نعتبر الرسم التالي حيث HBC مثلث قائم الزاوية في H و K نقطة من قطعة المستقيم [BC].
• المثلث HBC قائم في H، إذن BH ⟂ HC.
• K نقطة على BC، ونرسم من K عموداً على BC.
• هذا العمود يلتقي مع BH في نقطة A.
• نرسم المستقيمين AK و CH، ويتقاطعان في I.
• نريد إثبات أن I هو المركز القائم للمثلث ABC.
• المركز القائم هو نقطة تقاطع الارتفاعات.
• إذا أثبتنا أن AK ارتفاع في المثلث ABC، وأن CH ارتفاع أيضاً، فإن تقاطعهما هو المركز القائم.
• ثم نستنتج أن المستقيم المار من الرأس A والمركز القائم يكون عمودياً على BC.
• وبما أن المركز القائم متناظر في الارتفاعات، فإن BI أيضاً عمودي على AC.
1) رسم المستقيم AK:
• K على BC.
• نرسم من K عموداً على BC.
• هذا العمود يلتقي مع BH في نقطة A.
• إذن AK ⟂ BC.
2) إثبات أن I هو المركز القائم:
• CH ⟂ BH (لأن المثلث HBC قائم في H).
• إذن CH عمودي على AB (لأن A على BH).
• إذن CH ارتفاع في المثلث ABC.
• AK عمودي على BC، إذن AK ارتفاع أيضاً.
• تقاطع ارتفاعين يعطي المركز القائم.
• إذن I هو المركز القائم للمثلث ABC.
3) استنتاج أن (BI) ⟂ (AC):
• في أي مثلث، المستقيم المار من الرأس والمركز القائم يكون عمودياً على الضلع المقابل.
• بما أن I هو المركز القائم، فإن:
(BI) ⟂ (AC).
- النقطة B تنتمي إلى نصف المستقيم [Ax).
- النقطة H مركزه القائم وقطعة المستقيم [AM] ارتفاعه الصادر من A.
• H هو المركز القائم للمثلث ABC.
• AM هو ارتفاع صادر من A، إذن AM ⟂ BC.
• B على نصف المستقيم [Ax)، أي على امتداد A في اتجاه معين.
• نحتاج إلى تحديد مواقع A و B و C بحيث يكون H مركزاً قائماً.
• المركز القائم هو تقاطع الارتفاعات.
• إذا كان H مركزاً قائماً، فإن:
AH ⟂ BC
BH ⟂ AC
CH ⟂ AB
• نستخدم هذه العلاقات لبناء المثلث.
1) نقل الرسم:
• ننقل النقاط A و H و M كما في المعطيات.
2) بناء المثلث ABC:
• نرسم من A الارتفاع AM بحيث يكون عمودياً على BC.
• نرسم من H عموداً على AM، هذا العمود يحدد اتجاه BC.
• نختار نقطة B على نصف المستقيم [Ax).
• نرسم من H عموداً على AB، فيلتقي مع BC في C.
• نحصل على المثلث ABC الذي مركزه القائم هو H.
• BI = 2cm و BC = 6cm، إذن IC = 4cm.
• AI ارتفاع، إذن AI ⟂ BC.
• طول الارتفاع = 3cm.
• مساحة المثلث = (القاعدة × الارتفاع) ÷ 2.
• نرسم BC.
• نحدد I بحيث BI = 2cm.
• من I نرسم عموداً طوله 3cm، فنحصل على A.
• نستعمل صيغة المساحة: (BC × AI) ÷ 2.
1) رسم BC وتعيين I:
• نرسم BC = 6cm.
• نضع BI = 2cm، إذن I بين B و C.
2) بناء A:
• من I نرسم عموداً على BC.
• نضع عليه طول 3cm، فنحصل على A.
3) حساب مساحة المثلث ABC:
• القاعدة BC = 6cm.
• الارتفاع AI = 3cm.
• المساحة = (6 × 3) ÷ 2 = 9cm².