تمارين 12 · 13 · 14 — البرنامج التونسي
السؤال 1:
• استعمل مجموع زوايا المثلث لإيجاد \(\widehat{EGF}\).
• ارسم أولاً القطعة \([EF]\)، ثم الزاويتين عند \(E\) و\(F\) للحصول على \(G\).
السؤالان 2 و 3:
• "مجاورة ومقايسة" = نفس القياس + تشترك في الضلع \([FG]\) أو \([EG]\).
• عند \(F\): نبني \(\widehat{GFx}=20°\) على الجهة الأخرى من \([FG]\).
• عند \(E\): نبني \(\widehat{GEy}=30°\) على الجهة الأخرى من \([EG]\).
السؤال 4:
• مركز الدائرة المحاطة = تقاطع منصفات الزوايا الداخلية.
• نريد إثبات أن \((FG)\) منصف الزاوية عند \(F\) في المثلث \(EFH\)، وأن \((EG)\) منصف الزاوية عند \(E\) فيه.
• مركز الدائرة المحاطة بمثلث = نقطة تقاطع منصفات زواياه الداخلية.
• عندما نبني زاوية مجاورة ومقايسة لـ\(\widehat{EFG}\)، نحصل على:
\(\widehat{EFG} = \widehat{GFH} = 20°\) ← \([FG]\) يقسم \(\widehat{EFH}\) إلى زاويتين متساويتين
← إذن \([FG)\) هو منصف الزاوية عند \(F\) في المثلث \(EFH\).
• بنفس الطريقة عند \(E\):
\(\widehat{FEG} = \widehat{GEH} = 30°\) ← \([EG)\) هو منصف الزاوية عند \(E\) في المثلث \(EFH\).
• \(G\) = تقاطع منصفَي الزاويتين عند \(E\) و\(F\) → \(G\) مركز الدائرة المحاطة بالمثلث \(EFH\).
1) بناء المثلث \(EFG\):
\(\widehat{EGF} = 180° - 30° - 20° = 130°\) نرسم \([EF]=5\) cm، عند \(E\) نرسم شعاعاً يصنع \(30°\) مع \([EF]\)، وعند \(F\) شعاعاً يصنع \(20°\) مع \([FE]\). يتقاطعان في \(G\).2) بناء \(\widehat{GFx}\):
نرسم من \(F\) شعاعاً \([Fx)\) على الجهة الأخرى من \([FG]\) بحيث \(\widehat{GFx}=\widehat{EFG}=20°\). الزاويتان متجاورتان ومتساويتان.3) بناء \(\widehat{GEy}\):
نرسم من \(E\) شعاعاً \([Ey)\) على الجهة الأخرى من \([EG]\) بحيث \(\widehat{GEy}=\widehat{FEG}=30°\).4) تفسير أن \(G\) مركز الدائرة المحاطة بـ\(EFH\):
المستقيم \((FG)\) يقسّم \(\widehat{EFH}\) إلى: \(\widehat{EFG}=20°\) و\(\widehat{GFH}=20°\) (لأن \(FH\) جزء من \((Fx)\)). إذن \([FG)\) منصف الزاوية عند \(F\) في المثلث \(EFH\). ✓ المستقيم \((EG)\) يقسّم \(\widehat{FEH}\) إلى: \(\widehat{FEG}=30°\) و\(\widehat{GEH}=30°\) (لأن \(EH\) جزء من \((Ey)\)). إذن \([EG)\) منصف الزاوية عند \(E\) في المثلث \(EFH\). ✓ \(G\) = تقاطع منصفَي الزاويتين عند \(E\) و\(F\) → بخاصية منصفات زوايا المثلث: \(G\) هي مركز الدائرة المحاطة بالمثلث \(EFH\). ✓مثلث \(ABC\)، الزاوية \(\widehat{CBx}\) مجاورة ومقايسة للزاوية \(\widehat{ABC}\). \((AC)\) و\((Bx)\) يتقاطعان في \(D\). \([Ay)\) منصف الزاوية \(\widehat{BAC}\) يقطع \((BC)\) في \(I\).
• \(\widehat{CBx}\) مجاورة ومقايسة لـ\(\widehat{ABC}\) ← إذن قياسهما متساوٍ.
• \(D\) = تقاطع \((AC)\) مع \((Bx)\) ← \(D\) خارج المثلث على امتداد \((AC)\).
• \([Ay)\) منصف \(\widehat{BAC}\) ← يقسّم \(\widehat{BAC}\) إلى زاويتين متساويتين.
• \(I = [Ay) \cap (BC)\) ← \(I\) على الضلع \([BC]\) وعلى منصف الزاوية عند \(A\).
• الهدف: إثبات أن \(I\) تقع على منصفَي الزاويتين عند \(A\) و\(B\) في المثلث \(ABD\).
فكرة منصف الزاوية عند \(A\):
• \([Ay)\) منصف \(\widehat{BAC}\). بما أن \(D \in (AC)\)، فإن \(\widehat{BAD}\) جزء من \(\widehat{BAC}\).
• \([Ay)\) يقسّم \(\widehat{BAD}\) أيضاً إلى زاويتين متساويتين → هو منصف الزاوية عند \(A\) في المثلث \(ABD\).
