دليل سريع: الموسط ومركز الثقل

الموسط في مثلث

هو قطعة تربط رأسا من رؤوس المثلث بمنتصف الضلع المقابل له.

مركز الثقل

هو نقطة تقاطع موسطات المثلث الثلاثة.

إذا كان \(M\) منتصف \([AC]\)، فإن \([BM]\) موسط في المثلث \(ABC\).

إذا تقاطع موسطان في \(G\)، فإن المستقيم المار بالرأس الثالث و\(G\) يحمل الموسط الثالث.

انتبه: لا نخلط بين الموسط والارتفاع. الموسط يستعمل المنتصف، أما الارتفاع فيستعمل التعامد.

موسطات المثلث ومركز ثقله

دفواراتي
المركز القائم والموسط العمودي
تمرين 19 ***

نعتبر الرسم المقابل:

  1. أ) ماذا تمثل النقطة \(O\) بالنسبة إلى المثلث \(ABC\)؟
  2. ب) أثبت أن \((CO) \perp (AB)\).
  3. أ) ابن الموسط العمودي \(\Delta\) لـ \([BC]\). يقطع \(\Delta\) القطعة \([AC]\) في \(I\) والمستقيم \((AB)\) في \(E\).
  4. ب) ما هو المركز القائم لكل من المثلثات \(ABC\) و \(EBC\) و \(IBC\)؟
  5. ج) أثبت أن \((EC) \perp (BI)\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • س1: تذكر: نقطة تقاطع ارتفاعين في مثلث تسمى المركز القائم.
  • س2: إذا عرفت المركز القائم، فالارتفاع الثالث يمر أيضا من هذا المركز.
  • س3: في كل مثلث، ابحث عن مستقيمين متعامدين صادرين من رأسين مختلفين لتحديد المركز القائم.

📝 الطريقة

1) نحدد أولا معنى النقطة \(O\) من الرسم: إذا كانت نقطة تقاطع ارتفاعين، فهي المركز القائم.

2) خاصية المركز القائم: الارتفاعات الثلاثة في مثلث تتقاطع في نفس النقطة.

3) لإثبات تعامد مستقيمين، نبرهن أن أحدهما ارتفاع في مثلث مناسب.

✅ الحل الكامل

1) أ) بما أن \(O\) هي نقطة تقاطع ارتفاعين في المثلث \(ABC\)، فإن \(O\) تمثل المركز القائم للمثلث \(ABC\).

1) ب) بما أن \(O\) هو المركز القائم للمثلث \(ABC\)، فإن الارتفاع الثالث يمر من الرأس \(C\) ومن النقطة \(O\). إذن:

\[(CO) \perp (AB)\]

2) بما أن \(\Delta\) هو الموسط العمودي لـ \([BC]\)، فهو عمودي على \((BC)\). ومن الرسم نحدد مراكز القائم حسب تقاطع الارتفاعات في كل مثلث.

ج) في المثلث \(IBC\)، لدينا \((IE)\perp(BC)\)، كما أن المستقيم المناسب الآخر يمثل ارتفاعا. إذن نقطة التقاطع هي المركز القائم، ومنه يكون المستقيم الحامل للارتفاع الثالث عموديا على الضلع المقابل، فنحصل على:

\[(EC) \perp (BI)\]
الموسط في مثلث متقايس الضلعين
تمرين 21 *

ارسم مثلثا \(ABC\) حيث: \(AB = AC = 5\,cm\).

  1. ابن الموسطين \([CN]\) و \([BM]\) الصادرين على التوالي من \(C\) و \(B\) للمثلث \(ABC\).
  2. أ) احسب \(AM\).
  3. ب) أثبت أن المثلث \(AMN\) متقايس الضلعين.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • س1: الموسط يصل الرأس بمنتصف الضلع المقابل.
  • س2: إذا كان \(M\) منتصف \([AC]\)، فإن \(AM=\dfrac{AC}{2}\).
  • س3: لإثبات أن \(AMN\) متقايس الضلعين، ابحث عن ضلعين متساويين.

📝 الطريقة

بما أن \([BM]\) موسط صادر من \(B\)، فإن \(M\) منتصف \([AC]\).

وبما أن \([CN]\) موسط صادر من \(C\)، فإن \(N\) منتصف \([AB]\).

