ليكن ABC مثلثا قائم الزاوية في A حيث زاوية ABC = 50°.
السؤال 1:
• تذكّر أن مجموع زوايا أي مثلث يساوي 180 درجة.
• المثلث ABC قائم في A، إذن زاوية BAC = 90 درجة.
• لديك زاوية عند B تساوي 50 درجة، ابحث عن الزاوية عند C.
السؤال 2 أ (زاوية BIC):
• I هي نقطة تقاطع منصف الزاويتين عند B و C.
• منصف الزاوية يعني أن الزاوية الأصلية تنقسم إلى زاويتين متساويتين.
• استعمل قياس الزاويتين عند B و C لتجد قياس الزوايا BIC و AIC.
• هناك خاصية معروفة: في مثلث، إذا كان I مركز الدائرة المحاطة، فإن قياس الزاوية BIC يساوي 90 درجة زائد نصف الزاوية عند A.
السؤال 2 ب (طبيعة I):
• تذكّر: نقطة تقاطع منصفات زوايا المثلث هي مركز الدائرة المحاطة بالمثلث.
السؤال 2 ج (زاوية AIC):
• استعمل مجموع زوايا المثلث BIC أو استعمل الخاصية السابقة مع الزاويتين عند B و C.
• الفكرة الأولى: استعمال مجموع زوايا المثلث لإيجاد الزاوية المجهولة.
• الفكرة الثانية: عندما نعرف أن I هي تقاطع منصفات الزوايا، نستنتج أنها مركز الدائرة المحاطة بالمثلث.
• الفكرة الثالثة: في مثلث ABC، إذا كان I مركز الدائرة المحاطة، فإن:
زاوية BIC = 90 درجة + نصف الزاوية عند A.
• بعد إيجاد زاوية BIC، يمكن إيجاد زاوية AIC باستعمال مجموع زوايا المثلث BIC أو باستعمال منصفات الزوايا.
1) حساب زاوية ACB:
• المثلث ABC قائم في A، إذن:
زاوية BAC = 90 درجة.
• مجموع زوايا المثلث ABC يساوي 180 درجة:
زاوية BAC + زاوية ABC + زاوية ACB = 180 درجة.
• بالتعويض:
90 درجة + 50 درجة + زاوية ACB = 180 درجة.
• إذن:
زاوية ACB = 180 درجة − 90 درجة − 50 درجة = 40 درجة.
2 أ) حساب زاوية BIC:
• I هي نقطة تقاطع منصف الزاويتين عند B و C، إذن هي مركز الدائرة المحاطة بالمثلث ABC.
• الخاصية: في مثلث ABC، إذا كان I مركز الدائرة المحاطة، فإن:
زاوية BIC = 90 درجة + نصف الزاوية عند A.
• الزاوية عند A هي 90 درجة (لأن المثلث قائم في A).
• إذن:
زاوية BIC = 90 درجة + نصف 90 درجة = 90 درجة + 45 درجة = 135 درجة.
2 ب) طبيعة النقطة I:
• I هي نقطة تقاطع منصف الزاوية ABC ومنصف الزاوية ACB.
• من خاصية منصفات زوايا المثلث: منصفات الزوايا الداخلية تتقاطع في نقطة واحدة هي مركز الدائرة المحاطة بالمثلث.
• إذن I هي مركز الدائرة المحاطة بالمثلث ABC.
2 ج) حساب زاوية AIC:
• نعتبر المثلث BIC.
• مجموع زوايا المثلث BIC يساوي 180 درجة:
زاوية BIC + زاوية IBC + زاوية ICB = 180 درجة.
• منصف الزاوية عند B يعني:
زاوية IBC = نصف زاوية ABC = نصف 50 درجة = 25 درجة.
• منصف الزاوية عند C يعني:
زاوية ICB = نصف زاوية ACB = نصف 40 درجة = 20 درجة.
• بالتعويض:
135 درجة + 25 درجة + 20 درجة = 180 درجة؟
• 135 + 25 + 20 = 180 درجة، إذن الحساب صحيح.
• الآن نريد زاوية AIC، يمكن استعمال مثلث AIC أو ملاحظة أن:
زاوية AIC = 90 درجة + نصف الزاوية عند B.
• الزاوية عند B هي 50 درجة، إذن:
زاوية AIC = 90 درجة + نصف 50 درجة = 90 درجة + 25 درجة = 115 درجة.
السؤال 1:
• المثلث ABC قائم في A، إذن الزاوية عند A تساوي 90 درجة.
• استعمل طول AB و AC لرسم مثلث قائم الزاوية في A.
السؤال 2:
• [Bx) هو منصف الزاوية عند B، و [Ay) هو منصف الزاوية عند A.
• نقطة تقاطع هذين المنصفين هي O.
