دليل المثلثات: المتقايس الضلعين ومركز الثقل

قواعد أساسية:

المثلث متقايس الضلعين:

إذا تساوت زاويتان فالضلعان المقابلان متساويان. الارتفاع من القمة الرئيسية هو أيضًا موسط ومنصف وموسط عمودي ومحور تناظر.

المثلث القائم:

منتصف الوتر هو مركز الدائرة المحيطة، ويبعد عن الرؤوس بنصف الوتر.

مركز الثقل:

تقاطع المواسط الثلاثة، يقسم كل موسط بنسبة $2:1$ انطلاقًا من الرأس.

الاستقامية: إذا كانت نقطة مركز ثقل، فهي تقع على كل موسط؛ فأي نقطتين هما رأس ومنتصف الضلع المقابل تكونان معها على استقامة واحدة.

أخطاء شائعة:

القمة الرئيسية

في المثلث متقايس الضلعين، القمة الرئيسية هي ملتقى الضلعين المتساويين (هنا A لأن $AB = AC$)، وليست أي رأس.

نصيحة:

عند رؤية ارتفاع في مثلث متقايس الضلعين صادر من القمة الرئيسية، اكتب فورًا: ارتفاع = موسط = منصف = موسط عمودي!

المثلثات — التمرين رقم 5

دفواراتي
المثلث متقايس الضلعين ومركز الثقل — 7 أساسي
تمرين 5
    1. ابنِ مثلثًا ABC بحيث $AB = 6\ \text{cm}$ و $\widehat{BAC} = 80^\circ$ و $\widehat{ABC} = 50^\circ$.
    2. احسب $\widehat{ACB}$ ثم استنتج طبيعة المثلث ABC.
  2. ليكن [AE] ارتفاع المثلث ABC الصادر من A.
    1. ماذا تمثل أيضًا [AE] بالنسبة للمثلث ABC ؟
    2. ما هي طبيعة المثلث ACE ؟ واذكر مركزه القائم.
  3. لتكن I منتصف [AB].
    1. اذكر مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ABE.
    2. احسب IE.
  4. نضع $O = [CI] \cap [AE]$ و J منتصف [AC].
    1. ماذا تمثل O للمثلث ABC ؟
    2. بيّن أن J و O و B على استقامة واحدة.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • س1: احسب $\widehat{ACB}$ بمجموع الزوايا، ثم قارنها بـ $\widehat{ABC}$. تساوي زاويتين يعني تساوي الضلعين المقابلين.
  • س2: في المثلث متقايس الضلعين، الارتفاع من القمة الرئيسية A هو أيضًا موسط ومنصف وموسط عمودي. والمثلث ACE قائم في E.
  • س3: المثلث ABE قائم في E، فمركز دائرته المحيطة هو منتصف الوتر [AB] أي I، و $IE = IA = IB$.
  • س4: [CI] و [AE] موسطان، فتقاطعهما O هو مركز الثقل، وهو يقع على الموسط الثالث [BJ].

📝 الطريقة

1-ب) $\widehat{ACB} = 180^\circ - \widehat{BAC} - \widehat{ABC}$. إذا وجدت $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$ فالمثلث متقايس الضلعين قمته A ($AB = AC$).

2-أ) [AE] ارتفاع من القمة الرئيسية في مثلث متقايس الضلعين $\Rightarrow$ هو أيضًا موسط ومنصف وموسط عمودي و محور تناظر.

2-ب) $[AE] \perp [BC] \Rightarrow \widehat{AEC} = 90^\circ \Rightarrow$ المثلث ACE قائم في E، ومركزه القائم هو E.

3) المثلث ABE قائم في E، الوتر [AB]، فمركز الدائرة المحيطة I منتصف [AB]، و $IE = \dfrac{AB}{2}$.

4) O تقاطع الموسطين [CI] و [AE] $\Rightarrow$ مركز الثقل $\Rightarrow$ يقع على الموسط [BJ]، فتكون B وO وJ على استقامة واحدة.

✅ الحل الكامل

1-ب) طبيعة المثلث ABC :

$$\widehat{ACB} = 180^\circ - 80^\circ - 50^\circ = 50^\circ$$

بما أن $\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = 50^\circ$، فالضلعان المقابلان لهما متساويان :

$$AB = AC = 6\ \text{cm}$$

إذًا المثلث ABC متقايس الضلعين قمته A.

2-أ) [AE] بالنسبة للمثلث ABC :

المثلث ABC متقايس الضلعين ($AB = AC$) و [AE] الارتفاع الصادر من القمة الرئيسية A، فهو في آن واحد منصف الزاوية $\widehat{BAC}$، وموسط للقاعدة [BC]، وموسط عمودي لـ [BC]، ومحور تناظر للمثلث. وبصفة خاصة E منتصف [BC].

2-ب) طبيعة المثلث ACE ومركزه القائم :

$[AE] \perp [BC]$ ومنه $\widehat{AEC} = 90^\circ$، إذًا المثلث ACE قائم الزاوية في E. والمركز القائم للمثلث القائم هو رأس الزاوية القائمة، إذًا مركزه القائم هو E.

3-أ) مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ABE :

المثلث ABE قائم الزاوية في E ($AE \perp BE$)، وفي المثلث القائم مركز الدائرة المحيطة هو منتصف الوتر. الوتر هو [AB]، إذًا المركز هو I منتصف [AB].

3-ب) حساب IE :

I مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ABE، إذًا $IA = IB = IE$ (أنصاف أقطار) :

$$IE = IA = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{6}{2} = 3\ \text{cm}$$

4-أ) النقطة O :

[CI] موسط المثلث ABC من C (I منتصف [AB])، و[AE] موسط من A (E منتصف [BC])، و $O = [CI] \cap [AE]$ تقاطع موسطين، إذًا O هو مركز ثقل المثلث ABC.

4-ب) استقامية J و O و B :

O مركز ثقل المثلث ABC، فهو يقع على المواسط الثلاثة. و [BJ] هو الموسط الصادر من B (J منتصف [AC])، إذًا O يقع على [BJ]، ومنه النقاط J و O و B على استقامة واحدة (جميعها على الموسط [BJ]).