مساعدة: المثلث والارتفاعات

الارتفاع في مثلث: هو مستقيم يمر من رأس ويكون عموديا على المستقيم الحامل للضلع المقابل.

المركز القائم: هو نقطة تقاطع ارتفاعات المثلث الثلاثة.

في مثلث قائم، نستعمل: مجموع زاويتيه الحادتين يساوي \(90^\circ\).

انتبه: إذا كان المثلث منفرج الزاوية فقد تقع بعض الارتفاعات خارج المثلث.

لإثبات تعامد مستقيمين، يكفي أحيانا إثبات أن أحدهما هو حامل الارتفاع الثالث في المثلث.

تمارين المثلث والارتفاعات

دفواراتي
حساب زوايا باستعمال ارتفاع
تمرين 14
  1. ارسم مثلثا \(ABC\) حيث \(BC=5\,cm\) و \(\widehat{ABC}=55^\circ\) و \(\widehat{ACB}=45^\circ\).
  2. ارسم \([AH]\) الارتفاع الصادر من \(A\).
  3. احسب \(\widehat{CAH}\) و \(\widehat{BAH}\).
  4. ارسم \(M\) المركز القائم للمثلث \(ABC\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • س3: بما أن \([AH]\) ارتفاع، فإن \((AH)\perp(BC)\). إذن المثلثان \(AHC\) و \(AHB\) قائمان في \(H\).
  • س4: المركز القائم هو نقطة تلاقي الارتفاعات الثلاثة.

📝 الطريقة

لحساب \(\widehat{CAH}\): نعمل في المثلث القائم \(AHC\)، ونستعمل أن مجموع الزاويتين الحادتين يساوي \(90^\circ\).

لحساب \(\widehat{BAH}\): نعمل في المثلث القائم \(AHB\)، ونستعمل نفس الفكرة.

لرسم \(M\): نرسم ارتفاعا ثانيا للمثلث، وتقاطع الارتفاعين هو المركز القائم.

✅ الحل الكامل

بما أن \([AH]\) ارتفاع صادر من \(A\)، فإن:

\[(AH)\perp(BC)\]

في المثلث \(AHC\) القائم في \(H\):

\[\widehat{CAH}=90^\circ-\widehat{ACB}=90^\circ-45^\circ=45^\circ\]

في المثلث \(AHB\) القائم في \(H\):

\[\widehat{BAH}=90^\circ-\widehat{ABC}=90^\circ-55^\circ=35^\circ\]

لرسم \(M\)، نرسم ارتفاعا ثانيا للمثلث، ونقطة تقاطعه مع \((AH)\) هي المركز القائم.

مثلث منفرج وارتفاعات خارجية
تمرين 16
  1. ارسم مثلثا \(ABC\) حيث \(AB=4\,cm\) و \(\widehat{ABC}=22^\circ\) و \(\widehat{BAC}=112^\circ\).
  2. احسب \(\widehat{ACB}\).
  3. أين يقع الارتفاعان \([CH]\) و \([BK]\) للمثلث \(ABC\)؟
  4. المستقيمان \((BK)\) و \((CH)\) يتقاطعان في نقطة \(M\). بيّن أن \(\widehat{ABK}=22^\circ\) وأن \(\widehat{ACH}=22^\circ\).
  5. ماذا تمثل \(M\) بالنسبة إلى المثلث \(ABC\)؟
  6. أثبت أن المستقيم \((AM)\) عمودي على المستقيم \((BC)\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • س2: مجموع زوايا المثلث يساوي \(180^\circ\).
  • س3: بما أن \(\widehat{BAC}=112^\circ\) فهي زاوية منفرجة، فانتبه لمواضع الارتفاعات.
  • س6: إذا كانت \(M\) مركزا قائما، فإن المستقيم المار من الرأس \(A\) و \(M\) هو الارتفاع الثالث.

📝 الطريقة

نحسب الزاوية الثالثة باستعمال مجموع زوايا المثلث.

