تمارين و حلول شاملة في الهندسة

2) أ. المركز القائم للمثلث MBC:

المركز القائم في المثلث MBC هو M لأن MBC مثلث قائم الزاوية في M.

ب. حساب B Ĉ M:

مجموع زوايا المثلث 180°، إذن B Ĉ M = 180° - 90° - 60° = 30°.

ج. حساب OM:

نعلم أن في المثلث القائم الزاوية، المتوسط المتعلق بالوتر يساوي نصف طول الوتر. O منتصف الوتر [BC]، إذن O هو مركز الدائرة المحيطة و OM هو شعاعها. OM = BC / 2 = 9 / 2 = 4.5cm.

3) أ. تبيان أن H هي المركز القائم للمثلث ABC:

لدينا في المثلث ABC، المستقيم (AN) عمودي على (BC) حسب المعطيات. ومن ناحية أخرى (CM) هو حامل للارتفاع الصادر من C (لأن (CM) ⊥ (AB)). بما أن H هي نقطة تقاطع الارتفاعين (AN) و (CM)، فإن H هي المركز القائم للمثلث ABC.

ب. استنتاج أن (AC) ⊥ (BH):

بما أن H هي المركز القائم، فهي نقطة تلاقي الارتفاعات. إذن (BH) هو حامل الارتفاع الصادر من B، وبالتالي (BH) ⊥ (AC).

4) المركز القائم للمثلث ACH:

المركز القائم في المثلث ACH هو B لأنه نقطة تقاطع الارتفاعين (AM) الصادر من A و(CN) الصادر من C.

2) أ. تبيان أن G هي مركز ثقل المثلث ABC:

لدينا [CI] و [BJ] يمثلان على التوالي الموسطان الصادران من C و B في المثلث ABC. بما أنهما يتقاطعان في النقطة G، فإن G هو مركز ثقل المثلث ABC.

ب. تبيان أن A و G و K على استقامة واحدة:

بما أن G هو مركز ثقل المثلث، فهي نقطة تلاقي الموسطات الثلاثة. [AK] هو الموسط الثالث للمثلث (لأن K منتصف [BC]). حتمًا، الموسط [AK] يمر من G. إذن النقاط A و G و K على استقامة واحدة.

3) بناء الدائرة المحيطة:

بناء الدائرة المحيطة بالمثلث ABC ليس له صلة بما سبق (لا يعتمد على مركز الثقل).

2) ب- حساب E B̂ C و A B̂ E:

بما أن E تنتمي إلى Δ الموسط العمودي لـ [BC]، فإن المثلث EBC متقايس الضلعين في E. ومنه E B̂ C = E Ĉ B = 40°.
نستنتج أن: A B̂ E = A B̂ C - E B̂ C = 65° - 40° = 25°.

3) تبيان أن المثلث EBF متقايس الضلعين:

في المثلث BFT، لدينا B F̂ E = 25°. وبما أن A B̂ E = 25°، فإن المثلث EBF متقايس الضلعين في F. الخلاصة: BFE = 25° إذن المثلث EBF متقايس الضلعين.

4) مركز الدائرة المحيطة بالمثلث FBC:

وجدنا EB=EC و EF=EB. إذن EB=EC=EF. النقطة E متساوية البعد عن الرؤوس F, B, C.
إذن E هو مركز الدائرة 𝒞 المحيطة بالمثلث FBC.

2) حساب أقيسة الزوايا:

المثلث ADE: متقايس الضلعين في A (لأن AE=AB=AD).
DÂE = DÂB - EÂB = 90° - 60° = 30°.
إذن A D̂ E = A Ê D = (180° - 30°) / 2 = 75°.

المثلث EBF: لدينا E B̂ F = E B̂ C + C B̂ F = (90°-60°) + 60° = 90°.
وبما أن BE=BC=BF، فإن المثلث EBF قائم ومتقايس الضلعين في B.
إذن B Ê F = B F̂ E = 45°.

3) البرهان على الاستقامة:

لنحسب قيس الزاوية DÊF:
DÊF = DÊA + AÊB + BÊF
DÊF = 75° + 60° + 45° = 180°.
الخلاصة: بما أن الزاوية DÊF منبسطة، فإن النقط D و E و F على نفس الاستقامة.

1) ب- حساب CÂB:

CÂB = 180° - (60° + 75°) = 45°.

2) ب- برهان أن CĴA = 90°:

النقطة J تنتمي إلى Δ الموسط العمودي لـ [AC]، إذن JA = JC. فالمثلث JAC متقايس الضلعين في J.
ومنه JÂC = JĈA. JÂC هو نفسه CÂB = 45°.
إذن CĴA = 180° - 2 * 45° = 90°.

