تمارين 3 مراحل دقيقة - hauteurs5

دفواراتي
تمرين 18
1
تمرين 18 - ارتفاعات المثلث
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • HBC قائم في H، إذن CH عمودي على BH.
  • A على BH، إذن CH عمودي على AB.
  • AK مرسوم عموديا على BC.
  • ارتفاعان في ABC يتقاطعان في I.

📝 الطريقة

نثبت أن CH ارتفاع من C في المثلث ABC.

نثبت أن AK ارتفاع من A في المثلث ABC.

I تقاطع CH و AK، إذن هو المركز القائم.

الارتفاع الثالث يمر من B و I.

✅ الحل الكامل

بما أن HBC قائم في H، فإن CH ⟂ BH. وبما أن A تنتمي إلى (BH)، فإن CH ⟂ AB، أي أن (CH) ارتفاع من C في المثلث ABC.

حسب البناء، AK ⟂ BC، إذن (AK) ارتفاع من A في المثلث ABC.

النقطة I هي تقاطع المستقيمين (CH) و (AK)، أي تقاطع ارتفاعين، لذلك I هو المركز القائم للمثلث ABC.

إذن الارتفاع الثالث يمر من B ومن المركز القائم I، وبالتالي (BI) ⟂ (AC).

تمرين 18
2
تمرين 18 - ارتفاعات المثلث
نص التمرين
نعتبر الرسم التالي حيث HBC مثلث قائم الزاوية في H و K نقطة من قطعة المستقيم [BC].
1) أرسم المستقيم المار من K والعمودي على المستقيم (BC) حيث يقطع المستقيم (BH) في نقطة A.
لتكن I نقطة تقاطع المستقيمين (CH) و (AK).
2) بين أن النقطة I هي المركز القائم للمثلث ABC.
3) استنتج أن (BI) عمودي على (AC).
التصحيح المفصل على 3 مراحل
المرحلة 1 : الإشارات
• المثلث HBC قائم في H، إذن BH ⟂ HC.
• K نقطة على BC، ونرسم من K عموداً على BC.
• هذا العمود يلتقي مع BH في نقطة A.
• نرسم المستقيمين AK و CH، ويتقاطعان في I.
• نريد إثبات أن I هو المركز القائم للمثلث ABC.
المرحلة 2 : الفكرة
• المركز القائم هو نقطة تقاطع الارتفاعات.
• إذا أثبتنا أن AK ارتفاع في المثلث ABC، وأن CH ارتفاع أيضاً، فإن تقاطعهما هو المركز القائم.
• ثم نستنتج أن المستقيم المار من الرأس A والمركز القائم يكون عمودياً على BC.
• وبما أن المركز القائم متناظر في الارتفاعات، فإن BI أيضاً عمودي على AC.
المرحلة 3 : التصحيح المفصل
1) رسم المستقيم AK:
• K على BC.
• نرسم من K عموداً على BC.
• هذا العمود يلتقي مع BH في نقطة A.
• إذن AK ⟂ BC.
2) إثبات أن I هو المركز القائم:
• CH ⟂ BH (لأن المثلث HBC قائم في H).
• إذن CH عمودي على AB (لأن A على BH).
• إذن CH ارتفاع في المثلث ABC.
• AK عمودي على BC، إذن AK ارتفاع أيضاً.
• تقاطع ارتفاعين يعطي المركز القائم.
• إذن I هو المركز القائم للمثلث ABC.
3) استنتاج أن (BI) ⟂ (AC):
• في أي مثلث، المستقيم المار من الرأس والمركز القائم يكون عمودياً على الضلع المقابل.
• بما أن I هو المركز القائم، فإن:
(BI) ⟂ (AC).
`
---
✅ exercice19.html
`html
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • HBC قائم في H، إذن CH عمودي على BH.
  • A على BH، إذن CH عمودي على AB.
  • AK مرسوم عموديا على BC.
  • ارتفاعان في ABC يتقاطعان في I.

📝 الطريقة

نثبت أن CH ارتفاع من C في المثلث ABC.

نثبت أن AK ارتفاع من A في المثلث ABC.

I تقاطع CH و AK، إذن هو المركز القائم.

الارتفاع الثالث يمر من B و I.