لأن المثلث منفرج في \(A\)، فإن ارتفاعي \(B\) و \(C\) يسقطان على امتدادي الضلعين المقابلين.

بعد ذلك نلاحظ أن \(M\) تقاطع ارتفاعين، إذن هي المركز القائم، ومنه يكون \((AM)\) حاملا للارتفاع الثالث.

✅ الحل الكامل

نحسب الزاوية الثالثة:

\[\widehat{ACB}=180^\circ-(\widehat{BAC}+\widehat{ABC})=180^\circ-(112^\circ+22^\circ)=46^\circ\]

بما أن \(\widehat{BAC}=112^\circ\) زاوية منفرجة، فإن الارتفاعين الصادرين من \(B\) و \(C\) يقعان خارج المثلث على امتدادي الضلعين المقابلين.

وبما أن \((BK)\perp(AC)\) و \((CH)\perp(AB)\)، فإن المثلثين المناسبين قائمان، ومن العلاقات الزاوية نحصل على:

\[\widehat{ABK}=22^\circ \quad \text{و} \quad \widehat{ACH}=22^\circ\]

النقطة \(M\) هي نقطة تقاطع ارتفاعين، إذن هي المركز القائم للمثلث \(ABC\).

بما أن \(M\) هو المركز القائم، فإن \((AM)\) هو حامل الارتفاع الثالث، وبالتالي:

\[(AM)\perp(BC)\]
المركز القائم في مثلث متساوي الساقين
تمرين 17
  1. ارسم مثلثا \(ABH\) قائم الزاوية في \(H\) حيث \(AH=4\,cm\) و \(AB=5\,cm\).
  2. عيّن على نصف المستقيم \([AH)\) نقطة \(C\) حيث \(AC=5\,cm\).
  3. ما هو نوع المثلث \(ABC\)؟ علل جوابك.
  4. ارسم الارتفاع \([CK]\) الصادر من \(C\) للمثلث \(ABC\). القطعة \([CK]\) تقطع القطعة \([BH]\) في \(I\).
  5. ماذا تمثل النقطة \(I\) بالنسبة إلى المثلث \(ABC\)؟ علل جوابك.
  6. بيّن أن \((AI)\) عمودي على \((BC)\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • س3: قارن الطولين \(AB\) و \(AC\).
  • س5: ابحث عن ارتفاعين يمران بالنقطة \(I\).
  • س6: إذا كانت \(I\) مركزا قائما، فالارتفاع الثالث يمر من \(A\).

📝 الطريقة

من \(AB=5\,cm\) و \(AC=5\,cm\)، نستنتج نوع المثلث.

نثبت أن \((BH)\) أو \((IH)\) هو ارتفاع في المثلث \(ABC\)، ثم نستعمل أن \((CK)\) ارتفاع آخر.

تقاطع ارتفاعين يعطي المركز القائم، ومنه يكون المستقيم الواصل بين الرأس الثالث وهذا المركز عموديا على الضلع المقابل.

✅ الحل الكامل

لدينا:

\[AB=5\,cm \quad \text{و} \quad AC=5\,cm\]

إذن المثلث \(ABC\) متساوي الساقين رأسه \(A\).

وبما أن المثلث \(ABH\) قائم في \(H\)، فإن:

\[(AH)\perp(BH)\]

وبما أن \(C\) تنتمي إلى \([AH)\)، فإن \((AC)=(AH)\)، ومنه \((BH)\perp(AC)\). إذن المستقيم \((BH)\) هو ارتفاع صادر من \(B\) في المثلث \(ABC\).

كما أن \([CK]\) ارتفاع صادر من \(C\)، و\(I\) هي نقطة تقاطع \((BH)\) و \((CK)\)، لذلك \(I\) هي المركز القائم للمثلث \(ABC\).

بما أن \(I\) مركز قائم، فإن الارتفاع الثالث يمر من \(A\) و \(I\)، وبالتالي:

\[(AI)\perp(BC)\]