تمارين إضافية في الهندسة مع الحلول

لدينا O نقطة تقاطع الموسطين العموديين Δ و 'Δ. بما أن O تنتمي إلى Δ (الموسط العمودي لـ [AB])، فإنها تبعد نفس المسافة عن طرفي القطعة [AB]. إذن OA = OB. وبما أن O تنتمي إلى 'Δ (الموسط العمودي لـ [BC])، فإنها تبعد نفس المسافة عن طرفي القطعة [BC]. إذن OB = OC. نستنتج من (1) و (2) أن OA = OB = OC.

بما أن النقطة O متساوية البعد عن الرؤوس الثلاثة للمثلث A، B، و C، فإن O هي مركز الدائرة المارة بهذه الرؤوس. هذه الدائرة تسمى الدائرة المحيطة بالمثلث. مركزها O وشعاعها هو OA.

بما أن O تنتمي إلى Δ، الموسط العمودي للقطعة [AB]، فإن OA = OB. لذلك، المثلث ABO هو مثلث متقايس الضلعين في الرأس O.

لدينا المثلث ABO متقايس الضلعين، إذن زاويتا القاعدة متقايستان: OÂB = OBA. بما أن المثلث ABC قائم في A، فإن AÂBC = 180° - 90° - 40° = 50°. ومنه OÂB = 50°. في المثلث OAC، لدينا OÂC = BÂC - OÂB = 90° - 50° = 40°. بما أن OĈA = 40°، فإن OÂC = OĈA = 40°. إذن المثلث ACO متقايس الضلعين في الرأس O.

وجدنا أن OA = OB و OA = OC. إذن OA = OB = OC. النقطة O تبعد نفس المسافة عن جميع رؤوس المثلث ABC، إذن O هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ABC.

المركز القائم لمثلث هو نقطة تلاقي ارتفاعاته. في المثلث القائم الزاوية، تتقاطع الارتفاعات في رأس الزاوية القائمة. بما أن المثلث ABE قائم الزاوية في E، فإن المركز القائم للمثلث ABE هو النقطة E.

مجموع زوايا أي مثلث هو 180°. AÊBE = 180° - 90° - 25° = 65°.

في المثلث القائم الزاوية ABE، النقطة I هي منتصف الوتر [AB]. المتوسط المتعلق بالوتر يساوي نصف طول الوتر. إذن، IE = AB / 2 = 6 / 2 = 3 cm.

(BE) هو حامل الارتفاع الصادر من B في المثلث ABC. المستقيم Δ هو الموسط العمودي لـ [AB]، وبالتالي هو حامل للارتفاع الصادر من C في المثلث ABC. بما أن H هي نقطة تقاطع الارتفاعين (BE) و (CH)، فإن H هي المركز القائم للمثلث ABC.

بما أن H هي المركز القائم للمثلث ABC، فإن المستقيم المار بالرأس B و H، أي (BH)، هو حامل للارتفاع الصادر من B. وبالتالي فهو عمودي على الضلع المقابل [AC]. إذن، (BH) ⊥ (AC).

2) أ. تبيان أن H هي المركز القائم للمثلث ABC:

في المثلث ABC نجد أن:
- المستقيم (CM) هو حامل للارتفاع الصادر من C (لأن (CM) عمودي على (AB) حسب المعطيات).
- المستقيم (BI) هو حامل للارتفاع الصادر من B (لأن زاوية AIB هي زاوية قائمة في المستطيل، إذن (BI) ⊥ (AI) أي (BI) ⊥ (AC)).
بما أن H هي نقطة تقاطع الارتفاعين (CM) و (BI)، فإن H هي المركز القائم للمثلث ABC.

ب. استنتاج أن (BC) ⊥ (AH):

بما أن H هي المركز القائم للمثلث ABC، فإن المستقيم المار من الرأس A والنقطة H، أي (AH)، هو حامل الارتفاع الثالث للمثلث. وبالتالي فإن هذا المستقيم يكون عمودياً على الضلع المقابل له [BC]. إذن (BC) ⊥ (AH).

3) تحديد طبيعة النقطة G:

في المثلث ABD:
- نعلم أن (AM) هو حامل للموسط الصادر من A لأن M منتصف [BI] (قطرا المستطيل يتقاطعان في منتصفهما).
- المستقيم (DO) هو حامل للموسط الصادر من D لأن O منتصف [AB] (قطرا المستطيل يتقاطعان في منتصفهما).
بما أن G هي نقطة تقاطع الموسطين (AM) و (DO)، فإن G تمثل مركز ثقل المثلث ABD.

