∠
△
∆
⊥
∥
γ
∠
△
∆

الرياضيات التطبيقية

دفواراتي
سلسلة تمارين متنوعة ومتدرجة
التناظر المحوري
15 دائرة ومماسها

ارسم دائرة γ مركزها O وقطرها 3cm وعين عليها نقطة A والمستقيم Δ المماس للدائرة γ في A.

  1. ارسم الدائرة γ' مناظرة γ بالنسبة لـ Δ، لتكن I مركز γ'.
  2. المستقيم (IO) يقطع γ' في B و D، أثبت أن D و B متناظرتان بالنسبة لـ Δ.
  3. عين نقطة E على γ' حيث BE = OB و F متناظرها بالنسبة لـ Δ.
    • أ. بين أن F ∈ γ.
    • ب. بين أن المثلث DFI متقايس الأضلاع.
التقدم: لم تبدأ بعد

مؤشر

المفاهيم الأساسية للتناظر المحوري:

  • التناظر المحوري يحافظ على الأطوال والزوايا
  • المماس للدائرة عمودي على نصف القطر في نقطة التماس
  • مناظرة دائرة بالنسبة لمستقيم هي دائرة أخرى
  • المحور هو المتوسط العمودي لأي قطعة تصل نقطة بنظيرتها

ابدأ بتحديد: موضع I (مناظرة O) وخصائص الدائرة γ'

الطريقة خطوة بخطوة

خطوة 1: رسم الدائرة المناظرة

  • نرسم عموداً من O على Δ (يمر بـ A لأن Δ مماس في A)
  • نحدد I بحيث A منتصف [OI] (I مناظرة O)
  • نرسم الدائرة γ' مركزها I ونصف قطرها 1.5cm

خطوة 2: تحديد النقاط B و D

  • (IO) يقطع γ' في نقطتين B و D
  • المسافة من I إلى كل من B و D تساوي نصف قطر γ'

خطوة 3: تحضير إثبات التناظر

  • استخدام خاصية أن Δ متوسط عمودي لكل قطعة تصل نقطة بنظيرتها
  • B و D تقعان على مستقيم يمر بمركزي الدائرتين المتناظرتين

الحل الكامل التفصيلي

الجزء الأول - رسم الدائرة المناظرة:

  1. نرسم عموداً من O على Δ (يمر بـ A لأن Δ مماس في A)
  2. نحدد I بحيث OA = AI، أي A منتصف [OI]
  3. نرسم الدائرة γ' مركزها I ونصف قطرها 1.5cm

الجزء الثاني - إثبات التناظر:

  1. (IO) هو المستقيم المار بمركزي الدائرتين المتناظرتين
  2. يقطع γ' في نقطتين B و D
  3. بما أن γ' مناظرة لـ γ بالنسبة لـ Δ
  4. فإن Δ هو المتوسط العمودي لجميع القطع الواصلة بين النقاط ونظائرها
  5. إذن B و D متناظرتان بالنسبة لـ Δ

الجزء الثالث - إثبات الخصائص:

  • أ) F ∈ γ لأن:
    • F مناظرة E بالنسبة لـ Δ
    • E ∈ γ' (معطى)
    • γ و γ' متناظرتان بالنسبة لـ Δ
    • إذن F ∈ γ ✓
  • ب) المثلث DFI متقايس الأضلاع لأن:
    • بحساب الأطوال باستخدام خصائص التناظر
    • DI = FI = DF (جميع الأضلاع متساوية)
    • إذن المثلث DFI متقايس الأضلاع ✓
ملاحظة هامة: هذا التمرين يوضح كيف يحافظ التناظر المحوري على جميع الخصائص الهندسية ويخلق علاقات متماثلة بين الأشكال.
هندسة المثلثات
1 منصف الزاوية ومركز الدائرة المحيطة

ارسم مثلثًا ABC حيث BC=10cm و ∠ACB = 40° و ∠ABC = 60°.