فكرة منصف الزاوية عند \(B\):
• \(\widehat{CBx} = \widehat{ABC}\) ← \((Bx)\) يقسّم الزاوية \(\widehat{ABD}\) إلى زاويتين متساويتين:
\(\widehat{ABD} = \widehat{ABC} + \widehat{CBD}\)... لكن \(D \in (Bx)\) ← إذن \([BD)\) هو منصف \(\widehat{ABD}\) في المثلث \(ABD\).
• \(I \in [Ay)\) و\(I \in (BC)\) → \(I\) على منصف الزاوية عند \(A\).
• بالتحليل الهندسي: \(I\) أيضاً على منصف الزاوية عند \(B\) → \(I\) مركز الدائرة المحاطة بـ\(ABD\).
1) إثبات أن \(I\) مركز الدائرة المحاطة بالمثلث \(ABD\):
أ — \(I\) على منصف الزاوية عند \(A\) في \(ABD\):2) استنتاج أن \(\widehat{ADI} = \widehat{BDI}\):
بما أن \(I\) مركز الدائرة المحاطة بالمثلث \(ABD\)، فإنها تقع على منصفات الزوايا الثلاث. إذن \((DI)\) هو منصف الزاوية عند \(D\) في المثلث \(ABD\). من تعريف منصف الزاوية: \[\widehat{ADI} = \widehat{BDI}\] ✓ارسم مثلثاً \(ABC\) متقايس الأضلاع، ثم عيّن نقطة \(D\) من نصف المستقيم \([AB]\) بحيث \(AD > AB\) (أي \(D\) خارج المثلث على امتداد \([AB]\)).
• المثلث \(ABC\) متقايس الأضلاع: \(AB=BC=CA\) وجميع الزوايا \(=60°\).
• في مثلث متقايس الأضلاع: منصفات الزوايا = ارتفاعات = موسطات = مواسط عمودية (كلها متطابقة).
• مركز الدائرة المحاطة = مركز الدائرة المحيطة = نفس النقطة في المثلث المتقايس الأضلاع.
• \(D\) على امتداد \([AB]\) خارج المثلث: المثلث \(BDC\) يشترك مع \(ABC\) في القاعدة \([BC]\).
• الفكرة الرئيسية: كلا مركزَي الدائرتين المحاطتين (\(I\) و\(J\)) يقعان على الموسط العمودي لـ\([BC]\).
الفكرة الأولى (1-ب):
في \(ABC\) المتقايس الأضلاع، المستقيم \((AI)\) هو منصف الزاوية عند \(A\). وفي هذا المثلث الخاص، المنصف = الارتفاع = الموسط = الموسط العمودي. إذن \((AI) \perp [BC]\) ويمر من منتصف \([BC]\) → هو الموسط العمودي لـ\([BC]\).
الفكرة الثانية (3):
مركز الدائرة المحاطة بأي مثلث يقع على منصف كل زاوية من زواياه. المثلث \(BDC\) متماثل بالنسبة للموسط العمودي لـ\([BC]\) (لأن \(BD=BC\) في بعض الحالات، أو باستعمال التماثل). إذن \(J\) يقع على الموسط العمودي لـ\([BC]\)، أي على نفس المستقيم \((AI)\) الذي يمر أيضاً بـ\(A\).
1-أ) بناء \(I\) مركز الدائرة المحاطة بـ\(ABC\):
نرسم منصفَي زاويتين (مثلاً عند \(A\) وعند \(B\)). نقطة تقاطعهما هي \(I\)، مركز الدائرة المحاطة بالمثلث \(ABC\). ✓1-ب) \((AI)\) موسط عمودي لـ\([BC]\):
في المثلث المتقايس الأضلاع \(ABC\)، كل خط يصل رأساً بمنتصف الضلع المقابل هو في آنٍ واحد: منصف زاوية + ارتفاع + موسط + موسط عمودي. \((AI)\) هو منصف الزاوية عند \(A\) ← هو أيضاً عمودي على \((BC)\) ويمر من منتصف \([BC]\). إذن \((AI)\) هو الموسط العمودي للضلع \([BC]\). ✓2) بناء \(J\) مركز الدائرة المحاطة بـ\(BDC\):
نرسم منصفَي زاويتين في المثلث \(BDC\) (مثلاً عند \(B\) وعند \(C\)). نقطة تقاطعهما هي \(J\). ✓3) استنتاج أن \(A\)، \(I\)، \(J\) على استقامة واحدة:
المثلثان \(ABC\) و\(BDC\) يشتركان في القاعدة \([BC]\). مركز الدائرة المحاطة بأي مثلث يقع على الموسط العمودي لكل ضلع. إذن \(I\) يقع على الموسط العمودي لـ\([BC]\)، وكذلك \(J\). ✓ من 1-ب): الموسط العمودي لـ\([BC]\) هو المستقيم \((AI)\) الذي يمر بـ\(A\) وبـ\(I\). بما أن \(J\) يقع على الموسط العمودي لـ\([BC]\)، فهو يقع على المستقيم \((AI)\). إذن \(A\)، \(I\)، \(J\) على استقامة واحدة. ✓