نربط بين تعريف مركز الدائرة وتعريف الموسط في مثلث.
بما أن \([AB]\) قطر للدائرة ومركزها \(O\)، فإن \(O\) هو منتصف \([AB]\).
في المثلث \(ABD\)، القطعة التي تصل الرأس \(D\) بمنتصف الضلع المقابل \([AB]\) هي موسط.
لدينا المثلث \(ABD\).
بما أن \([AB]\) هو قطر للدائرة \(\mathcal{C}\) التي مركزها \(O\)، فإن النقطة \(O\) هي منتصف القطعة \([AB]\).
والقطعة \([OD]\) تصل الرأس \(D\) بمنتصف الضلع المقابل \([AB]\).
إذن \([OD]\) هو الموسط الصادر من \(D\) في المثلث \(ABD\).
لـ \((OI)\): نبيّن أنه يمر من منتصف \([AD]\) وأنه عمودي على \([AD]\).
لـ \(J\): بما أن \(G\) مركز الثقل، فإن المستقيم \((CG)\) هو حامل الموسط الصادر من \(C\)، وبالتالي يقطع \([AB]\) في منتصفه.
بعد معرفة أن \(I\) و \(J\) منتصفان، نستعمل خاصية الموسط العمودي أو المستقيم الواصل بين منتصفين حسب معطيات الرسم.
2) ب) لإثبات أن \((OI)\) هو الموسط العمودي لـ \([AD]\)، نثبت أن هذا المستقيم عمودي على \((AD)\) ويمر من منتصف \([AD]\).
حسب البناء والمعطيات، يكون \(O\) و \(I\) على المستقيم المميز نفسه، ومع تحقق العمودية عند منتصف \([AD]\)، نستنتج أن \((OI)\) هو الموسط العمودي للقطعة \([AD]\).
3) أ) في المثلث \(ABC\)، بما أن \(G\) هي نقطة تقاطع الموسطين، فهي مركز ثقل المثلث.
والمستقيم \((CG)\) يمر من الرأس \(C\) ومن مركز الثقل \(G\)، إذن هو حامل الموسط الثالث الصادر من \(C\).
لذلك فإن نقطة تقاطعه مع \([AB]\)، وهي \(J\)، هي منتصف \([AB]\).
3) ب) بما أن \(J\) منتصف \([AB]\)، وبالاعتماد على خاصية الموسط العمودي في الشكل، نستنتج أن \((IJ) \perp (AB)\).
بما أن \(D\) مناظرة \(C\) بالنسبة إلى \((AB)\)، فإن \((AB)\) هو الموسط العمودي للقطعة \([CD]\).
النقطة \(B\) تنتمي إلى محور التناظر \((AB)\)، إذن \(B\) متقايسة البعد عن \(C\) و \(D\).
مناظرة الزاوية \(\widehat{ACB}\) هي الزاوية التي رؤوسها صور \(A,C,B\).
2) ب) بما أن \(A\) و \(B\) ينتميان إلى محور التناظر \((AB)\)، فصورتهما هما \(A\) و \(B\). وصورة \(C\) هي \(D\).
إذن مناظرة الزاوية \(\widehat{ACB}\) هي الزاوية \(\widehat{ADB}\).
3) أ) بما أن \(D\) مناظرة \(C\) بالنسبة إلى \((AB)\)، فإن \((AB)\) هو الموسط العمودي للقطعة \([CD]\).
وبما أن \(B \in (AB)\)، فإن \(BC = BD\).
إذن المثلث \(BCD\) متقايس الضلعين قمة رأسه \(B\).
3) ب) يصبح المثلث \(BCD\) متقايس الأضلاع في الحالة الخاصة التي يتحقق فيها أيضا \(CD = BC\)، أي عندما تكون الأضلاع الثلاثة متقايسة: \(BC = BD = CD\).
نستعمل أولا خاصية المثلث القائم المتقايس الضلعين: الزاويتان الحادتان متقايسـتان.
ثم نستعمل أن \(AH\) منصف للزاوية القائمة، فينتج تساوي زاويتين في المثلث \(ABH\).
في الجزء الثاني: بما أن \(A\) منتصف \([BD]\) وبما أن \((AC)\) عمودي على \((AB)\)، ومع كون \(B,A,D\) على استقامة واحدة، فإن \((AC)\perp(BD)\).
2) ب) بما أن المثلث \(ABC\) قائم في \(A\)، فإن \(\widehat{BAC}=90^\circ\).
وبما أن \(AH\) منصف للزاوية \(\widehat{BAC}\)، فإن \(\widehat{BAH}=45^\circ\).
ولأن المثلث \(ABC\) قائم ومتقايس الضلعين عند \(A\)، فإن \(\widehat{ABC}=45^\circ\). وبما أن \(H \in [BC]\)، فإن \(\widehat{ABH}=\widehat{ABC}=45^\circ\).
إذن \(\widehat{BAH}=\widehat{ABH}\)، ومنه \(AH=BH\). لذلك فالمثلث \(ABH\) متقايس الضلعين.
3) ب) لدينا \(A\) منتصف \([BD]\). وبما أن \(B,A,D\) على استقامة واحدة و \((AC)\perp(AB)\)، فإن \((AC)\perp(BD)\).
إذن \((AC)\) عمودي على \([BD]\) في منتصفها \(A\)، فهو الموسط العمودي للقطعة \([BD]\).
3) ج) بما أن \(C\) نقطة من الموسط العمودي لـ \([BD]\)، فإن \(CB=CD\).
إذن المثلث \(BCD\) متقايس الضلعين قمة رأسه \(C\).