✅ الحل الكامل

بما أن HBC قائم في H، فإن CH ⟂ BH. وبما أن A تنتمي إلى (BH)، فإن CH ⟂ AB، أي أن (CH) ارتفاع من C في المثلث ABC.

حسب البناء، AK ⟂ BC، إذن (AK) ارتفاع من A في المثلث ABC.

النقطة I هي تقاطع المستقيمين (CH) و (AK)، أي تقاطع ارتفاعين، لذلك I هو المركز القائم للمثلث ABC.

إذن الارتفاع الثالث يمر من B ومن المركز القائم I، وبالتالي (BI) ⟂ (AC).

تمرين 19
3
تمرين 19 - ارتفاعات المثلث
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • H مركز قائم، إذن كل مستقيم يمر من رأس و H هو ارتفاع.
  • AM ارتفاع صادر من A، إذن AM عمودي على BC.
  • B على نصف المستقيم [Ax) يحدد حامل الضلع AB.

📝 الطريقة

نرسم من A نصف المستقيم [Ax) ثم نضع عليه B.

بما أن [AM] ارتفاع من A، فالضلع BC يجب أن يكون عموديا على AM ويمر من M.

بما أن H مركز قائم، فإن CH يجب أن يمر من H ويكون عموديا على AB.

C هو تقاطع المستقيم المار من M العمودي على AM مع المستقيم المار من H العمودي على AB.

✅ الحل الكامل

نرسم نصف المستقيم [Ax) ونختار عليه النقطة B كما في الرسم.

نرسم من M المستقيم العمودي على (AM). هذا المستقيم هو حامل الضلع (BC) لأن [AM] ارتفاع صادر من A.

نرسم من H المستقيم العمودي على (AB). هذا المستقيم هو حامل الارتفاع الصادر من C، وبالتالي يمر بالنقطة C.

نقطة تقاطع هذين المستقيمين هي C. عندها يكون AM عموديا على BC و CH عموديا على AB، فيكون H تقاطع ارتفاعين، أي المركز القائم للمثلث ABC.

تمرين 19
4
تمرين 19 - ارتفاعات المثلث
نص التمرين
1) انقل الرسم التالي.
2) أرسم المثلث ABC علما أن:
- النقطة B تنتمي إلى نصف المستقيم [Ax).
- النقطة H مركزه القائم وقطعة المستقيم [AM] ارتفاعه الصادر من A.
التصحيح المفصل على 3 مراحل
المرحلة 1 : الإشارات
• H هو المركز القائم للمثلث ABC.
• AM هو ارتفاع صادر من A، إذن AM ⟂ BC.
• B على نصف المستقيم [Ax)، أي على امتداد A في اتجاه معين.
• نحتاج إلى تحديد مواقع A و B و C بحيث يكون H مركزاً قائماً.
المرحلة 2 : الفكرة
• المركز القائم هو تقاطع الارتفاعات.
• إذا كان H مركزاً قائماً، فإن:
AH ⟂ BC
BH ⟂ AC
CH ⟂ AB
• نستخدم هذه العلاقات لبناء المثلث.
المرحلة 3 : التصحيح المفصل
1) نقل الرسم:
• ننقل النقاط A و H و M كما في المعطيات.
2) بناء المثلث ABC:
• نرسم من A الارتفاع AM بحيث يكون عمودياً على BC.
• نرسم من H عموداً على AM، هذا العمود يحدد اتجاه BC.
• نختار نقطة B على نصف المستقيم [Ax).
• نرسم من H عموداً على AB، فيلتقي مع BC في C.
• نحصل على المثلث ABC الذي مركزه القائم هو H.
`
---
✅ exercice20.html
`html
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • H مركز قائم، إذن كل مستقيم يمر من رأس و H هو ارتفاع.
  • AM ارتفاع صادر من A، إذن AM عمودي على BC.
  • B على نصف المستقيم [Ax) يحدد حامل الضلع AB.

📝 الطريقة

نرسم من A نصف المستقيم [Ax) ثم نضع عليه B.

بما أن [AM] ارتفاع من A، فالضلع BC يجب أن يكون عموديا على AM ويمر من M.

بما أن H مركز قائم، فإن CH يجب أن يمر من H ويكون عموديا على AB.

C هو تقاطع المستقيم المار من M العمودي على AM مع المستقيم المار من H العمودي على AB.

