تمارين حساب وهندسة — نظام 3 خطوات

تمرين حساب 1 — الأعداد غير الأولية
اذكر الأعداد غير الأولية معللاً: 117، 321، 133، 1، 13×17، 451، 12565، 19³، 91، 47

💡 المرحلة 1 — الإشارات

• عدد أولي: له قاسمان فقط (1 ونفسه). عدد غير أولي: له قاسم ثالث.

• 1 ليس عدداً أولياً. جداء عددين > 1 هو غير أولي. قوة عدد أولي هي غير أولي.

📝 المرحلة 2 — الفكرة

نمر على كل عدد ونبحث عن قاسم بين 2 وجذره التربيعي التقريبي.

قواعد سريعة: زوجي → يقبل 2 ؛ مجموع أرقامه يقبل 3 → يقبل 3 ؛ ينتهي بـ0 أو 5 → يقبل 5.

✅ المرحلة 3 — التصحيح

117: مجموع أرقامه = 9 يقبل 3 → 117 = 3×39 → غير أولي. 321: مجموع = 6 يقبل 3 → 321 = 3×107 → غير أولي. 133: 133÷7 = 19 → 133 = 7×19 → غير أولي. 1: له قاسم واحد → ليس أولياً. 13×17: جداء → غير أولي. 451: 451÷11=41 → غير أولي. 12565: ينتهي بـ5 → غير أولي. 19³: جداء → غير أولي. 91: 91÷7=13 → غير أولي. 47: لا يقبل 2، 3، 5، 7 → عدد أولي. ✓
تمرين حساب 2 — التفكيك إلى عوامل أولية
فكّك: 490، 930، 2460، 1547، 570، 999، 1001، 884، 3933، 2340، 2470

💡 الإشارات

ابدأ بأصغر عامل أولي (2 ثم 3 ثم 5...) واقسم تكراراً حتى تصل لعدد أولي.

📝 الفكرة

مثال: 490÷2=245، 245÷5=49، 49÷7=7، 7÷7=1 → 490=2×5×7²

✅ التصحيح

490=2×5×7² ؛ 930=2×3×5×31 ؛ 2460=2²×3×5×41 ؛ 1547=7×13×17 570=2×3×5×19 ؛ 999=3³×37 ؛ 1001=7×11×13 ؛ 884=2²×13×17 3933=3×13×101 ؛ 2340=2²×3²×5×13 ؛ 2470=2×5×13×19
تمرين حساب 3 — مستطيل وعددان أوليان
مستطيل مساحته 703 cm². أوجد طوله وعرضه إذا علمت أنهما عددان أوليان.

💡 الإشارات

703 = طول × عرض. فكّك 703 إلى جداء عاملين أوليين.

📝 الفكرة

703÷19 = 37 (قسمة صحيحة). 19 و37 كلاهما أوليان.

✅ التصحيح

703 = 19 × 37. إذن الطول = 37 cm والعرض = 19 cm. ✓
تمرين حساب 4 — \(a = 375 \times 36 \times 240\)
1) فكّك \(a\) إلى جداء عوامل أولية.
2) بيّن أن \(a\) مساحة مربع وأوجد ضلعه.

💡 الإشارات

• فكّك كل عدد ثم اجمع القوى. المربع الكامل ↔ جميع الأسس زوجية.

• الضلع = جداء كل عامل أولي بنصف أسه.

📝 الفكرة

375=3×5³، 36=2²×3²، 240=2⁴×3×5

\(a = 2^{2+4} \times 3^{1+2+1} \times 5^{3+1} = 2^6 \times 3^4 \times 5^4\)

الأسس 6، 4، 4 كلها زوجية → \(a\) مربع كامل.

✅ التصحيح

1) التفكيك:

375=3×5³ ؛ 36=2²×3² ؛ 240=2⁴×3×5 → \(a = 2^6 \times 3^4 \times 5^4\). ✓

2) المربع:

جميع الأسس زوجية → \(a = (2^3 \times 3^2 \times 5^2)^2\) → مساحة مربع. ✓ الضلع = \(2^3 \times 3^2 \times 5^2 = 8 \times 9 \times 25 = \mathbf{1800}\) وحدة. ✓
تمرين هندسة 1 — منصفات ودائرة محاطة
ابنِ مثلثاً \(EFG\): \(FG=8\)، \(\widehat{EFG}=60°\)، \(\widehat{EGF}=50°\).
1) منصفا \(F\) و\(G\) في \(I\): أ. ماذا تمثل \(I\)؟ ب. احسب \(\widehat{IEF}\).
2) ابنِ ارتفاع المثلث \(GFI\) من \(I\).
3) حدد شعاع الدائرة المحاطة وارسمها.

💡 الإشارات

• \(\widehat{E}=180°-60°-50°=70°\). تقاطع منصفَي زاويتين = مركز الدائرة المحاطة.

• \(\widehat{IEF}\) = نصف \(\widehat{E}\) لأن \(I\) على المنصف الثالث.

• شعاع الدائرة المحاطة = المسافة العمودية من \(I\) إلى ضلع.

📝 الفكرة

1. نحسب \(\widehat{E}=70°\). 2. نبني المثلث. 3. نرسم المنصفَين → تقاطعهما \(I\) = مركز الدائرة المحاطة. 4. \(\widehat{IEF}=35°\). 5. شعاع = \(IH\).

✅ التصحيح

1-أ. \(I\) = تقاطع منصفَي الزاويتين → \(I\) مركز الدائرة المحاطة بـ\(EFG\). ✓ 1-ب. \(\widehat{IEF} = \dfrac{\widehat{E}}{2} = \dfrac{70°}{2} = \mathbf{35°}\). ✓ 3. شعاع = المسافة العمودية من \(I\) إلى أي ضلع. ✓
تمرين هندسة 2 — موسط عمودي ومركز ثقل
\(\Delta_1\) موسط عمودي \([BC]\)، \(\Delta_2\) موسط عمودي \([AC]\)، \(O\) تقاطعهما.
\(I, J, K\) منتصفات \([BC], [AC], [AB]\).
1) \([AI] \cap [BJ] = S\): أ. ماذا تمثل \(S\)؟ ب. بيّن أن \(C, K, S\) على استقامة.
2) أ. الدائرة المحيطة. ب. بيّن أن \((OK) \perp (AB)\).

💡 الإشارات

• موسطان → مركز الثقل. مركز الثقل على الموسطات الثلاثة.

• \(O\) = تقاطع المواسط العمودية = مركز الدائرة المحيطة.

📝 الفكرة

\(S\) مركز الثقل → على الموسط الثالث \([CK]\) → \(C, K, S\) على استقامة.

\(O\) على الموسط العمودي لـ\([AB]\) أيضاً → \((OK) \perp (AB)\).

✅ التصحيح

1-أ. \(S\) مركز ثقل \(ABC\). ✓ ب. \(S\) على \([CK]\) → \(C, K, S\) على استقامة. ✓ 2-أ. \(O\) مركز الدائرة المحيطة، شعاعها \(OA=OB=OC\). ✓ ب. \((OK) \perp (AB)\). ✓