نظام 3 خطوات تصحيحية — البرنامج التونسي
ابنِ الدائرة المحاطة بالمثلث ABC (مركزها I) في كل حالة:
الحالات الثلاث:
• مركز الدائرة المحاطة = تقاطع منصفات الزوايا الداخلية للمثلث.
• حالة 1: احسب الزاوية عند A أولاً: زاوية BAC = 180° − 60° − 50°.
• حالة 2: المثلث قائم في A → ارسم الزاوية القائمة ثم ضع الطولين AB و AC.
• حالة 3: زاوية BAC = 110° (منفرجة) → المثلث منفرج في A.
في كل حالة، الخطوات الأساسية هي:
1) بناء المثلث حسب المعطيات (أطوال أو زوايا).
2) رسم منصفَي زاويتين (يكفي اثنان) داخل المثلث.
3) نقطة تقاطعهما = I مركز الدائرة المحاطة.
4) رسم الدائرة: مركزها I، نصف قطرها = المسافة من I إلى أي ضلع (المسافة العمودية).
الحالة 1 (BC=5, 60°, 50°):
زاوية BAC = 180° − 60° − 50° = 70°. نرسم [BC]=5cm، عند B شعاع بزاوية 60°، عند C شعاع بزاوية 50° → تقاطعهما A. نرسم منصف الزاوية عند B ومنصف الزاوية عند C → يتقاطعان في I. نرسم الدائرة مركزها I ونصف قطرها = المسافة من I إلى (BC). ✓الحالة 2 (AB=6, AC=4,5, زاوية A=90°):
نرسم زاوية قائمة في A، نضع AB=6cm على ضلع وAC=4,5cm على الآخر → نصل B بـC. نرسم منصف الزاوية عند B ومنصف الزاوية عند C → يتقاطعان في I. نرسم الدائرة مركزها I ونصف قطرها IA. ✓الحالة 3 (BA=7, CA=6, زاوية A=110°):
نرسم زاوية 110° في A، نضع AB=7cm وAC=6cm → نصل B بـC للحصول على المثلث. نرسم منصف الزاوية عند A ومنصف الزاوية عند B → يتقاطعان في I. نرسم الدائرة مركزها I ونصف قطرها IA. ✓• منصف الزاوية = مستقيم يقسمها إلى زاويتين متساويتين.
• منصفات زوايا المثلث تتقاطع في نقطة واحدة فقط.
• في س4: فكر في أن I و J يقعان كلاهما على منصف الزاوية عند A في مثلثين مختلفين.
• س2-ب: I = تقاطع منصفَي B وC → بخاصية تقاطع منصفات زوايا المثلث، I هي مركز الدائرة المحاطة، إذن هي على المنصف الثالث (عند A).
• س3-4: J = تقاطع منصفَي الزاويتين عند A وB في المثلث ADB → J تقع على منصف الزاوية عند A في ADB = نفس منصف الزاوية BAC الذي يحمله I. إذن A وI وJ على استقامة واحدة.
1) بناء المثلث ABC:
نرسم [BC]=5cm. بالفرجار: دائرة مركزها B نصف قطرها 8cm، ودائرة مركزها C نصف قطرها 7cm → تقاطعهما = A.2) بناء I وإثبات [AI] منصف الزاوية BAC:
نرسم منصف الزاوية عند B ومنصف الزاوية عند C → يتقاطعان في I. بخاصية تقاطع منصفات زوايا المثلث: منصفات الزوايا الثلاثة تتقاطع في نقطة واحدة. إذن I تقع على منصف الزاوية عند A أيضاً → (AI) منصف الزاوية BAC. ✓3) بناء J:
D = [BI] ∩ [AC]. نرسم منصف الزاويتين عند A وB في المثلث ADB → يتقاطعان في J.4) A وI وJ على استقامة واحدة:
في المثلث ABC: (AI) منصف الزاوية BAC → I على منصف الزاوية عند A. في المثلث ADB: J = تقاطع منصفَي A وB → J على منصف الزاوية عند A في ADB. الزاوية عند A في ADB هي نفسها BAC (D على [AC]) → المنصفان متطابقان → I وJ على نفس المستقيم من A. إذن A وI وJ على استقامة واحدة. ✓مثلث ABC قائم في A، زاوية ABC=50°.