ج- ماذا تمثل I؟

بما أن المثلث AJC قائم في J، فإن I منتصف وتره [AC]، وبالتالي I هو مركز الدائرة المحيطة به.

3) أ- ماذا تمثل R؟

نعلم أن في المثلث المتقايس الضلعين JAC، الموسط العمودي للقاعدة Δ هو نفسه منصف الزاوية الرئيسية CĴA.
من ناحية أخرى، [AR) هو منصف الزاوية CÂJ.
R هي نقطة تقاطع منصفي زاويتين، إذن R هي مركز الدائرة المحاطة بالمثلث AJC.

ج- حساب AŘC:

في المثلث ARC، لدينا: RÂC = 45°/2 و RĈA = 45°/2.
إذن AŘC = 180° - (45°/2 + 45°/2) = 180° - 45° = 135°.

1) أ- حساب الزوايا:

بما أن المثلث ABC متقايس الضلعين في A، فإن: AĈB = AḂC = (180° - 120°) / 2 = 30°.

3) أ- طبيعة المثلث BCD:

DĈB = 180° - (90° + 30°) = 60°. وبالمثل DḂC = 60°.
إذن BDC = 180° - (60°+60°) = 60°.
الخلاصة: جميع أقيسة زوايا المثلث DBC متساوية، فهو متقايس الأضلاع.

ب- إثبات الاستقامة:

لدينا AB=AC و DB=DC (لأن BCD متقايس الأضلاع). هذا يعني أن النقطتين A و D تنتميان إلى الموسط العمودي للقطعة [BC].
وبما أن I منتصف [BC]، فهي تنتمي أيضًا إلى الموسط العمودي.
الخلاصة: النقاط A و I و D على استقامة واحدة (محور القطعة [BC]).

4) ب- برهان أن O هي مركز الدائرة المحيطة:

O مناظرة A بالنسبة للمستقيم (BC)، يعني أن (BC) هو الموسط العمودي للقطعة [AO].
إذن CO=CA و BO=BA. وبما أن CA=BA، فإن BO = AO = CO.
الخلاصة: O هي مركز الدائرة 𝒞 المحيطة بالمثلث ABC.
ملاحظة: المثلث OBC متناظران بالنسبة للمحوري (BC) ويحافظ على أقيسة الزوايا.

5) مركز الدائرة المحاطة بالمثلث BCD:

المثلث DBC متقايس الأضلاع، و (CO) و (BO) هما منصفا الزاويتين DĈB و DḂC على التوالي. وبما أن تقاطعهما هو O، فإن O هو مركز الدائرة 𝒞' المحاطة بالمثلث BCD.

2) حساب CÂB وطبيعة المثلث:

أ- CÂB = 180° - (75° + 52.5°) = 52.5°.
ب- بما أن CÂB = AḂC = 52.5°، فإن المثلث ABC متقايس الضلعين في C. وينتج عن ذلك أن AC = BC = 8cm.

3) ب- برهان أن AÎC=90°:

في المثلث ABC المتقايس الضلعين في C، منصف الزاوية الصادر من القمة الرئيسية [Ct) هو أيضًا الموسط العمودي للقاعدة [AB]. إذن AÎC=90°.

4) ب- ماذا تمثل O؟

لدينا Δ هو الموسط العمودي لـ[BC]. ولدينا (CI) هو الموسط العمودي لـ[AB]. بما أن O هي نقطة تقاطع الموسطين العموديين، فإن O هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ABC.

5) برهان أن (BG) يقطع [AC] في منتصفها:

لدينا (AE) هو الموسط الصادر من A (لأن E منتصف [BC]). ولدينا (CI) هو الموسط الصادر من C (لأن I منتصف [AB]).
G هي نقطة تقاطع الموسطين، إذن G هي مركز ثقل المثلث ABC.
وبالتالي فإن (BG) هو الموسط الثالث الصادر من B، إذن فهو يقطع [AC] في منتصفها.

6) تبيان أن المثلث ABR قائم:

لدينا BĈA = 75°، إذن BĈR = 180° - 75° = 105°.
ونعلم أن CA=CR (لأن C منتصف AR) و CB=CA (مثلث متقايس الضلعين). إذن CB=CR.
المثلث BCR متقايس الضلعين في C. إذن B̂RC = ĈBR = (180°-105°)/2 = 37.5°.
ومنه AḂR = AḂC + CḂR = 52.5° + 37.5° = 90°.
الخلاصة: المثلث ABR قائم في B.