فروض تأليفية و حلول في الهندسة

سلسلة مسائل مع حلول مفصلة للصف السابع أساسي

1 مسألة 1 (فرض تأليفي 2)

نعتبر مثلثًا ABC متقايس الضلعين قمته الرئيسية A حيث BC=6cm و BÂC=120°.

  • 1) أ- احسب AĈB و AḂC. ب- ابن ذلك المثلث وعين النقطة I منتصف [BC].
  • 2) أ- ارسم Δ المستقيم العمودي على (AB) في B و 'Δ المستقيم العمودي على (AC) في C. ب- Δ و 'Δ يتقاطعان في النقطة D.
  • 3) أ- احسب أقيسة زوايا المثلث BCD واستنتج طبيعة هذا المثلث. ب- أثبت أن النقاط A و I و D هي على إستقامة واحدة.
  • 4) أ- ابن النقطة O مناظرة النقطة A بالنسبة الى المستقيم (BC). ب- برهن أن O هي مركز الدائرة 𝒞 المحيطة بالمثلث ABC. ج- أرسم الدائرة 𝒞.
  • 5) حدد مركز الدائرة '𝒞 المحاطة بالمثلث BCD ثم أرسمها.

تصحيح مسألة 1:

  • 1) أ- حساب الزوايا: بما أن المثلث ABC متقايس الضلعين في A، فإن: AĈB = AḂC = (180° - 120°) / 2 = 30°.
  • 3) أ- طبيعة المثلث BCD: DĈB = 180° - (90° + 30°) = 60°. وبالمثل DḂC = 60°.
    إذن BDC = 180° - (60°+60°) = 60°.
    الخلاصة: جميع أقيسة زوايا المثلث DBC متساوية، فهو متقايس الأضلاع.
  • ب- إثبات الاستقامة: لدينا AB=AC و DB=DC (لأن BCD متقايس الأضلاع). هذا يعني أن النقطتين A و D تنتميان إلى الموسط العمودي للقطعة [BC].
    وبما أن I منتصف [BC]، فهي تنتمي أيضًا إلى الموسط العمودي.
    الخلاصة: النقاط A و I و D على استقامة واحدة (محور القطعة [BC]).
  • 4) ب- برهان أن O هي مركز الدائرة المحيطة: O مناظرة A بالنسبة للمستقيم (BC)، يعني أن (BC) هو الموسط العمودي للقطعة [AO].
    إذن CO=CA و BO=BA. وبما أن CA=BA، فإن BO = AO = CO.
    الخلاصة: O هي مركز الدائرة 𝒞 المحيطة بالمثلث ABC.
  • 5) مركز الدائرة المحاطة بالمثلث BCD: المثلث DBC متقايس الأضلاع، و (CO) و (BO) هما منصفا الزاويتين DĈB و DḂC على التوالي. وبما أن تقاطعهما هو O، فإن O هو مركز الدائرة 𝒞' المحاطة بالمثلث BCD.
2 مسألة 2 (فرض تأليفي 2)
  • 1) ابن مثلثًا ABC حيث: BC=8cm و AḂC=52,5° و AĈB=75°.

    ملاحظة: 75°=(90+60):2 و 52,5°=(60+45):2

  • 2) أ- احسب قيس CÂB معللا جوابك. ب- استنتج طبيعة المثلث ABC وقيس AC.
  • 3) أ- ابن [Ct) منصف الزاوية AĈB وعين I تقاطع (Ct) و (AB). ب- برهن أن AÎC=90°.
  • 4) أ- ابن Δ الموسط العمودي لـ [BC]. Δ يقطع (BC) في E ويقطع (CI) في O. ب- ماذا تمثل O بالنسبة للمثلث ABC. ج- ارسم 𝒞 الدائرة المحيطة بالمثلث ABC.
  • 5) (AE) و (CI) يتقاطعان في G. برهن أن (BG) يقطع القطعة [AC] في منتصفها.
  • 6) ابن النقطة R بحيث C منتصف [AR] ؛ بيّن ان المثلث ABR قائم.

تصحيح مسألة 2:

  • 2) حساب CÂB وطبيعة المثلث: أ- CÂB = 180° - (75° + 52.5°) = 52.5°.
    ب- بما أن CÂB = AḂC = 52.5°، فإن المثلث ABC متقايس الضلعين في C. وينتج عن ذلك أن AC = BC = 8cm.
  • 3) ب- برهان أن AÎC=90°: في المثلث ABC المتقايس الضلعين في C، منصف الزاوية الصادر من القمة الرئيسية [Ct) هو أيضًا الموسط العمودي للقاعدة [AB]. إذن AÎC=90°.
  • 4) ب- ماذا تمثل O؟ لدينا Δ هو الموسط العمودي لـ[BC]. ولدينا (CI) هو الموسط العمودي لـ[AB]. بما أن O هي نقطة تقاطع الموسطين العموديين، فإن O هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ABC.
  • 5) برهان أن (BG) يقطع [AC] في منتصفها: لدينا (AE) هو الموسط الصادر من A (لأن E منتصف [BC]). ولدينا (CI) هو الموسط الصادر من C (لأن I منتصف [AB]).
    G هي نقطة تقاطع الموسطين، إذن G هي مركز ثقل المثلث ABC.
    وبالتالي فإن (BG) هو الموسط الثالث الصادر من B، إذن فهو يقطع [AC] في منتصفها.
  • 6) تبيان أن المثلث ABR قائم: لدينا BĈA = 75°، إذن BĈR = 180° - 75° = 105°.
    ونعلم أن CA=CR (لأن C منتصف AR) و CB=CA (مثلث متقايس الضلعين). إذن CB=CR.
    المثلث BCR متقايس الضلعين في C. إذن B̂RC = ĈBR = (180°-105°)/2 = 37.5°.
    ومنه AḂR = AḂC + CḂR = 52.5° + 37.5° = 90°.
    الخلاصة: المثلث ABR قائم في B.