هندسة: المستوى السابعة — تمرين عدد 3

نظام 3 خطوات تصحيحية

السؤال 1 — حساب زاوية BAC
ارسم مثلثاً $ABC$ حيث $BC=10$ cm، $\widehat{ABC}=60°$، $\widehat{ACB}=40°$. احسب $\widehat{BAC}$.
💡
📝
✅
لم تبدأ بعد

💡 تلميح

مجموع زوايا أي مثلث = 180°. لديك زاويتان، احسب الثالثة.

📝 الطريقة

$\widehat{BAC} = 180° - \widehat{ABC} - \widehat{ACB} = 180° - 60° - 40°$

✅ الحل الكامل

$\widehat{BAC} = 180° - 60° - 40° = \mathbf{80°}$. ✓
السؤال 2 — منصف الزاوية BAC
ابنِ $[Ax)$ منصف $\widehat{BAC}$ يقطع $(BC)$ في $I$.
أ- ما نوع المثلث $IAC$؟ ب- احسب $\widehat{AIB}$.
💡
📝
✅
لم تبدأ بعد

💡 تلميح

• $[Ax)$ منصف $\widehat{BAC}=80°$ → $\widehat{IAC} = 40°$.

• قارن $\widehat{IAC}$ مع $\widehat{ACB}=40°$ → ما استنتاجك؟

• $\widehat{AIB}$ هي زاوية خارجية للمثلث $AIC$ أو احسبها في المثلث $AIB$.

📝 الطريقة

أ. $\widehat{IAC} = 80°÷2=40°$. بما أن $\widehat{IAC}=\widehat{ICA}=40°$ → متقايس الضلعين.

ب. $\widehat{AIC}=180°-40°-40°=100°$ → $\widehat{AIB}=180°-100°=80°$.

✅ الحل الكامل

أ. $\widehat{IAC}=40°=\widehat{ICA}$ → الزاويتان عند $A$ و$C$ متساويتان → $IAC$ متقايس الضلعين قمته $I$. ✓ب. $\widehat{AIC}=180°-40°-40°=100°$. $B,I,C$ على استقامة → $\widehat{AIB}=180°-100°=\mathbf{80°}$. ✓
السؤال 3 — منصف الزاوية عند B
ابنِ $[By)$ منصف $\widehat{ABC}$. $[Ax)$ و$[By)$ يتقاطعان في $J$.
أ- ماذا تمثل $J$؟ ب- أثبت أن $[CJ]$ منصف $\widehat{ACB}$.
💡
📝
✅
لم تبدأ بعد

💡 تلميح

• $J$ = تقاطع منصفَي زاويتين → ما النقطة التي يعرّفها ذلك في المثلث؟

• منصفات زوايا المثلث الثلاث تتقاطع في نقطة واحدة.

📝 الطريقة

أ. $J$ = تقاطع منصفَي $\widehat{A}$ و$\widehat{B}$ → مركز الدائرة المحاطة.

ب. مركز الدائرة المحاطة يقع على المنصف الثالث بالضرورة.

✅ الحل الكامل

أ. $J$ = تقاطع منصفَي الزاويتين عند $A$ و$B$ → $J$ مركز الدائرة المحاطة بالمثلث $ABC$. ✓ب. منصفات زوايا المثلث تتقاطع في نقطة واحدة ($J$). بما أن $J$ على منصفَي $A$ و$B$، فهي بالضرورة على المنصف الثالث. إذن $[CJ]$ هو منصف $\widehat{ACB}$. ✓
السؤال 4 — منصف زاوية القمة في المثلث المتقايس
ابنِ $[It]$ منصف $\widehat{AIC}$ يقطع $(AC)$ في $K$.
أ- بيّن أن $K$ منتصف $[AC]$.
ب- $H$ مسقط عمودي $A$ على $(BC)$. $(IK)$ و$(AH)$ يتقاطعان في $O$. ماذا تمثل $O$ للمثلث $IAC$؟
ج- بيّن أن $(CO) \perp (AI)$.
💡
📝
✅
لم تبدأ بعد

💡 تلميح

• $IAC$ متقايس الضلعين قمته $I$ (من السؤال 2) → منصف القمة = موسط = ارتفاع = موسط عمودي.

• المركز القائم = تقاطع الارتفاعات.

• المركز القائم يقع على الارتفاعات الثلاثة.

📝 الطريقة

أ. $IAC$ متقايس الضلعين في $I$ → $[It]$ منصف القمة = موسط → $K$ منتصف $[AC]$.

ب. $[IK]$ ارتفاع من $I$ (لأن $IAC$ متقايس الضلعين). $[AH]$ ارتفاع من $A$. تقاطعهما = المركز القائم.

ج. المركز القائم $O$ → $(CO)$ يحمل الارتفاع الثالث → $(CO) \perp (AI)$.

✅ الحل الكامل

أ. $IAC$ متقايس الضلعين في $I$ → $[IK]$ منصف القمة = موسط → $K$ منتصف $[AC]$. ✓ب. $[IK] \perp (AC)$ (ارتفاع من $I$) و$[AH] \perp (BC)$ (ارتفاع من $A$) → $O$ = تقاطع ارتفاعَين → $O$ المركز القائم للمثلث $IAC$. ✓ج. $O$ مركز قائم → $(CO)$ يحمل الارتفاع الثالث → $(CO) \perp (AI)$. ✓