الإصلاح التفصيلي لتمارين المثلث

المستوى: السابعة والثامنة أساسي — نظام 3 خطوات تصحيحية

تمرين رقم 14ص 84
(1) ارسم مثلثاً \(ABC\) حيث \(BC=5\)، \(\widehat{ABC}=55°\) و \(\widehat{ACB}=45°\).
(2) ارسم \([AH]\) الارتفاع الصادر من \(A\).
(3) احسب \(\widehat{CAH}\) و \(\widehat{BAH}\).
(4) ارسم \(M\) المركز القائم للمثلث \(ABC\).
💡
📝
✅
لم تبدأ بعد

💡 تلميح

  • س3: \([AH]\) ارتفاع → \(\widehat{AHC}=90°\). في المثلث \(AHC\) مجموع الزوايا \(=180°\). ما الزاوية المجهولة؟
  • س3: نفس المنطق في المثلث \(AHB\) القائم في \(H\).
  • س4: المركز القائم = نقطة تقاطع الارتفاعات. ارسم ارتفاعاً ثانياً (من \(B\) أو \(C\)).

📝 الطريقة

حساب \(\widehat{BAC}\): مجموع زوايا المثلث \(=180°\):

\[\widehat{BAC} = 180° - 55° - 45° = 80°\]

في المثلث \(AHC\) (قائم في \(H\)):

\[\widehat{CAH} + \widehat{ACH} = 90° \implies \widehat{CAH} = 90° - 45° = 45°\]

في المثلث \(AHB\) (قائم في \(H\)):

\[\widehat{BAH} = 90° - \widehat{ABC} = 90° - 55° = 35°\]

تحقق: \(\widehat{CAH}+\widehat{BAH}=45°+35°=80°=\widehat{BAC}\) ✓

المركز القائم \(M\): ارسم ارتفاعاً ثانياً صادراً من \(B\) على \([AC]\). نقطة تقاطعه مع \([AH]\) هي \(M\).

✅ الحل الكامل

(3) حساب \(\widehat{CAH}\): في المثلث \(AHC\) القائم في \(H\): مجموع الزاويتين الحادتين \(=90°\). \[\widehat{CAH} = 90° - \widehat{ACH} = 90° - 45° = \mathbf{45°}\] حساب \(\widehat{BAH}\): في المثلث \(AHB\) القائم في \(H\): \[\widehat{BAH} = 90° - \widehat{ABH} = 90° - 55° = \mathbf{35°}\] تحقق: \(45°+35°=80°=\widehat{BAC}\) ✓ (4) المركز القائم \(M\): نرسم ارتفاعاً ثانياً من \(B\) على \([AC]\). نقطة تقاطعه مع \([AH]\) هي المركز القائم \(M\) للمثلث \(ABC\).
تمرين رقم 19ص 85
نعتبر الرسم المقابل حيث \(O\) نقطة تقاطع ارتفاعين في المثلث \(ABC\).
1) أ) ماذا تمثل النقطة \(O\) بالنسبة للمثلث \(ABC\)؟ علل جوابك.
ب) أثبت أن \((CO) \perp (AB)\).
2) أ) ابنِ الموسط العمودي \(\Delta\) لـ \([BC]\). \(\Delta\) يقطع \([AC]\) في \(I\) و \((AB)\) في \(E\).
ب) ما هو المركز القائم لكل من المثلثات \(ABC\) و \(EBC\) و \(IBC\)؟
ج) أثبت أن \((EC) \perp (BI)\).
💡
📝
✅
لم تبدأ بعد

💡 تلميح

  • 1-أ): \(O\) تقاطع ارتفاعين → تعريف المركز القائم مباشرة.
  • 1-ب): المركز القائم يقع على الارتفاعات الثلاثة. ماذا يعني أن \((CO)\) يمر بالمركز القائم؟
  • 2-ب): \(\Delta\) موسط عمودي لـ\([BC]\) → كل نقطة عليه تبعد نفس المسافة عن \(B\) وعن \(C\). فكّر في أي الارتفاعات يحمله كل مثلث.
  • 2-ج): استعمل المركز القائم للمثلث \(IBC\) الذي وجدته.

📝 الطريقة

1-أ): المركز القائم = نقطة تقاطع الارتفاعات الثلاثة.

1-ب): بما أن \(O\) مركز قائم للمثلث \(ABC\)، يقع على الارتفاع الثالث الصادر من \(C\). هذا الارتفاع عمودي على \((AB)\) → \((CO) \perp (AB)\).

