الحالة 1: ارسم [BC] ثم زاويتين عند B و C، وبعد الحصول على A ارسم منصفَي زاويتين.
الحالة 2: ارسم زاوية قائمة عند A وضع AB و AC، ثم ارسم منصف زاوية A ومنصف زاوية B أو C.
الحالة 3: ارسم الزاوية BAC ثم ضع BA و CA، وبعدها ارسم المنصفات.
الحالة 1: نرسم [BC]=5cm، ثم الشعاع من B بزاوية 60° والشعاع من C بزاوية 50°. تقاطعهما هو A. نرسم منصفَي زاويتين؛ تقاطعهما هو I. ثم نرسم الدائرة مركزها I والمماسة للأضلاع.
الحالة 2: لأن BAC=90°، نبني زاوية قائمة في A ثم نضع AB=6cm و AC=4.5cm. تقاطع منصفَي زاويتين يعطي I، وهو مركز الدائرة المحاطة.
الحالة 3: نبني المثلث من BA=7cm و CA=6cm والزاوية BAC=110°. ثم نرسم منصف زاوية A ومنصف زاوية B مثلا؛ نقطة التقاطع I هي المركز المطلوب.
نبني ABC ثم BI و CI؛ تقاطعهما I.
نستعمل خاصية تلاقي منصفات زوايا المثلث: AI هو منصف الزاوية BAC.
في المثلث ABD، بما أن BJ و DJ منصفان، فإن AJ هو المنصف الثالث.
إذن A و I و J على حامل منصف الزاوية BAC.
بعد بناء المثلث ABC، نرسم منصف الزاوية ABC ومنصف الزاوية ACB. تقاطعهما I.
بما أن I نقطة تقاطع منصفين في المثلث ABC، فهي مركز الدائرة المحاطة به؛ لذلك تقع أيضا على منصف الزاوية BAC، أي أن [AI] منصف للزاوية BAC.
النقطة D على [AC] و [BI]. في المثلث ABD، لدينا [BJ] منصف للزاوية ABD و [DJ] منصف للزاوية ADB، إذن J مركز الدائرة المحاطة بالمثلث ABD.
إذن [AJ] هو منصف الزاوية DAB. وبما أن D على AC فإن الزاوية DAB هي نفسها الزاوية CAB. إذن A و I و J كلهم على منصف الزاوية BAC، وبالتالي هم على استقامة واحدة.
نحسب ACB = 180° - 90° - 50°.
نصف زاوية B هو 25° ونصف زاوية C هو 20°.
I مركز الدائرة المحاطة لأنّه تقاطع منصفين.
AIC = 90° + نصف الزاوية ABC.
ACB = 180° - (BAC + ABC) = 180° - (90° + 50°) = 40°.
بما أن I تقاطع منصفَي الزاويتين B و C فهو مركز الدائرة المحاطة بالمثلث ABC.
BIC = 90° + BAC/2 = 90° + 45° = 135°.
AIC = 90° + ABC/2 = 90° + 25° = 115°.
نرسم المثلث القائم ثم منصفَي الزاويتين.
BAy = BAC/2.
بعد رسم D بحيث BAD=60° ورسم منصف ADB، نستعمل علاقات الزوايا داخل المثلث ABD مع المنصف Bx و Dz للوصول إلى BAO’=30°.
OAO’ هو الفرق بين BAO=45° و BAO’=30°.
بما أن ABC قائم في A فإن BAC=90°.
Ay منصف للزاوية BAC، لذلك BAy = 90° / 2 = 45°.
النقطة O’ تنتمي إلى Bx و Dz. باستعمال أن Bx منصف للزاوية ABD وأن Dz منصف للزاوية ADB في المثلث ABD، يكون AO’ هو المنصف الثالث للزاوية BAD. وبما أن BAD=60° فإن BAO’=60°/2=30°.
O يقع على Ay، إذن BAO=BAy=45°. لذلك OAO’ = BAO - BAO’ = 45° - 30° = 15°.
في EFG: G = 180° - 30° - 20° = 130°.
بما أن GFx مجاورة ومقايسة لـ EFG فإن FG منصف للزاوية EFH.