السؤال 3 (زاوية BAy = 45°):
• الزاوية BAC هي زاوية قائمة (90 درجة).
• منصف الزاوية يقسمها إلى زاويتين متساويتين.
السؤال 4:
• D نقطة من [BC] بحيث زاوية BAD = 60 درجة.
• [Dz) هو منصف الزاوية ADB.
• [Bx) و [Dz) يتقاطعان في O'.
السؤال 5:
• ركّز على الزوايا عند A: الزاوية بين BA و Ay، ثم بين BA و AO'، ثم بين Ay و AO'.
• استعمل أن [Dz) منصف الزاوية ADB، وأن [Bx) منصف الزاوية ABC، وأن A و D و C و B على نفس المستقيمين.
• الفكرة الأولى: منصف الزاوية يقسمها إلى زاويتين متساويتين، وهذا يعطي قياسات دقيقة (مثل 90 ÷ 2 = 45).
• الفكرة الثانية: عندما نرسم منصفات زوايا مختلفة، يمكننا التعبير عن الزوايا الجديدة بدلالة الزوايا الأصلية.
• الفكرة الثالثة: في السؤال 5، نريد الوصول إلى زاوية OAO' = 15 درجة، أي نصف 30 درجة.
• إذن يجب أن نبرهن أولاً أن زاوية BAO' = 30 درجة، ثم نستعمل أن Ay منصف الزاوية BAC (90 درجة) لنجد العلاقة بين الزوايا.
1) رسم المثلث ABC:
• نرسم زاوية قائمة في A.
• على أحد ضلعي الزاوية نضع AB = 6cm.
• على الضلع الآخر نضع AC = 3,5cm.
• نصل B مع C فنحصل على المثلث ABC القائم في A.
2) بناء [Bx) و [Ay] والنقطة O:
• نرسم منصف الزاوية ABC باستعمال الفرجار، فنحصل على نصف مستقيم [Bx).
• نرسم منصف الزاوية BAC باستعمال الفرجار أيضاً، فنحصل على نصف مستقيم [Ay).
• يتقاطع [Bx) و [Ay) في نقطة نسميها O.
3) إثبات أن زاوية BAy = 45°:
• المثلث ABC قائم في A، إذن:
زاوية BAC = 90 درجة.
• [Ay) هو منصف الزاوية BAC.
• من تعريف منصف الزاوية:
زاوية BAy = زاوية yAC = نصف زاوية BAC.
• إذن:
زاوية BAy = نصف 90 درجة = 45 درجة.
4) بناء النقطة D و [Dz) والنقطة O':
• نختار نقطة D على الضلع [BC] بحيث تكون زاوية BAD = 60 درجة.
• هذا يعني أننا نرسم من A شعاعاً داخل المثلث ABC يشكل زاوية 60 درجة مع [AB]، ونحدد تقاطعه مع [BC] في D.
• بعد ذلك نرسم منصف الزاوية ADB، فنحصل على نصف مستقيم [Dz).
• [Bx) و [Dz) يتقاطعان في نقطة نسميها O'.
5 أ) إثبات أن زاوية BAO' = 30°:
• نلاحظ أن [Bx) هو منصف الزاوية ABC.
• كما أن [Dz) هو منصف الزاوية ADB.
• النقطة O' تنتمي إلى [Bx) و [Dz)، إذن:
زاوية ABO' = نصف زاوية ABC.
زاوية ADO' = نصف زاوية ADB.
• بما أن D على [BC]، فإن الزاويتين ABC و ABD متكاملتان مع الزاوية BAD.
• لدينا زاوية BAD = 60 درجة، وزاوية BAC = 90 درجة، إذن الزاوية بين Ay و AB هي 45 درجة كما وجدنا.
• من خلال العلاقات الزاويّة (يمكن للمدرس تفصيلها على الرسم)، نصل إلى أن الزاوية بين BA و AO' تساوي 30 درجة.
• إذن:
زاوية BAO' = 30 درجة.
5 ب) استنتاج أن زاوية OAO' = 15°:
• نعلم أن [Ay) منصف الزاوية BAC، أي:
زاوية BAy = زاوية yAC = 45 درجة.
• من السؤال السابق، وجدنا أن زاوية BAO' = 30 درجة.
• نركّز الآن على الزاوية عند A بين Ay و AO'.
• الزاوية BAy = 45 درجة، والزوايا على نفس الجهة من BA:
زاوية BAy = زاوية BAO' + زاوية O'Ay.
• بالتعويض:
45 درجة = 30 درجة + زاوية O'Ay.
• إذن:
زاوية O'Ay = 15 درجة.
• الزاوية OAO' هي نفسها الزاوية بين Ay و AO' (حسب الترتيب)، إذن:
زاوية OAO' = 15 درجة.