دليل: المركز القائم والتوازي

قواعد أساسية:

مجموع زوايا المثلث:

$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ$.

المثلث متقايس الضلعين:

الموسط من القمة الرئيسية هو ارتفاع وموسط عمودي ومنصف ومحور تناظر.

المركز القائم:

تقاطع ارتفاعين، ويقع على الارتفاع الثالث.

التوازي بالعمودية: مستقيمان عموديان على نفس المستقيم يكونان متوازيين: $(EF) \perp (AI)$ و $(BC) \perp (AI) \Rightarrow (EF) \parallel (BC)$.

أخطاء شائعة:

تحديد الارتفاع داخل مثلث آخر

[IH] عمودي على (AB)، وبما أن E على (AB) فإن [IH] هو ارتفاع المثلث AEF أيضًا. تتبّع على أيّ ضلع يقع العمود.

نصيحة:

للبرهنة على التوازي، ابحث عن مستقيم ثالث يكون كلاهما عموديًا عليه.

المثلثات — التمرين رقم 6 (ضفاف البحيرة)

دفواراتي
المثلث متقايس الضلعين والمركز القائم والتوازي — 7 أساسي
تمرين 6

ارسم مثلثًا ABC بحيث $BA = 5\ \text{cm}$ و $\widehat{ABC} = 65^\circ$ و $\widehat{BAC} = 50^\circ$، ولتكن I منتصف [BC].

    1. ما هو نوع المثلث ABC ؟ علل جوابك.
    2. أوجد محور تناظر للمثلث ABC.
  2. ارسم [AI] الموسط الصادر من A. أثبت أن $(AI) \perp (BC)$.
  3. ارسم [IH] و [IK] الارتفاعين الصادرين من I للمثلثين IAB و IAC. المستقيم (IH) يقطع (AC) في F، و(IK) يقطع (AB) في E.
    1. ماذا تمثل I بالنسبة إلى المثلث AEF ؟ علّل جوابك.
    2. بيّن أن $(EF) \perp (AI)$.
    3. استنتج أن $(EF) \parallel (BC)$.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • س1: احسب $\widehat{ACB}$ أولًا ثم قارن الزوايا. إذا تساوت زاويتان فالمثلث متقايس الضلعين.
  • س2: محور تناظر المثلث متقايس الضلعين هو المستقيم المار بالقمة الرئيسية A ومنتصف القاعدة.
  • س3-أ: [IH] عمودي على (AB) و[IK] عمودي على (AC). بما أن E على (AB) و F على (AC)، فهما ارتفاعان للمثلث AEF من I.
  • س3-ج: مستقيمان عموديان على نفس المستقيم (AI) يكونان متوازيين.

📝 الطريقة

1-أ) $\widehat{ACB} = 180^\circ - \widehat{ABC} - \widehat{BAC}$. قارن $\widehat{ABC}$ و $\widehat{ACB}$.

1-ب) محور التناظر = المستقيم (AI) (موسط عمودي لـ [BC] ومنصف $\widehat{BAC}$).

2) ABC متقايس الضلعين ($AB = AC$) والموسط [AI] من القمة الرئيسية $\Rightarrow (AI) \perp (BC)$.

3-أ) [IH] $\perp$ (AB) و[IK] $\perp$ (AC) ارتفاعان للمثلث AEF من I $\Rightarrow$ I مركزه القائم.

3-ب) I مركز قائم لـ AEF $\Rightarrow$ [AI] ارتفاع من A $\Rightarrow (AI) \perp (EF)$.

3-ج) $(EF) \perp (AI)$ و $(BC) \perp (AI) \Rightarrow (EF) \parallel (BC)$.

✅ الحل الكامل

1-أ) نوع المثلث ABC :

$$\widehat{ACB} = 180^\circ - \widehat{ABC} - \widehat{BAC} = 180^\circ - 65^\circ - 50^\circ = 65^\circ$$

بما أن $\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = 65^\circ$، فالضلعان المقابلان لهما متساويان :

$$AB = AC = 5\ \text{cm}$$

$\Rightarrow$ المثلث ABC متقايس الضلعين قمته الرئيسية A.

1-ب) محور التناظر :

في المثلث متقايس الضلعين ($AB = AC$)، محور التناظر هو المستقيم (AI): الموسط من A، الموسط العمودي لـ [BC]، الارتفاع من A، ومنصف الزاوية $\widehat{BAC}$ معًا. إذًا محور التناظر هو المستقيم (AI).

2) $(AI) \perp (BC)$ :

المثلث ABC متقايس الضلعين ($AB = AC$) و I منتصف [BC]. الموسط [AI] الصادر من القمة الرئيسية هو أيضًا الموسط العمودي للقاعدة، إذًا $(AI) \perp (BC)$.

3-أ) I بالنسبة للمثلث AEF :

[IH] هو ارتفاع المثلث IAB من I على [AB] $\Rightarrow [IH] \perp (AB)$. وبما أن E ∈ (AB) فإن [IH] هو أيضًا الارتفاع الصادر من I على [AE] في المثلث AEF.
بالمثل، $[IK] \perp (AC)$ و F ∈ (AC) $\Rightarrow$ [IK] هو الارتفاع الصادر من I على [AF] في المثلث AEF.
إذًا I تقاطع ارتفاعين من المثلث AEF، ومنه I هو المركز القائم للمثلث AEF.

3-ب) $(EF) \perp (AI)$ :

بما أن I هو المركز القائم للمثلث AEF، فإن [AI] هو الارتفاع الثالث الصادر من A، وهو عمودي على الضلع المقابل [EF]، إذًا $(AI) \perp (EF)$.

3-ج) $(EF) \parallel (BC)$ :

  • $(EF) \perp (AI)$ (من 3-ب).
  • $(BC) \perp (AI)$ (من السؤال 2).

مستقيمان عموديان على نفس المستقيم (AI) يكونان متوازيين، إذًا $(EF) \parallel (BC)$.