✅ الحل الكامل

نرسم نصف المستقيم [Ax) ونختار عليه النقطة B كما في الرسم.

نرسم من M المستقيم العمودي على (AM). هذا المستقيم هو حامل الضلع (BC) لأن [AM] ارتفاع صادر من A.

نرسم من H المستقيم العمودي على (AB). هذا المستقيم هو حامل الارتفاع الصادر من C، وبالتالي يمر بالنقطة C.

نقطة تقاطع هذين المستقيمين هي C. عندها يكون AM عموديا على BC و CH عموديا على AB، فيكون H تقاطع ارتفاعين، أي المركز القائم للمثلث ABC.

تمرين 20
5
تمرين 20 - ارتفاعات المثلث
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • مساحة المثلث = نصف × القاعدة × الارتفاع الموافق لها.
  • القاعدة هي BC وطولها 6cm.
  • AI ارتفاع على BC وطوله 3cm.

📝 الطريقة

نرسم [BC]=6cm ونضع I بحيث BI=2cm.

نرسم من I عمودا على BC ونختار عليه A بحيث AI=3cm.

نحسب المساحة باستعمال BC كقاعدة و AI كارتفاع.

✅ الحل الكامل

حسب البناء، [AI] ارتفاع صادر من A على القاعدة [BC].

مساحة المثلث ABC = (BC × AI) / 2 = (6 × 3) / 2 = 18 / 2 = 9cm².

إذن مساحة المثلث ABC هي 9cm².

تمرين 20
6
تمرين 20 - ارتفاعات المثلث
نص التمرين
1) أرسم قطعة مستقيم [BC] قيس طولها 6cm ثم عين عليها نقطة I بحيث BI = 2cm.
2) ابن النقطة A بحيث تكون [AI] ارتفاع المثلث ABC الصادر من A قيس طوله 3cm.
3) احسب مساحة المثلث ABC.
التصحيح المفصل على 3 مراحل
المرحلة 1 : الإشارات
• BI = 2cm و BC = 6cm، إذن IC = 4cm.
• AI ارتفاع، إذن AI ⟂ BC.
• طول الارتفاع = 3cm.
• مساحة المثلث = (القاعدة × الارتفاع) ÷ 2.
المرحلة 2 : الفكرة
• نرسم BC.
• نحدد I بحيث BI = 2cm.
• من I نرسم عموداً طوله 3cm، فنحصل على A.
• نستعمل صيغة المساحة: (BC × AI) ÷ 2.
المرحلة 3 : التصحيح المفصل
1) رسم BC وتعيين I:
• نرسم BC = 6cm.
• نضع BI = 2cm، إذن I بين B و C.
2) بناء A:
• من I نرسم عموداً على BC.
• نضع عليه طول 3cm، فنحصل على A.
3) حساب مساحة المثلث ABC:
• القاعدة BC = 6cm.
• الارتفاع AI = 3cm.
• المساحة = (6 × 3) ÷ 2 = 9cm².
`
---
🎉 تمّ إنجاز جميع التمارين (8 → 20) بنفس التصميم وبالتصحيح المفصل على 3 مراحل
إذا تحب، أستطيع:
🔹 دمج كل الصفحات في ملف ZIP
أو
🔹 إنشاء صفحة فهرس رئيسية تربط بكل التمارين
أو
🔹 تحسين التصميم أكثر (ألوان – خطوط – أيقونات – إطار للرسوم الهندسية)
قلّي كيف تحب نكمل.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • مساحة المثلث = نصف × القاعدة × الارتفاع الموافق لها.
  • القاعدة هي BC وطولها 6cm.
  • AI ارتفاع على BC وطوله 3cm.

📝 الطريقة

نرسم [BC]=6cm ونضع I بحيث BI=2cm.

نرسم من I عمودا على BC ونختار عليه A بحيث AI=3cm.

نحسب المساحة باستعمال BC كقاعدة و AI كارتفاع.

✅ الحل الكامل

حسب البناء، [AI] ارتفاع صادر من A على القاعدة [BC].

مساحة المثلث ABC = (BC × AI) / 2 = (6 × 3) / 2 = 18 / 2 = 9cm².

إذن مساحة المثلث ABC هي 9cm².