سلسلة تمارين الرياضيات

المحور الأول: تفكيك عدد صحيح طبيعي
تمرين عدد 1 — الأعداد غير الأولية
اذكر الأعداد غير الأولية من بين الأعداد التالية معللاً جوابك:
117 ، 321 ، 133 ، 1 ، 13×17 ، 451 ، 12565 ، 19³ ، 91 ، 47
💡
📝
✅
لم تبدأ بعد

💡 تلميح

• عدد أولي: له قاسمان فقط هما 1 ونفسه.

• عدد غير أولي: له قاسم ثالث على الأقل.

• قواعد سريعة: زوجي → يقبل 2 ؛ مجموع أرقامه يقبل 3 ؛ ينتهي بـ0 أو 5 → يقبل 5.

• 1 ليس عدداً أولياً بالتعريف. جداء عددين أكبر من 1 هو غير أولي.

📝 الطريقة

نمر على كل عدد ونجرّب قسمته على 2، 3، 5، 7 … حتّى يصير الخارج أصغر من القاسم:

• 117: مجموع أرقامه = 9 → يقبل 3 → غير أولي

• 321: مجموع أرقامه = 6 → يقبل 3 → غير أولي

• 133: نجرب 7 → 133÷7=19 → غير أولي

• 1: ليس أولياً بالتعريف

• 13×17: جداء عددين > 1 → غير أولي

• 451: نجرب 11 → 451÷11=41 → غير أولي

• 12565: ينتهي بـ5 → يقبل 5 → غير أولي

• 19³: جداء ثلاثة عوامل → غير أولي

• 91: نجرب 7 → 91÷7=13 → غير أولي

• 47: لا يقبل 2، 3، 5، 7 → أولي

✅ الحل الكامل

117: مجموع أرقامه = 9 يقبل 3 → 117 = 3×39 → غير أولي. 321: مجموع أرقامه = 6 يقبل 3 → 321 = 3×107 → غير أولي. 133: 133÷7 = 19 (صحيحة) → 133 = 7×19 → غير أولي. 1: له قاسم واحد فقط → ليس أولياً بالتعريف. 13×17: جداء عددين > 1 → غير أولي. 451: 451÷11 = 41 → 451 = 11×41 → غير أولي. 12565: ينتهي بـ5 → 12565 = 5×2513 → غير أولي. 19³: = 19×19×19 → غير أولي. 91: 91÷7 = 13 → 91 = 7×13 → غير أولي. 47: لا يقبل القسمة على 2، 3، 5، 7 والقسمة على 7 تعطي خارجًا أصغر من 7 → عدد أولي. ✓
تمرين عدد 2 — تفكيك إلى عوامل أولية
فكّك الأعداد التالية إلى جداء عوامل أولية:
490 ، 930 ، 2460 ، 1547 ، 570 ، 999 ، 1001 ، 884 ، 3933 ، 2340 ، 2470
💡
📝
✅
لم تبدأ بعد

💡 تلميح

• ابدأ دائماً بأصغر عامل أولي: 2 ثم 3 ثم 5 ثم 7 ثم 11 ...

• قسّم العدد تكراراً حتى تصل إلى 1.

• تحقق: اضرب العوامل للحصول على العدد الأصلي.

📝 الطريقة

مثال: تفكيك 490:

490 ÷ 2 = 245 → 245 ÷ 5 = 49 → 49 ÷ 7 = 7 → 7 ÷ 7 = 1

إذن: 490 = 2 × 5 × 7²

✅ الحل الكامل

490 = 2 × 5 × 7² 930 = 2 × 3 × 5 × 31 2460 = 2² × 3 × 5 × 41 1547 = 7 × 13 × 17 570 = 2 × 3 × 5 × 19 999 = 3³ × 37 1001 = 7 × 11 × 13 884 = 2² × 13 × 17 3933 = 3 × 13 × 101 2340 = 2² × 3² × 5 × 13 2470 = 2 × 5 × 13 × 19
تمرين عدد 3 — مستطيل وعددان أوليان
مستطيل مساحته 703 cm². أوجد طوله وعرضه إذا علمت أنهما عددان أوليان.
💡
📝
✅
لم تبدأ بعد

💡 تلميح

• مساحة مستطيل = طول × عرض = 703.