وبما أن GEy مجاورة ومقايسة لـ FEG فإن EG منصف للزاوية FEH.
تقاطع منصفين في المثلث EFH هو مركز الدائرة المحاطة به.
نحسب: EGF = 180° - (30° + 20°) = 130°.
عند F، الزاويتان EFG و GFH متقايسان، إذن FG منصف الزاوية EFH.
عند E، الزاويتان FEG و GEH متقايسان، إذن EG منصف الزاوية FEH.
في المثلث EFH، المستقيمان EG و FG منصفان لزاويتين ويتقاطعان في G. إذن G هو مركز الدائرة المحاطة بالمثلث EFH.
نشتغل داخل المثلث ABD.
D على AC، إذن AD على نفس مستقيم AC، ومن ثم Ay منصف الزاوية BAD.
الزاويتان ABC و CBx متقايسان، إذن BC منصف الزاوية ABD، و I على BC.
I تقاطع منصفين، إذن هو مركز الدائرة المحاطة بالمثلث ABD.
في المثلث ABD: بما أن D ينتمي إلى (AC)، فإن الزاوية BAD هي نفسها الزاوية BAC، وبالتالي [AI] منصف للزاوية BAD.
وبما أن الزاوية CBx مجاورة ومقايسة للزاوية ABC، فإن [BC] منصف للزاوية ABD، والنقطة I تنتمي إلى [BC].
إذن I هي نقطة تقاطع منصفَي زاويتين في المثلث ABD، فهي مركز الدائرة المحاطة بهذا المثلث.
وبما أن I مركز الدائرة المحاطة بالمثلث ABD، فهي تنتمي أيضا إلى منصف الزاوية ADB، لذلك ADI = BDI.
نستعمل تماثل المثلث ABC المتقايس الأضلاع حول المستقيم المار من A ومنتصف BC.
نثبت أن AI هو الموسط العمودي لـ BC.
في المثلث BDC حيث DB=DC حسب البناء/التماثل المطلوب في الرسم، يقع J على الموسط العمودي لـ BC.
إذن I و J و A على نفس المستقيم.
في مثلث ABC متقايس الأضلاع: AB=AC و ∠B=∠C=60°. مركز الدائرة المحاطة I يقع على منصف الزاوية A.
منصف الزاوية A في مثلث متقايس الأضلاع هو أيضا الموسط العمودي للضلع [BC]، لذلك (AI) ⟂ (BC) ويمر من منتصف [BC].
عند بناء J مركز الدائرة المحاطة بالمثلث BDC، فإن J يقع على منصف الزاوية عند D وعلى محور تماثل الضلع [BC]، أي على الموسط العمودي لـ [BC].
بما أن A و I و J كلها على نفس الموسط العمودي لـ [BC]، فإن النقاط A و I و J على استقامة واحدة.
الحالة 1: احسب A=70° ثم ارسم ارتفاعين.
الحالة 2: BAC=90°، إذن H=A.
الحالة 3: احسب A=130°، المثلث منفرج، فارسم الارتفاعات على امتدادات الأضلاع.
الحالة 1: A = 180° - 60° - 50° = 70°. بعد بناء المثلث، نرسم من A عمودا على BC ومن B عمودا على AC؛ تقاطعهما هو H.
الحالة 2: المثلث قائم في A، والارتفاعان الصادران من B و C هما الضلعان BA و CA، لذلك يتقاطعان في A. إذن H=A.
الحالة 3: A = 180° - 30° - 20° = 130°. المثلث منفرج في A؛ نرسم ارتفاعين على امتدادات الأضلاع، ونقطة تقاطعهما خارج المثلث هي H.
AB = 12 - 4 - 3.
نلاحظ أن AB=5 و AC=5 فينتج أن ABC متقايس الضلعين في A.
BH ارتفاع من B لأن BH عمودي على AC.
CK ارتفاع من C، وتقاطع CK و BH هو I.
من المحيط: AH + BH + AB = 12، أي 4 + 3 + AB = 12، ومنه AB = 5cm.
بما أن AC=5cm و AB=5cm، فإن المثلث ABC متقايس الضلعين قمته الرئيسية A.
لدينا BH ⟂ AH، وبما أن A وH وC على استقامة واحدة، فإن BH ⟂ AC. إذن (BH) ارتفاع من B في المثلث ABC.
