الحالة 1: ارسم [BC] ثم زاويتين عند B و C، وبعد الحصول على A ارسم منصفَي زاويتين.
الحالة 2: ارسم زاوية قائمة عند A وضع AB و AC، ثم ارسم منصف زاوية A ومنصف زاوية B أو C.
الحالة 3: ارسم الزاوية BAC ثم ضع BA و CA، وبعدها ارسم المنصفات.
الحالة 1: نرسم [BC]=5cm، ثم الشعاع من B بزاوية 60° والشعاع من C بزاوية 50°. تقاطعهما هو A. نرسم منصفَي زاويتين؛ تقاطعهما هو I. ثم نرسم الدائرة مركزها I والمماسة للأضلاع.
الحالة 2: لأن BAC=90°، نبني زاوية قائمة في A ثم نضع AB=6cm و AC=4.5cm. تقاطع منصفَي زاويتين يعطي I، وهو مركز الدائرة المحاطة.
الحالة 3: نبني المثلث من BA=7cm و CA=6cm والزاوية BAC=110°. ثم نرسم منصف زاوية A ومنصف زاوية B مثلا؛ نقطة التقاطع I هي المركز المطلوب.
نبني ABC ثم BI و CI؛ تقاطعهما I.
نستعمل خاصية تلاقي منصفات زوايا المثلث: AI هو منصف الزاوية BAC.
في المثلث ABD، بما أن BJ و DJ منصفان، فإن AJ هو المنصف الثالث.
إذن A و I و J على حامل منصف الزاوية BAC.
بعد بناء المثلث ABC، نرسم منصف الزاوية ABC ومنصف الزاوية ACB. تقاطعهما I.
بما أن I نقطة تقاطع منصفين في المثلث ABC، فهي مركز الدائرة المحاطة به؛ لذلك تقع أيضا على منصف الزاوية BAC، أي أن [AI] منصف للزاوية BAC.
النقطة D على [AC] و [BI]. في المثلث ABD، لدينا [BJ] منصف للزاوية ABD و [DJ] منصف للزاوية ADB، إذن J مركز الدائرة المحاطة بالمثلث ABD.
إذن [AJ] هو منصف الزاوية DAB. وبما أن D على AC فإن الزاوية DAB هي نفسها الزاوية CAB. إذن A و I و J كلهم على منصف الزاوية BAC، وبالتالي هم على استقامة واحدة.
نحسب ACB = 180° - 90° - 50°.
نصف زاوية B هو 25° ونصف زاوية C هو 20°.
I مركز الدائرة المحاطة لأنّه تقاطع منصفين.
AIC = 90° + نصف الزاوية ABC.
ACB = 180° - (BAC + ABC) = 180° - (90° + 50°) = 40°.
بما أن I تقاطع منصفَي الزاويتين B و C فهو مركز الدائرة المحاطة بالمثلث ABC.
BIC = 90° + BAC/2 = 90° + 45° = 135°.
AIC = 90° + ABC/2 = 90° + 25° = 115°.
نرسم المثلث القائم ثم منصفَي الزاويتين.
BAy = BAC/2.
بعد رسم D بحيث BAD=60° ورسم منصف ADB، نستعمل علاقات الزوايا داخل المثلث ABD مع المنصف Bx و Dz للوصول إلى BAO’=30°.
OAO’ هو الفرق بين BAO=45° و BAO’=30°.
بما أن ABC قائم في A فإن BAC=90°.
Ay منصف للزاوية BAC، لذلك BAy = 90° / 2 = 45°.
النقطة O’ تنتمي إلى Bx و Dz. باستعمال أن Bx منصف للزاوية ABD وأن Dz منصف للزاوية ADB في المثلث ABD، يكون AO’ هو المنصف الثالث للزاوية BAD. وبما أن BAD=60° فإن BAO’=60°/2=30°.
O يقع على Ay، إذن BAO=BAy=45°. لذلك OAO’ = BAO - BAO’ = 45° - 30° = 15°.
الحالة 1: احسب A=70° ثم ارسم ارتفاعين.
الحالة 2: BAC=90°، إذن H=A.
الحالة 3: احسب A=130°، المثلث منفرج، فارسم الارتفاعات على امتدادات الأضلاع.
الحالة 1: A = 180° - 60° - 50° = 70°. بعد بناء المثلث، نرسم من A عمودا على BC ومن B عمودا على AC؛ تقاطعهما هو H.
الحالة 2: المثلث قائم في A، والارتفاعان الصادران من B و C هما الضلعان BA و CA، لذلك يتقاطعان في A. إذن H=A.