• مجموع زوايا المثلث = 180°، والزاوية عند A = 90°.
• I = تقاطع منصفَي B وC → I مركز الدائرة المحاطة.
• القاعدة: في أي مثلث، إذا كان I مركز الدائرة المحاطة، فإن: زاوية BIC = 90° + نصف زاوية BAC.
• نحسب زاوية ACB من مجموع الزوايا.
• نطبق الصيغة: زاوية BIC = 90° + نصف زاوية BAC = 90° + 45° = 135°.
• لحساب زاوية AIC: نستعمل أن مجموع الزوايا حول I يساوي 360°، أو نحسب في المثلث BIC مباشرة ثم نطرح من 360°.
1) حساب زاوية ACB:
زاوية BAC = 90°. مجموع زوايا المثلث = 180°: زاوية ACB = 180° − 90° − 50° = 40°.2-أ) حساب زاوية BIC:
زاوية BIC = 90° + نصف زاوية BAC = 90° + نصف 90° = 90° + 45° = 135°.2-ب) النقطة I:
I = تقاطع منصفَي الزاويتين عند B وC → I مركز الدائرة المحاطة بالمثلث ABC. ✓2-ج) حساب زاوية AIC:
زاوية AIB = 90° + نصف زاوية ACB = 90° + 20° = 110°. مجموع الزوايا حول I: زاوية AIB + زاوية BIC + زاوية AIC = 360°. 110° + 135° + زاوية AIC = 360° → زاوية AIC = 115°. ✓• المثلث قائم في A → زاوية BAC = 90°.
• [Ay] منصف الزاوية BAC → زاوية BAy = نصف زاوية BAC.
• في س5-أ: O' = تقاطع [Bx) و [Dz). فكّر في زاوية BAD=60° ونصفها.
• في س5-ب: قارن موضع O وO' على الزاوية عند A.
• زاوية BAC = 90° → زاوية BAy = نصف 90° = 45°.
• O' = تقاطع [Bx) و [Dz). في المثلث ABD: O' هي مركز الدائرة المحاطة → (AO') منصف الزاوية BAD.
• زاوية BAO' = نصف زاوية BAD = نصف 60° = 30°.
• زاوية OAO' = زاوية BAO − زاوية BAO' = 45° − 30° = 15°.
3) زاوية BAy = 45°:
المثلث قائم في A → زاوية BAC = 90°. [Ay] منصف الزاوية BAC → زاوية BAy = نصف 90° = 45°. ✓5-أ) زاوية BAO' = 30°:
O' = تقاطع [Bx) و [Dz). في المثلث ABD، O' مركز الدائرة المحاطة → (AO') منصف الزاوية BAD. زاوية BAO' = نصف زاوية BAD = نصف 60° = 30°. ✓5-ب) زاوية OAO' = 15°:
زاوية BAO = زاوية BAy = 45° (O على منصف الزاوية BAC). زاوية OAO' = زاوية BAO − زاوية BAO' = 45° − 30° = 15°. ✓ابنِ المركز القائم H للمثلث ABC في كل حالة:
• المركز القائم H = تقاطع الارتفاعات.
• الارتفاع = مستقيم مار من رأس، عمودي على الضلع المقابل.
• حالة خاصة: في المثلث القائم في A، المركز القائم = A نفسه!
• يكفي رسم ارتفاعين للحصول على H.
في كل حالة: بناء المثلث → رسم ارتفاعين → نقطة تقاطعهما = H.
• حالة 1: مثلث حاد الزوايا → H داخل المثلث.
• حالة 2: مثلث قائم في A → H = A (الارتفاعات من B وC تتقاطعان في A).
• حالة 3: زاوية BAC = 130° (منفرج) → H خارج المثلث.
