دليل: النقاط المميزة في المثلث

المراكز الأربعة:

مركز الثقل = تقاطع المواسط (يقسم كل موسط $2:1$ من الرأس).

المركز القائم = تقاطع الارتفاعات.

مركز الدائرة المحيطة = تقاطع المواسط العمودية (يبعد عن الرؤوس بنفس المسافة).

مركز الدائرة المحاطة = تقاطع المنصفات.

المثلث متقايس الضلعين:

الموسط من القمة الرئيسية A هو في آن واحد: ارتفاع، موسط عمودي للقاعدة، منصف، ومحور تناظر. لذا تتراكب عليه المراكز الأربعة.

المثلث القائم:

مركز الدائرة المحيطة هو منتصف الوتر، والشعاع نصف الوتر.

نصيحة:

حدّد دائمًا نوع الخط (موسط/ارتفاع/موسط عمودي/منصف) لتعرف أيّ مركز تحصل عليه عند التقاطع.

المثلثات — التمرين رقم 6

دفواراتي
المراكز الأربعة في المثلث متقايس الضلعين — 7 أساسي
تمرين 6

ابنِ مثلثًا ABC متقايس الضلعين قمته الرئيسية A بحيث $\widehat{BAC} = 70^\circ$ و $AB = 8\ \text{cm}$.

  1. احسب $\widehat{ABC}$ ثم استنتج $\widehat{ACB}$.
  2. ابنِ الموسط [AI] الموافق للقاعدة [BC] ثم بيّن أن $(AI) \perp (BC)$.
  3. استنتج نوع المثلثين AIB و AIC.
  4. لتكن M منتصف [AB] و N منتصف [AC]. ما هو مركز وشعاع الدائرة المحيطة بالمثلث AIB ؟ ثم ارسمها.
  5. (BN) يقطع [AI] في G. ماذا تمثل G بالنسبة للمثلث ABC ؟
  6. برهن أن C و M و G على استقامة واحدة.
  7. ليكن P المسقط العمودي للنقطة B على (AC). يتقاطع (BP) و (AI) في H. ماذا تمثل H بالنسبة للمثلث ABC ؟
  8. برهن أن $(HC) \perp (AB)$.
  9. ارسم $\Delta$ الموسط العمودي للقطعة [AC]. يتقاطع $\Delta$ و (AI) في O. ماذا تمثل O بالنسبة للمثلث ABC ؟
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • س1: مجموع زوايا المثلث $180^\circ$، وفي المثلث متقايس الضلعين زاويتا القاعدة متساويتان.
  • س2-3: الموسط من القمة الرئيسية في المثلث متقايس الضلعين هو أيضًا ارتفاع وموسط عمودي ومنصف.
  • س4: المثلث AIB قائم في I، فمركز دائرته المحيطة منتصف الوتر [AB].
  • س5-6: تقاطع موسطين هو مركز الثقل، وهو يقع على الموسط الثالث.
  • س7-8: تقاطع ارتفاعين هو المركز القائم، وهو يقع على الارتفاع الثالث.
  • س9: تقاطع الموسط العمودي لـ [AC] مع محور تناظر المثلث (AI) يعطي مركز الدائرة المحيطة.

📝 الطريقة

1) $\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = \dfrac{180^\circ - \widehat{BAC}}{2}$.

2-3) [AI] موسط من القمة الرئيسية $\Rightarrow$ ارتفاع $\Rightarrow (AI) \perp (BC)$، فالمثلثان AIB و AIC قائمان في I ومتقايسا الضلعين.

4) AIB قائم في I $\Rightarrow$ المركز M منتصف [AB]، الشعاع $\dfrac{AB}{2}$.

5-6) G = تقاطع الموسطين [BN] و [AI] $\Rightarrow$ مركز الثقل $\Rightarrow$ يقع على الموسط [CM].

7-8) H = تقاطع الارتفاعين [BP] و [AI] $\Rightarrow$ المركز القائم $\Rightarrow [CH] \perp (AB)$.

9) O = تقاطع الموسط العمودي $\Delta$ لـ [AC] مع (AI) (محور تناظر، أي موسط عمودي لـ [BC]) $\Rightarrow OA = OC$ و $OB = OC \Rightarrow$ مركز الدائرة المحيطة.

✅ الحل الكامل

1) حساب الزوايا :

المثلث ABC متقايس الضلعين ($AB = AC$)، فزاويتا القاعدة متساويتان :

$$\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = \dfrac{180^\circ - 70^\circ}{2} = \dfrac{110^\circ}{2} = 55^\circ$$

2) $(AI) \perp (BC)$ :

[AI] هو الموسط الصادر من القمة الرئيسية A. وفي المثلث متقايس الضلعين، الموسط من القمة الرئيسية هو أيضًا الارتفاع والموسط العمودي والمنصف، إذًا $(AI) \perp (BC)$.

3) نوع المثلثين AIB و AIC :

$\widehat{AIB} = \widehat{AIC} = 90^\circ$ (لأن $AI \perp BC$)، و $AB = AC = 8\ \text{cm}$، و $IB = IC$ (I منتصف [BC]). إذًا المثلثان AIB و AIC قائمان في I ومتقايسا الضلعين.

4) الدائرة المحيطة بالمثلث AIB :

المثلث AIB قائم الزاوية في I، فوتره هو [AB]، ومركز دائرته المحيطة هو منتصف الوتر، أي M :

$$R = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{8}{2} = 4\ \text{cm}$$

$\Rightarrow$ المركز M والشعاع $4\ \text{cm}$.

5) النقطة G :

[BN] موسط من B (N منتصف [AC]) و [AI] موسط من A (I منتصف [BC]) في المثلث ABC. و $G = [BN] \cap [AI]$ تقاطع موسطين، إذًا G هو مركز ثقل المثلث ABC.

6) C و M و G على استقامة واحدة :

G مركز ثقل المثلث ABC فهو يقع على المواسط الثلاثة. و [CM] هو الموسط من C (M منتصف [AB])، إذًا G يقع على [CM]، ومنه C و G و M على استقامة واحدة.

7) النقطة H :

[BP] ارتفاع من B ($BP \perp AC$) و [AI] ارتفاع من A ($AI \perp BC$). و $H = (BP) \cap (AI)$ تقاطع ارتفاعين، إذًا H هو المركز القائم للمثلث ABC.

8) $(HC) \perp (AB)$ :

H مركز قائم للمثلث ABC فهو يقع على الارتفاعات الثلاثة، ومنها الارتفاع الصادر من C، وهو عمودي على الضلع المقابل [AB]، إذًا $(HC) \perp (AB)$.

9) النقطة O :

  • O تنتمي إلى $\Delta$ الموسط العمودي لـ [AC] $\Rightarrow OA = OC$.
  • O تنتمي إلى (AI) وهو محور تناظر المثلث (أي الموسط العمودي لـ [BC]) $\Rightarrow OB = OC$.
$$OA = OB = OC$$

$\Rightarrow$ O هو مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ABC.