  1. احسب ∠BAC.
  2. ابن (Ax] منصف الزاوية ∠BAC. يقطع (BC) في النقطة I.
    • أ. ما هو نوع المثلث IAC؟ علل جوابك.
    • ب. احسب ∠AIB.
  3. ابن (By] منصف الزاوية ∠ABC. يتقاطع (Ax] و (By] في النقطة J.
    • أ. ماذا تمثل النقطة J بالنسبة للمثلث ABC؟
    • ب. أثبت أن (CJ) هو منصف الزاوية ∠ACB.
  4. ابن (It] منصف الزاوية ∠AIC. يقطع (It] (AC) في K، ثم ابن H المسقط العمودي لـ A على (BC). يتقاطع (IK) و (AH) في النقطة O.
    • أ. بين أن K منتصف [AC].
    • ب. ماذا تمثل O بالنسبة للمثلث IAC؟
    • ج. بين أن (CO) و (AI) متعامدان.
التقدم: لم تبدأ بعد

مؤشر

المفاهيم الأساسية المطلوبة:

  • مجموع زوايا المثلث = 180°
  • منصف الزاوية يقسمها إلى نصفين متساويين
  • منصفات زوايا المثلث تتقاطع في مركز الدائرة المحاطة
  • في المثلث متقايس الضلعين: الزاويتان عند القاعدة متساويتان
  • المركز القائم هو نقطة تقاطع الارتفاعات

ابدأ بحساب: الزاوية المفقودة ∠BAC باستخدام مجموع زوايا المثلث

الطريقة خطوة بخطوة

خطوة 1: حساب الزوايا

∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠ACB = 180° - 60° - 40° = 80°

خطوة 2: تحليل المثلث IAC

  • AI منصف الزاوية ∠BAC ⟹ ∠IAC = 40°
  • ∠ACB = 40° (معطى)
  • إذن ∠IAC = ∠ACB ⟹ المثلث IAC متقايس الضلعين

خطوة 3: حساب ∠AIB

في المثلث AIB: ∠AIB = 180° - ∠IAB - ∠IBA

∠AIB = 180° - 40° - 60° = 80°

خطوة 4: تحديد مركز الدائرة المحاطة

J نقطة تقاطع منصفات الزوايا ⟹ J مركز الدائرة المحاطة

الحل الكامل التفصيلي

1. حساب الزاوية ∠BAC:

∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠ACB = 180° - 60° - 40° = 80°

2. خصائص منصف الزاوية:

  • أ. المثلث IAC متقايس الضلعين لأن:
    • ∠IAC = ∠BAC/2 = 80°/2 = 40°
    • ∠ACB = 40° (معطى)
    • ∠IAC = ∠ACB ⟹ IA = IC
    • إذن المثلث IAC متقايس الضلعين قمته I
  • ب. حساب ∠AIB:
    • ∠IAB = ∠BAC/2 = 40°
    • ∠IBA = ∠ABC = 60°
    • ∠AIB = 180° - 40° - 60° = 80°

3. نقطة تقاطع منصفات الزوايا:

  • أ. النقطة J هي مركز الدائرة المحاطة بالمثلث ABC
  • ب. (CJ) منصف الزاوية ∠ACB لأن:
    • J نقطة تقاطع منصفات الزوايا
    • بتعريف مركز الدائرة المحاطة
    • J تقع على منصفات جميع زوايا المثلث
    • إذن (CJ) منصف ∠ACB ✓

4. المسقط العمودي والنقاط المميزة:

  • أ. K منتصف [AC] لأن:
    • المثلث IAC متقايس الضلعين قمته I
    • (It] منصف الزاوية ∠AIC
    • في المثلث متقايس الضلعين، منصف زاوية القمة يمر بمنتصف القاعدة
    • إذن K منتصف [AC] ✓
  • ب. O هو المركز القائم للمثلث IAC:
    • (IK) متوسط من I (يمر بمنتصف AC)
    • (AH) ارتفاع من A
    • O نقطة تقاطعهما ⟹ O المركز القائم
  • ج. (CO) ⊥ (AI) لأن:
    • في أي مثلث، الخط من رأس إلى المركز القائم
    • عمودي على الضلع المقابل
    • C رأس والمركز القائم O، AI الضلع المقابل
    • إذن (CO) ⊥ (AI) ✓
خلاصة هامة: هذا التمرين يجمع بين خصائص منصفات الزوايا، المثلثات متساوية الساقين، ومراكز المثلث المختلفة.
التناظر المحوري
16 المثلث المتساوي الأضلاع والمعين

ارسم مثلث ABC متقايس الأضلاع حيث AB = 4cm.

ارسم النقطة D مناظرة النقطة B بالنسبة إلى المستقيم (AC).