الحالة 1 (60°, 50°):
زاوية BAC = 180° − 60° − 50° = 70°. نبني المثلث ثم نرسم ارتفاعاً من A على (BC) وارتفاعاً من B على (AC). نقطة تقاطعهما = H داخل المثلث. ✓الحالة 2 (قائم في A):
نبني المثلث القائم في A. الارتفاع من B يكون عمودياً على (AC)، والارتفاع من C عمودياً على (AB). كلاهما يمر من A. إذن H = A. ✓الحالة 3 (30°, 20°):
زاوية BAC = 180° − 30° − 20° = 130° (منفرجة). نبني المثلث ثم نرسم ارتفاعاً من A على (BC) وارتفاعاً من B على (AC) (ممتدَين خارج المثلث). H يقع خارج المثلث. ✓مثلث ABH قائم في H: AH=4cm، BH=3cm.
• محيط = AB + AH + BH. استعمل هذا لإيجاد AB.
• [BH] ارتفاع في المثلث ABH → BH ⊥ AH. بما أن C على [AH) فإن BH ⊥ AC → [BH] ارتفاع في المثلث ABC أيضاً.
• نقطة تقاطع ارتفاعين = المركز القائم.
• س1: AB = 12 − 4 − 3 = 5cm.
• س2-ب: AB=5cm، AC=5cm → AB=AC → المثلث ABC متساوي الساقين في A.
• س3-أ: [CK] ⊥ (AB) وهو ارتفاع. [BH] ⊥ (AC) وهو ارتفاع. تقاطعهما = I = المركز القائم.
• س3-ب: I مركز قائم → (AI) يحمل الارتفاع الثالث من A → (AI) ⊥ (BC). وفي مثلث متساوي الساقين: (AI) هو أيضاً محور التناظر.
1) حساب AB:
AB + AH + BH = 12 → AB + 4 + 3 = 12 → AB = 5cm. ✓2) النقطة C وطبيعة المثلث ABC:
C على [AH) مع AC=5cm. لدينا AB=5cm وAC=5cm → AB=AC → المثلث ABC متساوي الساقين في A. ✓3-أ) النقطة I:
[BH] ⊥ (AH) = (AC) → [BH] ارتفاع في المثلث ABC من B. [CK] ⊥ (AB) → [CK] ارتفاع في المثلث ABC من C. I = [CK] ∩ [BH] = تقاطع ارتفاعين → I هو المركز القائم للمثلث ABC. ✓3-ب) (AI) ⊥ (BC):
I مركز قائم → (AI) يحمل الارتفاع الثالث (من A على BC) → (AI) ⊥ (BC). كذلك: ABC متساوي الساقين في A → (AI) محور التناظر → (AI) ⊥ (BC). ✓مثلث ABC قائم في A: AB=AC=4cm.
• مثلث قائم في A ومتساوي الساقين (AB=AC) → الزاويتان عند B وC متساويتان.
• B منتصف [AE] → AE=2×AB. O منتصف [EC].
• في س3: [EI] يمر من E إلى نقطة K على [AC] → إذا كان [EI] موسطاً في AEC فإن K منتصف [AC].
• س1: زاوية ABC = زاوية ACB = (180° − 90°)/2 = 45°.
• س2-أ: AE=2AB=8cm. OE=EC/2. Dans le triangle AEC, O est le milieu de [EC] et [OA] passe de A à O → [OA] est la médiane de A dans AEC. La médiane issue du sommet du triangle isocèle... à analyser selon la figure.
• س3: I = (BC) ∩ (OA). [OA] est la médiane de AEC depuis A → I est sur la médiane. [EI] passe par E et par un point de la médiane → c'est aussi une médiane → K milieu de [AC].
1) حساب الزاويتين:
زاوية BAC = 90°، AB=AC → المثلث متساوي الساقين في A → زاوية ABC = زاوية ACB. زاوية ABC + زاوية ACB = 90° → 2 × زاوية ABC = 90° → زاوية ABC = زاوية ACB = 45°. ✓2-أ) طبيعة المثلث OAE:
B منتصف [AE] → AE=2×AB=8cm. O منتصف [EC]. في المثلث AEC: O منتصف [EC] و [OA] هو الموسط من A. بحساب الأطوال: OA = OE → المثلث OAE متساوي الساقين في O. ✓2-ب) النقطة I:
[OA] موسط المثلث AEC من A (يصل A بـO منتصف [EC]). I = (OA) ∩ (BC). في المثلث AEC، الموسطات تتقاطع في مركز الثقل → I هو مركز ثقل المثلث AEC. ✓3) K منتصف [AC]:
I مركز ثقل المثلث AEC → يقع على الموسطات الثلاثة. [EI] هو الموسط من E → يقطع [AC] في منتصفه K. إذن K منتصف [AC]. ✓مثلث ABC قائم في A: زاوية ABC=45°.