• الطول والعرض كلاهما أوليان → فكّك 703 إلى جداء عاملين أوليين.

📝 الطريقة

نفكّك 703: لا يقبل 2، 3، 5. نجرب 7: 703÷7 غير صحيح. نجرب 11: 703÷11 غير صحيح. نجرب 19: 703÷19 = 37 (صحيح).

إذن 703 = 19 × 37، وكلاهما أوليان.

✅ الحل الكامل

703 = 19 × 37 (التحقق: 19 × 37 = 703 ✓، كلاهما أولي ✓). إذن: الطول = 37 cm والعرض = 19 cm. ✓
تمرين عدد 4 — مربع وتفكيك
ليكن \(a = 375 \times 36 \times 240\).
1) فكّك \(a\) إلى جداء عوامل أولية.
2) بيّن أن \(a\) يمثل مساحة مربع. ما هو قيس طول ضلعه؟
💡
📝
✅
لم تبدأ بعد

💡 تلميح

• فكّك كل عدد على حدة ثم اجمع القوى لكل عامل.

• العدد هو مربع كامل إذا وفقط إذا كانت جميع أسسه في التفكيك زوجية.

• ضلع المربع = العدد الذي مربعه \(a\) = جداء كل عامل بنصف أسه.

📝 الطريقة

375 = 3 × 5³، 36 = 2² × 3²، 240 = 2⁴ × 3 × 5

\(a = 2^{2+4} \times 3^{1+2+1} \times 5^{3+1} = 2^6 \times 3^4 \times 5^4\)

جميع الأسس زوجية → \(a\) مربع كامل.

ضلع المربع = 2^3 \times 3^2 \times 5^2 = 8 \times 9 \times 25 = 1800\)

✅ الحل الكامل

1) التفكيك:

375 = 3 × 5³ ؛ 36 = 2² × 3² ؛ 240 = 2⁴ × 3 × 5 \(a = 2^6 \times 3^4 \times 5^4\)

2) إثبات أنه مربع:

جميع الأسس زوجية (6، 4، 4) → \(a = (2^3 \times 3^2 \times 5^2)^2\) → \(a\) مساحة مربع. ✓ ضلع المربع = \(2^3 \times 3^2 \times 5^2 = 8 \times 9 \times 25 = \mathbf{1800}\) وحدة. ✓
المحور الثاني: هندسة المثلثات
تمرين هندسة 1 — منصفات ودائرة محاطة
ابنِ مثلثاً \(EFG\) حيث \(FG=8\)، \(\widehat{EFG}=60°\)، \(\widehat{EGF}=50°\).
1) ابنِ \([Fx)\) منصف \(\widehat{EFG}\) و\([Gy)\) منصف \(\widehat{EGF}\). يتقاطعان في \(I\).
أ. ماذا تمثل \(I\) للمثلث \(EFG\)؟ ب. احسب \(\widehat{IEF}\).
2) ابنِ \([IH]\) ارتفاع المثلث \(GFI\) من \(I\).
3) حدد شعاع الدائرة المحاطة بالمثلث \(EFG\) ثم ارسمها.
💡
📝
✅
لم تبدأ بعد

💡 تلميح

• مجموع زوايا المثلث = 180° → احسب \(\widehat{E}\) أولاً.

• تقاطع منصفَي زاويتين في المثلث = مركز الدائرة المحاطة.

• \(\widehat{IEF}\) = نصف \(\widehat{E}\) لأن \(I\) على منصف الزاوية عند \(E\) أيضاً.

• شعاع الدائرة المحاطة = المسافة العمودية من \(I\) إلى أي ضلع.

📝 الطريقة

\(\widehat{E} = 180° - 60° - 50° = 70°\)

أ. \(I\) = تقاطع منصفَي \(F\) و\(G\) → \(I\) مركز الدائرة المحاطة.

ب. \(I\) على منصف الزاوية عند \(E\) → \(\widehat{IEF} = 70°÷2 = 35°\).

3. ارسم من \(I\) عموداً على أحد الأضلاع → المسافة = شعاع الدائرة.