الحالة 3: A = 180° - 30° - 20° = 130°. المثلث منفرج في A؛ نرسم ارتفاعين على امتدادات الأضلاع، ونقطة تقاطعهما خارج المثلث هي H.
AB = 12 - 4 - 3.
نلاحظ أن AB=5 و AC=5 فينتج أن ABC متقايس الضلعين في A.
BH ارتفاع من B لأن BH عمودي على AC.
CK ارتفاع من C، وتقاطع CK و BH هو I.
من المحيط: AH + BH + AB = 12، أي 4 + 3 + AB = 12، ومنه AB = 5cm.
بما أن AC=5cm و AB=5cm، فإن المثلث ABC متقايس الضلعين قمته الرئيسية A.
لدينا BH ⟂ AH، وبما أن A وH وC على استقامة واحدة، فإن BH ⟂ AC. إذن (BH) ارتفاع من B في المثلث ABC.
كما أن [CK] ارتفاع من C. إذن I، تقاطع (BH) و(CK)، هو المركز القائم للمثلث ABC.
بما أن I مركز قائم، فإن الارتفاع الثالث يمر من A و I، وبالتالي (AI) ⟂ (BC).
B=C=(180°-90°)/2=45°.
O منتصف EC إذن AO متوسط في المثلث AEC.
B منتصف AE إذن CB متوسط في المثلث AEC.
I تقاطع متوسطين، إذن مركز ثقل؛ لذلك EI هو المتوسط الثالث ويقطع AC في منتصفها K.
بما أن ABC قائم في A و AB=AC، فهو قائم متقايس الضلعين، لذلك ABC=ACB=45°.
في المثلث AEC: B هو منتصف [AE]، إذن (CB) متوسط من C. وO هو منتصف [EC]، إذن (AO) متوسط من A.
المستقيمان (BC) و(AO) يتقاطعان في I، إذن I هو مركز ثقل المثلث AEC.
بما أن مركز الثقل يقع على المتوسطات الثلاثة، فإن المستقيم (EI) هو المتوسط الصادر من E، فيقطع [AC] في منتصفها. إذن K منتصف [AC].
أما المثلث OAE: بما أن B منتصف [AE] و ABC قائم متقايس، فإن النتيجة الدقيقة تعتمد على الرسم، لكن يمكن إثبات أن OA=OE إذا كان O منتصف الوتر EC في المثلث AEC القائم المناسب.
نحسب ACB=45°.
نستنتج AB=AC، أي المثلث متقايس الضلعين في A.
I منتصف الوتر BC، إذن IA=IB=IC.
IA هو الموسط العمودي لـ BC لأن A متساوي البعد عن B و C و I منتصف BC.
ACB = 180° - 90° - 45° = 45°.
بما أن ABC=ACB، فإن الضلعين المقابلين لهما متساويان: AC=AB. إذن ABC متقايس الضلعين قمته A.
I منتصف [BC]. وبما أن AB=AC، فإن A ينتمي إلى الموسط العمودي لـ [BC]. هذا الموسط يمر من منتصف [BC] وهو I، إذن (IA) هو الموسط العمودي لـ [BC].
بما أن (IA) ⟂ (BC) و C تنتمي إلى (BC)، فإن المثلث IAC قائم في I.
مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ABC هو I، لأنه منتصف الوتر [BC].
المركز القائم للمثلث IAB هو I إذا كان IA ⟂ IB؛ وبما أن IB على BC و IA ⟂ BC، فإن المثلث IAB قائم في I.
حسب الرسم، الزاوية الخارجية 32° عند B تساوي الزاوية عند C؛ لذلك تظهر علاقة تساوي الزوايا.
إذا كانت xBy=116°، فالزاوية الداخلية المجاورة لها عند B تساوي 180°-116°=64°.
نقارن 64° مع الزوايا الأخرى للحكم على تساوي الساقين.
في السؤال 1، بما أن الزاوية الخارجية المعطاة عند B تساوي الزاوية الداخلية عند C (32°)، فإن الحكم يعتمد على موضع هذه الزاوية في الرسم. إذا كانت الزاوية الخارجية مقابلة بالراس أو مجاورة كما في الرسم، فإننا نستنتج تساوي زاويتين مناسبتين، وبالتالي يكون المثلث متقايس الضلعين.
في السؤال 2: إذا كانت xBy=116° وهي زاوية خارجية مجاورة للزاوية الداخلية ABC، فإن ABC = 180° - 116° = 64°.
بما أن الزاوية عند C تساوي 32°، فالزاويتان B و C غير متساويتين. إذن لا نستنتج أن ABC متقايس الضلعين من هذه المعطيات، بل يجب وجود زاويتين داخليتين متساويتين.