تمارين 3 مراحل دقيقة - mediatrices

دفواراتي
تمرين 2
1
تمرين 2 :
ابن الدائرة المحيطة بالمثلث ABC التي مركزها O في كل حالة من الحالات التالية:
1) BC = 5cm و زاوية ABC = 60° و زاوية ACB = 50°.
2) AB = 4cm و AC = 2,5cm و زاوية BAC = 90°.
3) BC = 5cm و زاوية ABC = 30° و زاوية ACB = 20°.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • مركز الدائرة المحيطة هو تقاطع الموسطات العمودية للأضلاع.
  • في مثلث قائم، مركز الدائرة المحيطة هو منتصف الوتر.
  • يكفي رسم موسطين عموديين.

📝 الطريقة

الحالة 1: ابْن المثلث ثم ارسم موسطَي [BC] و[AC].

الحالة 2: المثلث قائم في A، إذن O منتصف [BC].

الحالة 3: الزاوية A=130°، المركز خارج المثلث لأنه منفرج.

✅ الحل الكامل

الحالة 1: نبني [BC]=5cm ثم زاويتي B=60° و C=50°. بعد تحديد A، نرسم الموسط العمودي لـ[BC] والموسط العمودي لـ[AC]؛ تقاطعهما O. نرسم دائرة مركزها O وشعاعها OA.

الحالة 2: نبني الزاوية القائمة BAC ثم AB=4cm و AC=2.5cm. لأن المثلث قائم في A، فإن مركز الدائرة المحيطة هو منتصف الوتر [BC]، أي O منتصف [BC].

الحالة 3: A=180°-30°-20°=130°. نبني المثلث، ثم نرسم موسطين عموديين؛ نقطة التقاطع O خارج المثلث، ونرسم الدائرة مركزها O وشعاعها OA.

تمرين 3
2
تمرين 3 :
1) ابن مثلثاً ABC قائم الزاوية في A حيث : AB = AC = 3,5cm.
2) لتكن D حيث A منتصف [CD].
بين أن المستقيم (AB) هو الموسط العمودي للقطعة [CD].
3) ابن المستقيم (دلتا) الموسط العمودي لـ [BC].
أ) أثبت أن A تنتمي إلى (دلتا).
ب) ما هو مركز الدائرة المحيطة بالمثلث BCD؟ علل جوابك.
ج) ارسم هذه الدائرة.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • A منتصف CD، وAB عمودي على AC لأن المثلث قائم في A.
  • إذا كان C وA وD على استقامة واحدة، فإن AB عمودي على CD.
  • في مثلث قائم ومتقايس الساقين، A متساوي البعد عن B و C.

📝 الطريقة

نثبت أن AB يمر من منتصف CD وعمودي عليه.

نثبت أن A ينتمي إلى الموسط العمودي لـBC لأن AB=AC.

في المثلث BCD، تقاطع موسطين عموديين هو مركز الدائرة المحيطة.

✅ الحل الكامل

بما أن A منتصف [CD] وبما أن (AB) ⟂ (AC)، ومع C,A,D على استقامة واحدة، فإن (AB) ⟂ (CD). إذن (AB) هو الموسط العمودي لـ[CD].

المثلث ABC قائم ومتقايس الساقين في A، لذلك AB=AC، ومن ثم A متساوية البعد عن B و C؛ إذن A تنتمي إلى الموسط العمودي لـ[BC] أي إلى دلتا.

في المثلث BCD، المستقيم (AB) موسط عمودي لـ[CD] و دلتا موسط عمودي لـ[BC]، ويتقاطعان في A. إذن A هو مركز الدائرة المحيطة بالمثلث BCD.

نرسم الدائرة مركزها A وشعاعها AB أو AC أو AD حسب الرؤوس B,C,D.

تمرين 4
3
تمرين 4 :
1) ابن مثلثا ABC حيث AB = 3cm و AC = 6cm و BC = 4cm.
2) ابن المستقيم (d) الموسط العمودي للقطعة [AB] والمستقيم (d') الموسط العمودي للقطعة [AC].
المستقيمان (d) و (d') يتقاطعان في النقطة O.
3) ابن النقطة D بحيث يكون المثلث DBC متقايس الضلعين قمته الرئيسية D و زاوية CBD = 34°.
4) بين أن المستقيم (OD) هو الموسط العمودي لقطعة المستقيم [BC].
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • O تقاطع موسطين عموديين في ABC، إذن OA=OB=OC.
  • إذا كان DBC متقايس الضلعين قمته D، فإن DB=DC.
  • النقاط المتساوية البعد عن B و C تقع على الموسط العمودي لـ[BC].

📝 الطريقة

من O مركز الدائرة المحيطة بـABC نستنتج OB=OC.

من DBC متقايس الضلعين في D نستنتج DB=DC.

كل من O و D ينتمي إلى الموسط العمودي لـ[BC].

إذن المستقيم OD هو ذلك الموسط العمودي.