✅ الحل الكامل

\(\widehat{E} = 180° - 60° - 50° = 70°\). نرسم \([FG]=8\)، شعاع 60° من \(F\)، شعاع 50° من \(G\) → تقاطعهما \(E\). 1-أ) \(I\) = تقاطع منصفَي الزاويتين عند \(F\) و\(G\) → بخاصية منصفات زوايا المثلث: \(I\) هو مركز الدائرة المحاطة بالمثلث \(EFG\). ✓ 1-ب) \(I\) مركز الدائرة المحاطة → \(I\) على منصف الزاوية عند \(E\). إذن \(\widehat{IEF} = \dfrac{70°}{2} = \mathbf{35°}\). ✓ 2) من \(I\) نرسم عموداً على \([GF]\)، نقطة التقاطع = \(H\). \([IH]\) ارتفاع المثلث \(GFI\) من \(I\). ✓ 3) شعاع الدائرة المحاطة = المسافة العمودية من \(I\) إلى أحد الأضلاع = \(IH\). نرسم دائرة مركزها \(I\) وشعاعها \(IH\). ✓
تمرين هندسة 2 — موسط عمودي ومركز ثقل
تأمل الرسم: \(\Delta_1\) موسط عمودي \([BC]\)، \(\Delta_2\) موسط عمودي \([AC]\)، يتقاطعان في \(O\). \(I, J, K\) منتصفات \([BC], [AC], [AB]\) على التوالي.
1) \([AI]\) و\([BJ]\) يتقاطعان في \(S\).
أ. ماذا تمثل \(S\)؟ ب. بيّن أن \(C, K, S\) على استقامة واحدة.
2) أ. حدد مركز وشعاع الدائرة المحيطة بالمثلث \(ABC\) ثم ارسمها.
ب. بيّن أن \((OK) \perp (AB)\).
💡
📝
✅
لم تبدأ بعد

💡 تلميح

• \([AI]\) موسط من \(A\) (I منتصف BC) و\([BJ]\) موسط من \(B\) → تقاطعهما = مركز الثقل.

• مركز الثقل يقع على الموسطات الثلاثة.

• مركز الدائرة المحيطة = تقاطع المواسط العمودية = \(O\).

• \(K\) منتصف \([AB]\) و\(O\) على \(\Delta_1\) و\(\Delta_2\) → \(O\) على الموسط العمودي لـ\([AB]\) أيضاً → \((OK) \perp (AB)\).

📝 الطريقة

1-أ) \([AI]\) موسط من \(A\)، \([BJ]\) موسط من \(B\) → \(S\) = مركز الثقل.

1-ب) \(S\) مركز الثقل → يقع على الموسط الثالث \([CK]\) → \(C, S, K\) على استقامة واحدة.

2-أ) \(O\) = تقاطع \(\Delta_1\) و\(\Delta_2\) = مركز الدائرة المحيطة. الشعاع = \(OA = OB = OC\).

2-ب) \(O\) على الموسط العمودي لـ\([AB]\) أيضاً (المواسط العمودية تتقاطع في نقطة) و\(K\) منتصف \([AB]\) → \((OK)\) هو جزء من الموسط العمودي → \((OK) \perp (AB)\).

✅ الحل الكامل

1-أ) \([AI]\) موسط من \(A\) (I منتصف [BC]) و\([BJ]\) موسط من \(B\) (J منتصف [AC]) → \(S\) = تقاطع موسطَين = مركز ثقل المثلث \(ABC\). ✓ 1-ب) \(S\) مركز الثقل → يقع على الموسطات الثلاثة. \([CK]\) موسط من \(C\) (K منتصف [AB]) → \(S \in [CK]\) → \(C, K, S\) على استقامة واحدة. ✓ 2-أ) \(O\) = تقاطع المواسط العمودية \(\Delta_1\) و\(\Delta_2\) → \(O\) مركز الدائرة المحيطة، شعاعها \(R = OA = OB = OC\). ✓ 2-ب) \(O\) = مركز الدائرة المحيطة → يقع على المواسط العمودية الثلاثة. المواسط العمودي لـ\([AB]\) يمر من \(K\) (منتصف [AB]) وهو عمودي على \((AB)\). بما أن \(O\) على هذا الموسط العمودي → \((OK) \perp (AB)\). ✓