2-ب):

  • المثلث \(ABC\): المركز القائم = \(O\).
  • المثلث \(EBC\): \(\Delta\) موسط عمودي لـ\([BC]\) → \((EI) \perp (BC)\) أي \([EI]\) ارتفاع في \(EBC\). والارتفاع الصادر من \(E\): نلاحظ أن الارتفاع الصادر من \(B\) في \(ABC\) يمر من \(O\)، وهو ارتفاع في \(EBC\) أيضاً → المركز القائم = \(O\).
  • المثلث \(IBC\): بنفس المنطق → المركز القائم = \(E\).

2-ج): \(E\) مركز قائم للمثلث \(IBC\) → \((EC)\) هو الارتفاع من \(C\) في \(IBC\) → \((EC) \perp (BI)\).

✅ الحل الكامل

1-أ) بما أن \(O\) هي نقطة تقاطع ارتفاعين للمثلث \(ABC\)، فإن \(O\) هي المركز القائم للمثلث \(ABC\). ✓ 1-ب) المركز القائم يقع على الارتفاعات الثلاثة. إذن المستقيم \((CO)\) يحمل الارتفاع الصادر من \(C\)، وهو عمودي على الضلع المقابل \((AB)\). إذن \((CO) \perp (AB)\). ✓ 2-ب) المثلث \(ABC\): المركز القائم = \(O\). المثلث \(EBC\): \(\Delta\) موسط عمودي لـ\([BC]\)، فالمستقيم \((EI)\) عمودي على \((BC)\) → هو ارتفاع في المثلث \(EBC\) من \(E\). الارتفاع الثاني من \(B\) في المثلث \(ABC\) هو أيضاً ارتفاع في \(EBC\). نقطة تقاطعهما هي \(O\)، المركز القائم لـ\(EBC\). المثلث \(IBC\): \(\Delta \perp (BC)\) → هو ارتفاع في \(IBC\) من \(I\). الارتفاع من \(C\) في \(ABC\) هو أيضاً ارتفاع في \(IBC\). نقطة تقاطعهما هي \(E\)، المركز القائم لـ\(IBC\). 2-ج) بما أن \(E\) هي المركز القائم للمثلث \(IBC\)، فإن \((EC)\) هو الارتفاع الثالث الصادر من \(C\). إذن \((EC) \perp (BI)\). ✓
تمرين رقم 22ص 85
ابنِ مثلثاً \(ABC\) حيث \(AB=4\)، \(AC=6\)، \(BC=3{,}5\).
1) أ) ابنِ الموسطين \([AI]\) و\([BJ]\) الصادرين من \(A\) و\(B\).
ب) احسب \(BI\).
2) \((AI)\) و\((BJ)\) يتقاطعان في \(G\). \((GC)\) يقطع \((AB)\) في \(K\).
أ) ماذا تمثل \([CK]\) بالنسبة للمثلث \(ABC\)؟ علل.
ب) احسب \(AK\).
💡
📝
✅
لم تبدأ بعد

💡 تلميح

  • 1-ب): الموسط \([AI]\) → \(I\) منتصف ماذا؟
  • 2-أ): \(G\) = تقاطع موسطين → تعريف نقطة مهمة جداً في المثلث.
  • 2-أ): إذا كان \((GC)\) يمر بمركز الثقل \(G\) وبالرأس \(C\)، فهو يحمل ماذا؟
  • 2-ب): إذا كانت \([CK]\) موسطاً، فـ\(K\) هو منتصف ماذا؟

📝 الطريقة

1-ب): \([AI]\) موسط من \(A\) → \(I\) منتصف \([BC]\).

\[BI = \frac{BC}{2} = \frac{3{,}5}{2} = 1{,}75 \text{ وحدة}\]

2-أ): \(G\) نقطة تقاطع موسطين \([AI]\) و\([BJ]\) → \(G\) هو مركز الثقل للمثلث \(ABC\).

المستقيم \((GC)\) يمر من الرأس \(C\) ومن مركز الثقل → يحمل الموسط الثالث → \([CK]\) هو الموسط الصادر من \(C\).

2-ب): \([CK]\) موسط → \(K\) منتصف \([AB]\) → \(AK = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{4}{2} = 2\).

