دليل: الموسط العمودي والمثلثات الخاصة

قواعد أساسية:

الموسط العمودي:

إذا كانت C على الموسط العمودي لـ [IB] فإن $CI = CB$.

المثلث متقايس الأضلاع:

أضلاع متساوية وكل زاوية $60^\circ$.

زاويتان متتامتان:

إذا كانت A و I و B على استقامة واحدة فإن $\widehat{AIC} = 180^\circ - \widehat{BIC}$.

تجزئة زاوية: $\widehat{ACB} = \widehat{ACI} + \widehat{ICB}$ عندما تقع I داخل الزاوية $\widehat{ACB}$.

أخطاء شائعة:

نسيان المعطيات المتساوية

اجمع كل التساويات: $AI = IB$ (I منتصف)، $CI = CB$ (موسط عمودي)، $AI = IC$ (معطى) ⟶ كلها متساوية!

نصيحة:

سمِّ كل الأطوال المتساوية بحرف واحد $a$، فتظهر لك المثلثات المتقايسة الأضلاع مباشرة.

المثلثات — التمرين رقم 3 (ضفاف البحيرة)

دفواراتي
الموسط العمودي والمثلث القائم — 7 أساسي
تمرين 3

ارسم قطعة [AB] وعيّن منتصفها I. ابنِ $\Delta$ الموسط العمودي للقطعة [IB]، ولتكن O منتصف [IB]، ثم عيّن على $\Delta$ نقطة C بحيث $AI = IC$.

    1. حدد نوع كل من المثلثين BIC و AIC. علل جوابك.
    2. احسب $\widehat{BIC}$ و $\widehat{AIC}$ و $\widehat{ACI}$.
    1. احسب $\widehat{OCI}$.
    2. استنتج أن [CI) منصف الزاوية $\widehat{ACO}$.
    3. بيّن أن المثلث ACB قائم الزاوية في C.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • س1: اجمع المعطيات: I منتصف [AB] $\Rightarrow AI = IB$؛ C على الموسط العمودي لـ [IB] $\Rightarrow CI = CB$؛ والمعطى $AI = IC$. ماذا تستنتج ؟
  • س1-ب: A و I و B على استقامة واحدة، فالزاويتان $\widehat{AIC}$ و $\widehat{BIC}$ متتامتان.
  • س2-أ: O منتصف [IB] و C على الموسط العمودي $\Rightarrow [CO]$ ارتفاع وموسط في المثلث BIC المتقايس الأضلاع.
  • س2-ج: $\widehat{ACB} = \widehat{ACI} + \widehat{ICB}$.

📝 الطريقة

ملاحظة أولية: $AI = IB$ (I منتصف)، $CI = CB$ (موسط عمودي)، $AI = IC$ (معطى) $\Rightarrow AI = IB = IC = CB$ (نسمّيها $a$).

1-أ) BIC: $IB = IC = CB = a \Rightarrow$ متقايس الأضلاع. AIC: $AI = IC \Rightarrow$ متقايس الضلعين.

1-ب) $\widehat{BIC} = 60^\circ$ (متقايس الأضلاع)، $\widehat{AIC} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$، ثم $\widehat{ACI} = \dfrac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ$.

2-أ) [CO] ارتفاع في المثلث المتقايس الأضلاع BIC من C $\Rightarrow \widehat{OCI} = \dfrac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

2-ب) $\widehat{ACI} = \widehat{OCI} = 30^\circ \Rightarrow [CI)$ منصف $\widehat{ACO}$.

2-ج) $\widehat{ACB} = \widehat{ACI} + \widehat{ICB} = 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ$.

✅ الحل الكامل

ملاحظة أساسية: I منتصف [AB] $\Rightarrow AI = IB$. و C على $\Delta$ الموسط العمودي لـ [IB] $\Rightarrow CI = CB$. والمعطى $AI = IC$. بجمع هذه التساويات :

$$AI = IB = IC = CB \quad (\text{نسمّيها } a)$$

1-أ) نوع المثلثين :

  • المثلث BIC : $IB = IC = CB = a \Rightarrow$ متقايس الأضلاع.
  • المثلث AIC : $AI = IC = a \Rightarrow$ متقايس الضلعين قمته I.

1-ب) حساب الزوايا :

المثلث BIC متقايس الأضلاع :

$$\widehat{BIC} = \widehat{ICB} = \widehat{IBC} = 60^\circ$$

النقاط A و I و B على استقامة واحدة، فالزاويتان $\widehat{AIC}$ و $\widehat{BIC}$ متتامتان :

$$\widehat{AIC} = 180^\circ - \widehat{BIC} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$$

وفي المثلث AIC المتقايس الضلعين ($AI = IC$) :

$$\widehat{IAC} = \widehat{ACI} = \dfrac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ$$

إذًا $\widehat{ACI} = 30^\circ$.

2-أ) حساب $\widehat{OCI}$ :

O منتصف [IB] و C على الموسط العمودي لـ [IB]، إذًا [CO] هو الارتفاع (والموسط) الصادر من C في المثلث BIC المتقايس الأضلاع، وهو ينصّف الزاوية الرأسية $\widehat{ICB}$ :

$$\widehat{OCI} = \widehat{OCB} = \dfrac{\widehat{ICB}}{2} = \dfrac{60^\circ}{2} = 30^\circ$$

2-ب) [CI) منصف الزاوية $\widehat{ACO}$ :

وجدنا $\widehat{ACI} = 30^\circ$ و $\widehat{OCI} = 30^\circ$، إذًا $\widehat{ACI} = \widehat{OCI}$، ومنه [CI) هو منصف الزاوية $\widehat{ACO}$.

2-ج) المثلث ACB قائم الزاوية في C :

النقطة I داخل الزاوية $\widehat{ACB}$، إذًا :

$$\widehat{ACB} = \widehat{ACI} + \widehat{ICB} = 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ$$

ومنه المثلث ACB قائم الزاوية في C.