✅ الحل الكامل

بما أن (d) و(d’) موسطان عموديان لـ[AB] و[AC] ويتقاطعان في O، فإن O مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ABC، وبالتالي OB=OC.

بما أن المثلث DBC متقايس الضلعين قمته D، فإن DB=DC.

كل نقطة متساوية البعد عن B و C تنتمي إلى الموسط العمودي للقطعة [BC]. إذن O ينتمي إلى الموسط العمودي لـ[BC] و D كذلك.

المستقيم الوحيد المار بنقطتين من الموسط العمودي هو الموسط العمودي نفسه، لذلك (OD) هو الموسط العمودي لـ[BC].

تمرين 5
4
تمرين 5 :
1) أرسم مثلثا ABC قائم الزاوية في A و AB = 3cm و AC = 4cm.
عين النقطة O منتصف [BC] و D نقطة من قطعة المستقيم [AB].
2) ابن المستقيم (d) الموسط العمودي للقطعة [DB] والمستقيم (d') الموسط العمودي للقطعة [DC].
المستقيمان (d) و (d') يتقاطعان في النقطة I.
3) بين أن المستقيم (OI) هو الموسط العمودي لقطعة المستقيم [BC].
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • I تقاطع موسطَي [DB] و[DC]، إذن ID=IB و ID=IC.
  • في المثلث القائم ABC، O منتصف الوتر BC؛ إذن OA=OB=OC.
  • لإثبات أن OI موسط عمودي لـBC يكفي إثبات OB=OC و IB=IC.

📝 الطريقة

من I على الموسط العمودي لـDB نحصل على ID=IB.

من I على الموسط العمودي لـDC نحصل على ID=IC.

إذن IB=IC، فينتمي I إلى الموسط العمودي لـBC.

O منتصف BC، إذن O ينتمي أيضا إلى هذا الموسط.

✅ الحل الكامل

بما أن I ينتمي إلى الموسط العمودي لـ[DB]، فإن ID=IB.

وبما أن I ينتمي إلى الموسط العمودي لـ[DC]، فإن ID=IC.

إذن IB=IC، أي إن I متساوية البعد عن B و C، لذلك I تنتمي إلى الموسط العمودي لـ[BC].

O هو منتصف [BC]، وكل موسط عمودي لـ[BC] يمر من منتصفها O. إذن المستقيم (OI) هو الموسط العمودي للقطعة [BC].

تمرين 7
5
تمرين 7 :
نعتبر الرسم التالي حيث ABC مثلث قائم الزاوية في النقطة A :
1) ابن المستقيمين (دلتا) الموسط العمودي للضلع [DC] و (دلتا') الموسط العمودي للضلع [AD]. لتكن O نقطة تقاطعهما.
2) ابن المستقيمين (d) الموسط العمودي للضلع [BC] و (d') الموسط العمودي للضلع [AB]. لتكن O' نقطة تقاطعهما.
3) أ- ماذا تمثل النقطة O بالنسبة للمثلث ADC؟
ب- استنتج أن OA = OC.
ج- بين أن المستقيم (OO') هو الموسط العمودي لقطعة المستقيم [AC].
د- استنتج أن (OO') موازٍ للمستقيم (AB).
4) المستقيمان (d) و (دلتا) يتقاطعان في النقطة I. ماذا تمثل النقطة I بالنسبة للمثلث BDC؟
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • O تقاطع موسطين عموديين في المثلث ADC.
  • O’ تقاطع موسطين عموديين في المثلث ABC.
  • إذا كان O وO’ متساويي البعد عن A و C فهما على الموسط العمودي لـAC.
  • إذا كان ABC قائم في A، فالموسط العمودي لـAC يوازي AB.

📝 الطريقة

O مركز الدائرة المحيطة بـADC، إذن OA=OC=OD.

O’ مركز الدائرة المحيطة بـABC، إذن O’A=O’C=O’B.

إذن O وO’ نقطتان من الموسط العمودي لـAC، فيكون OO’ هو هذا الموسط.

بما أن AB ⟂ AC و OO’ ⟂ AC، إذن OO’ ∥ AB.

✅ الحل الكامل

في المثلث ADC، تقاطع الموسطين العموديين لـ[DC] و[AD] هو O، لذلك O مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ADC.

إذن OA=OC.

في المثلث ABC، تقاطع الموسطين العموديين لـ[BC] و[AB] هو O’، لذلك O’ مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ABC، ومنه O’A=O’C.

كل من O وO’ متساو البعد عن A و C، إذن ينتميان إلى الموسط العمودي للقطعة [AC]. لذلك (OO’) هو الموسط العمودي لـ[AC].

بما أن ABC قائم في A، فإن (AB) ⟂ (AC). وبما أن (OO’) ⟂ (AC)، نستنتج أن (OO’) ∥ (AB).

إذا تقاطع (d) و(دلتا) في I، فهما موسطان عموديان في المثلث BDC، إذن I مركز الدائرة المحيطة بالمثلث BDC.