• زاوية ABC=45° وزاوية BAC=90° → احسب زاوية ACB.
• إذا تساوت زاويتان فالضلعان المقابلان متساويان.
• الموسط العمودي لـ[BC] = مستقيم عمودي على (BC) يمر من منتصفه I.
• مركز الدائرة المحيطة بالمثلث القائم = منتصف الوتر. المركز القائم للمثلث القائم = رأس الزاوية القائمة.
• زاوية ACB = 180° − 90° − 45° = 45° = زاوية ABC → AB=AC → متساوي الساقين في A.
• في المثلث متساوي الساقين، الموسط من القمة الرئيسية = موسط عمودي → (AI) ⊥ (BC).
• (AI) ⊥ (BC) وC على (BC) → الزاوية بين AI وAC = 90° → المثلث IAC قائم في A.
• مركز الدائرة المحيطة بالمثلث القائم في A = منتصف الوتر [BC] = I.
• في المثلث IAB: (IA) ⊥ (BC) و B على (BC) → الزاوية IAB = 90° → المركز القائم = A.
1) المثلث ABC متساوي الساقين:
زاوية ACB = 180° − 90° − 45° = 45°. إذن زاوية ABC = زاوية ACB = 45° → AB = AC. إذن المثلث متساوي الساقين قمته A. ✓2-أ) (IA) موسط عمودي لـ[BC]:
I منتصف [BC] والمثلث متساوي الساقين في A → الموسط من A (وهو [AI]) عمودي على [BC]. إذن (AI) يمر من منتصف [BC] ويكون عمودياً عليه → (IA) هو الموسط العمودي لـ[BC]. ✓2-ب) المثلث IAC قائم في A:
(AI) ⊥ (BC). C ∈ (BC) → الزاوية IAC = 90° → المثلث IAC قائم في A. ✓3) الإجابات:
أ) مركز الدائرة المحيطة بالمثلث القائم في A = منتصف الوتر = I. ب) المثلث IAB قائم في A (لأن زاوية IAB = 90°) → المركز القائم = رأس الزاوية القائمة = A. ✓مثلث ABC: زاوية خارجية عند B = 32°، زاوية داخلية عند C = 32°.
• الزاوية الخارجية عند B = مجموع الزاويتين الداخليتين البعيدتين (عند A وعند C).
• في س2: xBy هي زاوية خارجية عند B. احسب زاوية B الداخلية ثم استعمل مجموع زوايا المثلث.
• إذا تساوت زاويتان داخليتان فالمثلث متساوي الساقين.
س1: زاوية خارجية عند B = 32° = زاوية A + زاوية C = زاوية A + 32°. إذن زاوية A = 0° (مستحيل). → النص يقصد أن زاوية B الداخلية = 32° أيضاً → المثلث متساوي الساقين في A (زاوية B = زاوية C).
س2: زاوية xBy = 116° هي الزاوية الخارجية عند B. زاوية B الداخلية = 180° − 116° = 64°. زاوية A = 180° − 64° − 32° = 84°. زاوية B ≠ زاوية C → المثلث ليس متساوي الساقين.
1) طبيعة المثلث ABC:
بما أن زاوية B الداخلية = 32° وزاوية C = 32°، فإن زاوية B = زاوية C. إذا تساوت زاويتان في مثلث فالضلعان المقابلان متساويان: AB = AC. إذن المثلث ABC متساوي الساقين في A. ✓2) دراسة زاوية xBy = 116°:
زاوية xBy خارجية عند B → زاوية B الداخلية = 180° − 116° = 64°. زاوية A = 180° − 64° − 32° = 84°. زاوية B = 64° ≠ زاوية C = 32° → الضلعان المقابلان لهما غير متساويين → المثلث ABC ليس متساوي الساقين. ✓