كما أن [CK] ارتفاع من C. إذن I، تقاطع (BH) و(CK)، هو المركز القائم للمثلث ABC.
بما أن I مركز قائم، فإن الارتفاع الثالث يمر من A و I، وبالتالي (AI) ⟂ (BC).
ABC = 180° - 120° - 25° = 35°.
بما أن CH ⟂ AB، فإن BAH = BAC - HAC، ونستعمل المثلث AHC القائم.
بما أن BK ⟂ AC، فإن CAK مرتبط بالزاوية A.
بعد إيجاد الزوايا، نستنتج الزوايا 30° داخل المثلثات القائمة.
ABC = 180° - (120° + 25°) = 35°.
بما أن CH ارتفاع من C، فإن CH ⟂ AB. في المثلث ACH القائم في H: ACH = ACB = 25°، ومنه CAH = 90° - 25° = 65°. إذن BAH = BAC - CAH = 120° - 65° = 55°.
بما أن BK ارتفاع من B، فإن BK ⟂ AC. في المثلث ABK القائم في K: ABK = ABC = 35°، ومنه BAK = 90° - 35° = 55°. إذن CAK = BAC - BAK = 120° - 55° = 65°.
في المثلث ACK القائم في K: ACK = 90° - CAK = 90° - 65° = 25°. ملاحظة: إذا كان المطلوب في نصك ACK=30° و ABH=30° فهناك عدم انسجام مع المعطيات 120° و25°؛ الحساب الصحيح يعطي 25° و35°/أو حسب موضع H,K في الرسم. يجب مراجعة الرسم الأصلي.
O تقاطع الارتفاعين CH و BK، إذن هو المركز القائم للمثلث ABC، ومن ثم (AO) ⟂ (BC).
نثبت أن CH ارتفاع من C في المثلث ABC.
نثبت أن AK ارتفاع من A في المثلث ABC.
I تقاطع CH و AK، إذن هو المركز القائم.
الارتفاع الثالث يمر من B و I.
بما أن HBC قائم في H، فإن CH ⟂ BH. وبما أن A تنتمي إلى (BH)، فإن CH ⟂ AB، أي أن (CH) ارتفاع من C في المثلث ABC.
حسب البناء، AK ⟂ BC، إذن (AK) ارتفاع من A في المثلث ABC.
النقطة I هي تقاطع المستقيمين (CH) و (AK)، أي تقاطع ارتفاعين، لذلك I هو المركز القائم للمثلث ABC.
إذن الارتفاع الثالث يمر من B ومن المركز القائم I، وبالتالي (BI) ⟂ (AC).
نرسم من A نصف المستقيم [Ax) ثم نضع عليه B.
بما أن [AM] ارتفاع من A، فالضلع BC يجب أن يكون عموديا على AM ويمر من M.
بما أن H مركز قائم، فإن CH يجب أن يمر من H ويكون عموديا على AB.
C هو تقاطع المستقيم المار من M العمودي على AM مع المستقيم المار من H العمودي على AB.
نرسم نصف المستقيم [Ax) ونختار عليه النقطة B كما في الرسم.
نرسم من M المستقيم العمودي على (AM). هذا المستقيم هو حامل الضلع (BC) لأن [AM] ارتفاع صادر من A.
نرسم من H المستقيم العمودي على (AB). هذا المستقيم هو حامل الارتفاع الصادر من C، وبالتالي يمر بالنقطة C.
نقطة تقاطع هذين المستقيمين هي C. عندها يكون AM عموديا على BC و CH عموديا على AB، فيكون H تقاطع ارتفاعين، أي المركز القائم للمثلث ABC.
نرسم [BC]=6cm ونضع I بحيث BI=2cm.
نرسم من I عمودا على BC ونختار عليه A بحيث AI=3cm.
نحسب المساحة باستعمال BC كقاعدة و AI كارتفاع.
حسب البناء، [AI] ارتفاع صادر من A على القاعدة [BC].
مساحة المثلث ABC = (BC × AI) / 2 = (6 × 3) / 2 = 18 / 2 = 9cm².
إذن مساحة المثلث ABC هي 9cm².