دليل المثلثات: المنصفات والارتفاعات

قواعد أساسية:

مجموع زوايا المثلث:

$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ$

منصف الزاوية:

نصف قيس الزاوية. تتقاطع منصفات المثلث الثلاثة في مركز الدائرة المحاطة.

الارتفاع:

عمودي من رأس على الضلع المقابل. تتقاطع الارتفاعات في المركز القائم.

زاوية تقاطع منصفين في المثلث:

$\widehat{BKC} = 90^\circ + \dfrac{\widehat{BAC}}{2}$

أخطاء شائعة:

الخلط بين المركزين

تقاطع المنصفات ⟶ مركز الدائرة المحاطة. تقاطع الارتفاعات ⟶ المركز القائم. لا تخلط بينهما!

نصيحة:

في المثلث القائم في H، تذكّر أن $\widehat{HAC} = 90^\circ - \widehat{ACB}$.

المثلثات — التمرين رقم 4

دفواراتي
الارتفاع والمنصفات والمركزان — 7 أساسي
تمرين 4
  1. ابنِ مثلثًا ABC بحيث $BC = 8\ \text{cm}$ و $\widehat{ABC} = 50^\circ$ و $\widehat{ACB} = 70^\circ$.
  2. ارسم الارتفاع [AH]. احسب $\widehat{HAC}$ معللًا جوابك.
  3. ابنِ (Bx] و (Cy] منصفَي الزاويتين $\widehat{ABC}$ و $\widehat{ACB}$، يتقاطعان في K. احسب $\widehat{BKC}$.
    1. ماذا تمثل K في المثلث ABC ؟
    2. ارسم الدائرة المحاطة بـ ABC.
    3. استنتج أن [AK) منصف الزاوية $\widehat{BAC}$.
  4. ارسم [BI] ارتفاع المثلث الموافق لـ [AC]، ونسمي P تقاطع [BI] و [AH]. ماذا تمثل P ؟
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • س1-2: احسب $\widehat{BAC}$ بمجموع زوايا المثلث. في المثلث AHC القائم في H، $\widehat{HAC} = 180^\circ - 90^\circ - \widehat{ACB}$.
  • س3: (Bx] و (Cy] منصفان، إذًا $\widehat{KBC} = \dfrac{\widehat{ABC}}{2}$ و $\widehat{KCB} = \dfrac{\widehat{ACB}}{2}$. احسب $\widehat{BKC}$ في المثلث BKC.
  • س3-أ: تقاطع منصفَي زاويتين هو مركز الدائرة المحاطة، فهو يقع على المنصف الثالث.
  • س4: [AH] و [BI] ارتفاعان، فتقاطعهما هو المركز القائم.

📝 الطريقة

1) $\widehat{BAC}$ : $= 180^\circ - \widehat{ABC} - \widehat{ACB}$.

2) $\widehat{HAC}$ : في المثلث AHC القائم في H : $\widehat{HAC} = 180^\circ - 90^\circ - \widehat{ACB}$.

3) $\widehat{BKC}$ : $\widehat{KBC} = \dfrac{\widehat{ABC}}{2}$ و $\widehat{KCB} = \dfrac{\widehat{ACB}}{2}$، ثم $\widehat{BKC} = 180^\circ - \widehat{KBC} - \widehat{KCB}$.

3-أ/ت) K تقاطع منصفين $\Rightarrow$ مركز الدائرة المحاطة $\Rightarrow$ يقع على المنصف الثالث، إذًا [AK) منصف $\widehat{BAC}$.

4) P تقاطع الارتفاعين [AH] و [BI] $\Rightarrow$ المركز القائم.

✅ الحل الكامل

1) حساب $\widehat{BAC}$ :

$$\widehat{BAC} = 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ = 60^\circ$$

2) حساب $\widehat{HAC}$ :

$[AH] \perp [BC]$ ومنه $\widehat{AHC} = 90^\circ$. في المثلث AHC :

$$\widehat{HAC} = 180^\circ - 90^\circ - \widehat{ACB} = 180^\circ - 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ$$

3) حساب $\widehat{BKC}$ :

(Bx] منصف الزاوية $\widehat{ABC}$ ومنه $\widehat{KBC} = \dfrac{50^\circ}{2} = 25^\circ$.
(Cy] منصف الزاوية $\widehat{ACB}$ ومنه $\widehat{KCB} = \dfrac{70^\circ}{2} = 35^\circ$.

في المثلث BKC :

$$\widehat{BKC} = 180^\circ - 25^\circ - 35^\circ = 120^\circ$$

3-أ) النقطة K :

K نقطة تقاطع منصفَي زاويتين من زوايا المثلث ABC، إذًا K هو مركز الدائرة المحاطة بالمثلث ABC (وهو تقاطع المنصفات الثلاثة).

3-ت) [AK) منصف الزاوية $\widehat{BAC}$ :

بما أن K مركز الدائرة المحاطة، فهو يقع على المنصفات الثلاثة بالضرورة، إذًا [AK) هو منصف الزاوية $\widehat{BAC}$ :

$$\widehat{BAK} = \widehat{KAC} = \dfrac{\widehat{BAC}}{2} = \dfrac{60^\circ}{2} = 30^\circ$$

4) النقطة P :

[AH] ارتفاع من A ($AH \perp BC$) و [BI] ارتفاع من B ($BI \perp AC$)، و $P = (AH) \cap (BI)$ تقاطع ارتفاعين، إذًا P هو المركز القائم للمثلث ABC.