قائم في $I$) وI منتصف $[BC]$ → $(AI)$ موسط عمودي → $ABC$ متساوي الساقين في $A$. ✓ج. $[AI]$ و$[CJ]$ موسطان → تقاطعهما $H$ = مركز الثقل. ✓د. $H$ مركز الثقل → $(BH)$ الموسط الثالث → يقطع $[AC]$ في منتصفه → $K$ منتصف $[AC]$. ✓

السؤال 3 — دائرة محاطة بمثلث متساوي الساقين

أ- ابنِ $D$ بحيث $(BC)$ موسط عمودي لـ$[AD]$.
ب- ابنِ $[Dx)$ منصف $\widehat{CDA}$.
ج- $(Dx)$ و$(BC)$ يتقاطعان في $O$. ماذا تمثل $O$ للمثلث $ACD$؟
د- ابنِ الدائرة المحاطة بالمثلث $ACD$.

💡

📝

✅

لم تبدأ بعد

💡 تلميح

• $(BC)$ موسط عمودي لـ$[AD]$ → كل نقطة على $(BC)$ تبعد نفس المسافة من $A$ و$D$ → $CA=CD$ → $ACD$ متساوي الساقين.

• في المثلث المتساوي الساقين، الموسط العمودي للقاعدة = منصف زاوية القمة.

• $O$ = تقاطع منصفَي زاويتين في $ACD$ → مركز الدائرة المحاطة.

📝 الطريقة

ج. $(BC)$ موسط عمودي $[AD]$ → $I$ منتصف $[AD]$ و$(BC) \perp (AD)$ → $(BC)$ منصف زاوية $A$ في المثلث $ACD$ (لأن $ACD$ متساوي الساقين). $O$ = تقاطع منصفَي $A$ و$D$ → مركز الدائرة المحاطة.

د. ارسم دائرة مركزها $O$ وشعاعها = المسافة من $O$ إلى أحد الأضلاع (عمودياً).

✅ الحل الكامل

أ. $D$ مناظرة $A$ بالنسبة لـ$(BC)$ (أو بناءً على التعريف). ✓ج. $(BC)$ موسط عمودي $[AD]$ → $CA=CD$ → $ACD$ متساوي الساقين. $(BC)$ منصف زاوية $C$ و$[Dx)$ منصف زاوية $D$ → $O$ = تقاطعهما = مركز الدائرة المحاطة بالمثلث $ACD$. ✓د. ارسم دائرة مركزها $O$ وشعاعها = المسافة العمودية من $O$ إلى أي ضلع من أضلاع $ACD$. ✓