✅ الحل الكامل

1-ب) \([AI]\) موسط من \(A\) → \(I\) منتصف \([BC]\). \[BI = \frac{BC}{2} = \frac{3{,}5}{2} = \mathbf{1{,}75 \text{ وحدة}}\] 2-أ) \(G\) = تقاطع موسطَي \([AI]\) و\([BJ]\) → \(G\) مركز ثقل المثلث \(ABC\). المستقيم \((CG)\) يمر من الرأس \(C\) ومن مركز الثقل → يحمل الموسط الثالث. إذن \([CK]\) هو الموسط الصادر من \(C\). ✓ 2-ب) \([CK]\) موسط → \(K\) منتصف \([AB]\). \[AK = \frac{AB}{2} = \frac{4}{2} = \mathbf{2 \text{ وحدة}}\] ✓
تمرين رقم 25ص 86
1) ارسم مثلثاً \(EFG\) قائم الزاوية في \(E\) حيث \(EG=2\) و\(FG=5\).
2) ارسم \(H\) بحيث تكون \(E\) منتصف \([HG]\).
أ) ما هي مناظرة كل من \(G\) و\(F\) بالنسبة لـ\((EF)\)؟ علل.
ب) استنتج أن \(HF=5\).
3) ارسم \([HK]\) الارتفاع الصادر من \(H\) للمثلث \(HFG\). أ) بيّن أن \(EK=2\).
4) أ) عيّن \(M\) منتصف \([HF]\). بيّن أن \(MK=2{,}5\).
ب) استنتج محيط المثلث \(MEK\).
💡
📝
✅
لم تبدأ بعد

💡 تلميح

  • 2-أ): \(E\) منتصف \([HG]\) و\((EF) \perp (HG)\) (الزاوية في \(E\) قائمة). ماذا يعني ذلك للمستقيم \((EF)\) بالنسبة لـ\([HG]\)؟
  • 2-ب): التناظر المحوري يحافظ على الأطوال → \(HF = GF\).
  • 3-أ): في المثلث \(HFG\)، \([HK]\) ارتفاع → \(K \in [FG]\) و\(\widehat{HKG}=90°\). قارن المثلثين \(HKG\) و\(EFG\).
  • 4-أ): المثلث \(HKF\) قائم في \(K\). \(M\) منتصف \([HF]\). ما الخاصية المستعملة؟

📝 الطريقة

2-أ): \(E\) منتصف \([HG]\) و\((EF) \perp (GH)\) (المثلث قائم في \(E\)) → \((EF)\) هو الموسط العمودي لـ\([HG]\).

  • مناظرة \(G\) بالنسبة لـ\((EF)\): هي \(H\) (لأن \(E\) على الموسط العمودي وهو محور التناظر).
  • مناظرة \(F\) بالنسبة لـ\((EF)\): هي \(F\) نفسها (لأن \(F \in (EF)\)).

2-ب): التناظر يُبقي \(F\) ثابتة ويحول \(G\) إلى \(H\) → \(HF = GF = 5\).

3-أ): المثلثان \(HKG\) و\(EGF\) متشابهان (أو متقايسان) بحكم التناظر. \(EK = EG = 2\).

4-أ): المثلث \(HKF\) قائم في \(K\). \(M\) منتصف الوتر \([HF]\) → \(MK = \dfrac{HF}{2} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5\).

4-ب): \(ME=MK=2{,}5\) (بنفس الخاصية في المثلث \(HEF\) القائم) و\(EK = 2\) → محيط \(MEK = ME+MK+EK\).

✅ الحل الكامل

2-أ) \(E\) منتصف \([HG]\) و\((EF) \perp (HG)\) (الزاوية في \(E\) قائمة). إذن \((EF)\) هو الموسط العمودي لـ\([HG]\)، وهو محور تناظر لـ\(G\) و\(H\). مناظرة \(G\) بالنسبة لـ\((EF)\) هي \(\mathbf{H}\). مناظرة \(F\) بالنسبة لـ\((EF)\) هي \(\mathbf{F}\) نفسها. ✓ 2-ب) التناظر المحوري يحافظ على المسافات: \(HF = GF = 5\). ✓ 3-أ) في المثلث \(HFG\)، \([HK]\) ارتفاع → \(K \in [FG]\) و\(\widehat{HKF}=90°\). المثلثان \(HKG\) و\(EGF\) متشابهان بحكم التناظر ونقل الأطوال: \(EK = EG = \mathbf{2}\). ✓ 4-أ) المثلث \(HKF\) قائم في \(K\)، و\(M\) منتصف الوتر \([HF]\). بخاصية المثلث القائم: \[MK = \frac{HF}{2} = \frac{5}{2} = \mathbf{2{,}5}\] ✓ 4-ب) في المثلث \(HEF\) القائم في \(E\)، \(M\) منتصف الوتر \([HF]\) → \(ME = \dfrac{HF}{2} = 2{,}5\). محيط المثلث \(MEK\): \[P = ME + MK + EK = 2{,}5 + 2{,}5 + 2 = \mathbf{7 \text{ وحدة}}\] ✓