نستعمل المعطى \(AB=AC=5\,cm\) لحساب \(AM\) و \(AN\)، ثم نقارن بينهما.

✅ الحل الكامل

بما أن \([BM]\) موسط، فإن \(M\) منتصف \([AC]\)، ومنه:

\[AM=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{5}{2}=2.5\,cm\]

وبما أن \([CN]\) موسط، فإن \(N\) منتصف \([AB]\)، ومنه:

\[AN=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{5}{2}=2.5\,cm\]

إذن \(AM=AN\)، وبالتالي فإن المثلث \(AMN\) متقايس الضلعين في \(A\).

مركز الثقل والموسط الثالث
تمرين 22 **

ابن مثلثا \(ABC\) حيث: \(AB = 4\,cm\) و \(AC = 6\,cm\) و \(BC = 3.5\,cm\).

  1. أ) ابن الموسطين \([AI]\) و \([BJ]\) الصادرين على التوالي من \(A\) و \(B\) للمثلث \(ABC\).
  2. ب) احسب \(BI\).
  3. المستقيمان \((AI)\) و \((BJ)\) يتقاطعان في \(G\). المستقيم \((GC)\) يقطع المستقيم \((AB)\) في \(K\).
  4. أ) ماذا تمثل القطعة \([CK]\) بالنسبة للمثلث \(ABC\)؟
  5. ب) احسب \(AK\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • س1: إذا كان \(I\) منتصف \([BC]\)، فاحسب \(BI\) باستعمال نصف \(BC\).
  • س2: نقطة تقاطع موسطين هي مركز الثقل.
  • س3: المستقيم المار بالرأس الثالث ومركز الثقل يحمل الموسط الثالث.

📝 الطريقة

بما أن \([AI]\) موسط، فإن \(I\) منتصف \([BC]\)، إذن \(BI=\dfrac{BC}{2}\).

بما أن \(G\) تقاطع موسطين، فهو مركز ثقل المثلث.

بما أن \((GC)\) يمر من الرأس \(C\) ومركز الثقل \(G\)، فإن \([CK]\) هو الموسط الثالث، وبالتالي \(K\) منتصف \([AB]\).

✅ الحل الكامل

1) ب) بما أن \([AI]\) موسط صادر من \(A\)، فإن \(I\) منتصف \([BC]\). إذن:

\[BI=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{3.5}{2}=1.75\,cm\]

2) أ) بما أن \((AI)\) و \((BJ)\) موسطان ويتقاطعان في \(G\)، فإن \(G\) هو مركز ثقل المثلث \(ABC\).

والمستقيم \((GC)\) يمر من الرأس \(C\) ومركز الثقل \(G\)، لذلك فإن \([CK]\) هو الموسط الثالث للمثلث \(ABC\).

2) ب) بما أن \([CK]\) موسط، فإن \(K\) منتصف \([AB]\)، ومنه:

\[AK=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{4}{2}=2\,cm\]
الموسط في مثلث داخل دائرة
تمرين 23 **
  1. ارسم دائرة \(\mathcal{C}\) مركزها \(O\) وشعاعها \(2.5\,cm\) وقطرها \([AB]\).
  2. عين على الدائرة \(\mathcal{C}\) نقطة \(D\) حيث \(AD = 2\,cm\).
  3. ماذا تمثل القطعة \([OD]\) بالنسبة للمثلث \(ABD\)؟
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • س1: مركز الدائرة هو منتصف كل قطر.
  • س2: في المثلث \(ABD\)، الضلع المقابل للرأس \(D\) هو \([AB]\).
  • س3: إذا وصلت رأسا بمنتصف الضلع المقابل، تحصل على موسط.

📝 الطريقة

نستعمل أن \([AB]\) قطر في الدائرة ذات المركز \(O\).

إذن \(O\) هو منتصف \([AB]\).

ثم ننظر إلى القطعة \([OD]\): هي تصل الرأس \(D\) بمنتصف الضلع المقابل \([AB]\).

✅ الحل الكامل

بما أن \(O\) هو مركز الدائرة و \([AB]\) قطر لها، فإن \(O\) هو منتصف \([AB]\).

في المثلث \(ABD\)، القطعة \([OD]\) تربط الرأس \(D\) بمنتصف الضلع المقابل \([AB]\).

إذن \([OD]\) هو الموسط الصادر من \(D\) في المثلث \(ABD\).