ضفاف البحيرة — التمرين رقم 1 — المثلثات

الدائرة والمماس والموسط العمودي — 7 أساسي

تمرين 1

ارسم دائرة $(\mathcal{C})$ مركزها O وشعاعها $2{,}5\ \text{cm}$ وعيّن عليها نقطة A.

الموسط العمودي للقطعة [OA] يقطع $(\mathcal{C})$ في نقطتين إحداهما B. ما هو نوع المثلث OBA ؟ ثم استنتج قيس $\widehat{OBA}$.
عيّن النقطة C بحيث B منتصف [OC].
1. ما هو نوع المثلث ABC ؟ علل جوابك.
2. أثبت أن (AC) مماس للدائرة $(\mathcal{C})$ في A.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

س1: كل نقطة على الموسط العمودي تبعد نفس المسافة عن طرفَي القطعة، و $OA = OB$ شعاعان. ماذا تستنتج عن الأطوال الثلاثة $OA$ و $OB$ و $BA$ ؟
س2-أ: B منتصف [OC] يعطيك $BC = OB$. قارن بين $AB$ و $BC$.
س2-ب: يكفي إثبات أن $(OA) \perp (AC)$ أي $\widehat{OAC} = 90^\circ$. لاحظ أن $\widehat{OAC} = \widehat{OAB} + \widehat{BAC}$.

📝 الطريقة

1) B على الموسط العمودي لـ [OA] $\Rightarrow BA = BO$. و $OA = OB = 2{,}5$ (شعاعان) $\Rightarrow OA = OB = BA \Rightarrow$ المثلث OBA متقايس الأضلاع $\Rightarrow \widehat{OBA} = 60^\circ$.

2-أ) B منتصف [OC] $\Rightarrow BC = OB = 2{,}5 = AB \Rightarrow$ ABC متقايس الضلعين قمته B. والزاوية $\widehat{ABC} = 180^\circ - \widehat{OBA} = 120^\circ \Rightarrow \widehat{BAC} = \widehat{BCA} = 30^\circ$.

2-ب) $\widehat{OAC} = \widehat{OAB} + \widehat{BAC} = 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ \Rightarrow (OA) \perp (AC) \Rightarrow (AC)$ مماس.

✅ الحل الكامل

1) نوع المثلث OBA وقيس $\widehat{OBA}$ :

B تنتمي إلى الموسط العمودي للقطعة [OA]، فبخاصية الموسط العمودي : $BA = BO$. ولدينا $OA = OB = 2{,}5\ \text{cm}$ (نصفا قطر الدائرة). إذًا :

$$OA = OB = BA = 2{,}5\ \text{cm}$$

ومنه المثلث OBA متقايس الأضلاع، فجميع زواياه تساوي $60^\circ$ :

$$\widehat{OBA} = 60^\circ$$

2-أ) نوع المثلث ABC :

بما أن B منتصف [OC] فإن $BC = OB = 2{,}5\ \text{cm}$، ومن السؤال السابق $AB = 2{,}5\ \text{cm}$، إذًا :

$$AB = BC = 2{,}5\ \text{cm}$$

ومنه المثلث ABC متقايس الضلعين قمته B. (ملاحظة: النقاط O و B و C على استقامة واحدة، فالزاوية $\widehat{ABC}$ متتامة مع $\widehat{OBA}$):

$$\widehat{ABC} = 180^\circ - \widehat{OBA} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$$

$$\widehat{BAC} = \widehat{BCA} = \dfrac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ$$

2-ب) (AC) مماس للدائرة $(\mathcal{C})$ في A :

النقطة A هي رأس مشترك للزاويتين $\widehat{OAB}$ و $\widehat{BAC}$، والنقطة B داخل الزاوية $\widehat{OAC}$، إذًا :

$$\widehat{OAC} = \widehat{OAB} + \widehat{BAC} = 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ$$

(حيث $\widehat{OAB} = 60^\circ$ لأن OBA متقايس الأضلاع). إذًا $(OA) \perp (AC)$ في A. وبما أن [OA] نصف قطر الدائرة $(\mathcal{C})$ والمستقيم (AC) عمودي عليه في نقطة التماس A :

$\Rightarrow$ المستقيم (AC) مماس للدائرة $(\mathcal{C})$ في A.

دليل: الدائرة والمماس والموسط العمودي

قواعد أساسية:

أخطاء شائعة:

الخلط في تحديد المثلث القائم

نصيحة:

المثلثات — التمرين رقم 1 (ضفاف البحيرة)

💡 مؤشر

📝 الطريقة

✅ الحل الكامل