1) ب- حساب BÂC:

مجموع زوايا المثلث يساوي 180°. إذن: BÂC = 180° - (75° + 60°) = 45°.

ج- البرهان على أن [CE) ارتفاع:

Δ هو الموسط العمودي لـ [AC]. بما أن E تنتمي إلى Δ، فإن EA = EC. إذن المثلث AEC متقايس الضلعين في E. ومنه زاويتا القاعدة متساويتان: EÂC = EĈA = 45°. وبالتالي AÊC = 180° - (45°+45°) = 90°.
إذن (CE) ⊥ (AB)، وبالتالي [CE) هو أحد ارتفاعات المثلث ABC.

د- تحديد طبيعة النقطة H والاستنتاج:

لدينا (BI) || Δ و Δ ⊥ (AC)، إذن (BI) ⊥ (AC). وبالتالي (BI) هو حامل الارتفاع الصادر من B.
بما أن H هي نقطة تقاطع الارتفاعين [CE) و (BI)، فإن H هي المركز القائم للمثلث ABC.
نستنتج أن (AH) هو حامل الارتفاع الثالث، إذن (AH) ⊥ (BC).

3) ب- برهان أن O هي مركز الدائرة المحيطة:

لدينا J منتصف [AB]، إذن (IJ) هو الموسط العمودي لـ [AB].
O هي نقطة تقاطع Δ (الموسط العمودي لـ [AC]) و (IJ) (الموسط العمودي لـ [AB]). إذن O هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ABC.

4) تحديد طبيعة النقطة G والملاحظة:

G هي نقطة تقاطع (BF) و (CJ)، وهما موسطان في المثلث ABC. إذن G هي مركز ثقل المثلث ABC.
ملاحظة: النقاط O (مركز الدائرة المحيطة)، G (مركز الثقل)، و H (المركز القائم) تقع على نفس الاستقامة (مستقيم أويلر).

1) ب- حساب AḂC و AĈB:

المثلث متقايس الضلعين في A، إذن زاويتا القاعدة متساويتان.
AḂC = AĈB = (180° - 52.5°) / 2 = 63.75°.

2) ب- تحديد طبيعة النقطة O:

في المثلث متقايس الضلعين ABC، الموسط (AI) الصادر من القمة الرئيسية هو أيضًا الموسط العمودي للقاعدة [BC].
O هي نقطة تقاطع Δ (الموسط العمودي لـ [AB]) و (AI) (الموسط العمودي لـ [BC]). إذن O هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ABC.

3) تحديد طبيعة النقطة O':

في المثلث متقايس الضلعين، الموسط (AI) الصادر من القمة الرئيسية هو أيضًا منصف الزاوية BÂC.
O' هي نقطة تقاطع منصف الزاوية AĈB و (AI) (منصف الزاوية BÂC). إذن O' هي مركز الدائرة المحاطة بالمثلث ABC (نقطة تلاقي منصفات الزوايا).

1) ب- تبيان أن المثلث متقايس الضلعين:

نحسب أولاً الزاوية الثالثة: AĈB = 180° - (70° + 55°) = 55°.
بما أن AḂC = AĈB = 55°، فإن المثلث ABC متقايس الضلعين في A.

2) تبيان التناظر:

لنبين أن (AO) هو الموسط العمودي للقطعة [BC].
- في المثلث OBC، لدينا OĈB = 180° - 90° - AĈB = 180° - 90° - 55° = 35°.
- وبالمثل، OḂC = 180° - 90° - AḂC = 180° - 90° - 55° = 35°.
إذن المثلث OBC متقايس الضلعين في O، مما يعني أن OB = OC.
لدينا أيضًا AB = AC (لأن المثلث ABC متقايس الضلعين).
بما أن A و O متساويتا البعد عن B و C، فإن المستقيم (AO) هو الموسط العمودي للقطعة [BC].
وبالتالي، النقطتان B و C متناظرتان بالنسبة للمحور (AO).

2) أ. المركز القائم للمثلث MBC:

المركز القائم في المثلث MBC هو M لأن MBC مثلث قائم الزاوية في M.

ب. حساب B Ĉ M:

مجموع زوايا المثلث 180°، إ