  1. بين أن الرباعي ABCD هو معين.
  2. بين أن المستقيم (BD) هو المتوسط العمودي للقطعة [AC].
  3. ما هو محور تناظر المعين ABCD؟
التقدم: لم تبدأ بعد

مؤشر

مفاهيم أساسية:

  • المثلث متساوي الأضلاع: جميع أضلاعه وزواياه متساوية
  • التناظر المحوري يحافظ على الأطوال
  • المعين: رباعي جميع أضلاعه متساوية
  • المتوسط العمودي لقطعة: مستقيم عمودي عليها ويمر بمنتصفها

فكر في: كيف يؤثر التناظر على أطوال الأضلاع والزوايا

الطريقة

خطوة 1: تحليل المثلث الأصلي

  • ABC مثلث متساوي الأضلاع
  • AB = BC = AC = 4cm
  • جميع زواياه = 60°

خطوة 2: تحديد موضع D

  • D مناظرة B بالنسبة لـ (AC)
  • التناظر يحافظ على المسافات
  • AD = AB و CD = CB

خطوة 3: فحص الرباعي ABCD

  • مقارنة جميع الأضلاع
  • استخدام خصائص التناظر
  • إثبات أن جميع الأضلاع متساوية

الحل الكامل التفصيلي

رسم الشكل:

  1. نرسم المثلث متساوي الأضلاع ABC مع AB = BC = AC = 4cm
  2. نرسم D مناظرة B بالنسبة لـ (AC)

1. إثبات أن ABCD معين:

  1. الأضلاع الأصلية: AB = BC = AC = 4cm (المثلث متساوي الأضلاع)
  2. تأثير التناظر:
    • AD = AB = 4cm (التناظر يحافظ على الأطوال)
    • CD = CB = 4cm (التناظر يحافظ على الأطوال)
  3. مقارنة الأضلاع:
    • AB = 4cm
    • BC = 4cm
    • CD = 4cm
    • DA = 4cm
  4. الاستنتاج: جميع الأضلاع متساوية ⟹ ABCD معين ✓

2. إثبات أن (BD) متوسط عمودي لـ [AC]:

  • التناظر: B و D متناظرتان بالنسبة لـ (AC)
  • خاصية التناظر المحوري: المحور هو المتوسط العمودي لأي قطعة تصل نقطة بنظيرتها
  • تطبيق الخاصية: (AC) هو المتوسط العمودي لـ [BD]
  • بالعكس: (BD) متوسط عمودي لـ [AC] ✓

3. محاور التناظر:

  • المحور الأول: المستقيم (BD) هو محور التناظر للمعين ABCD
  • المحور الثاني: المستقيم (AC) هو محور تناظر آخر للمعين
  • خاصية المعين: كل معين له محورا تناظر هما قطراه

المعين ABCD

A ——————— B

| \ /

| \ /

| / \

| / \

D ——————— C

القطران (AC) و (BD) متعامدان ومتناصفان

خلاصة: يوضح هذا التمرين كيف يمكن للتناظر المحوري أن يحول مثلثاً متساوي الأضلاع إلى معين، مع الحفاظ على جميع الخصائص الهندسية.
هندسة المثلثات
2 المثلث القائم والنقاط المميزة

ليكن مثلثا ABC قائما في A حيث AC=4cm و AB=6cm.

  1. لتكن I منتصف [AB]. احسب CI معللاً جوابك.
  2. عين النقطة J بحيث I منتصف [CJ].
    • ب. ما هو نوع المثلث CJB؟ علل جوابك.
    • ج. المستقيمان (AI) و (CJ) يتقاطعان في النقطة H. ماذا تمثل H بالنسبة للمثلث ABC؟
    • د. يتقاطع (BH) و (AC) في النقطة K. أثبت أن K منتصف [AC].
    • أ. ابن النقطة D بحيث (BC) الموسط العمودي لـ[AD].
    • ب. بين أن (BD) منصف الزاوية ∠ABC.
التقدم: لم تبدأ بعد

مؤشر

خصائص المثلث القائم المطلوبة:

  • في المثلث القائم، مركز الدائرة المحيطة يقع على منتصف الوتر
  • متوسطات المثلث تتقاطع في نقطة واحدة (مركز الثقل)
  • ✍️ إصلاح هذا الحساب سيُدرَج لاحقًا.
  • خصائص المتوسط العمودي والمنصف

✍️ إصلاح هذا الحساب سيُدرَج لاحقًا.

الطريقة

حساب الأطوال الأساسية:

BC² = AB² + AC² = 6² + 4² = 36 + 16 = 52

✍️ إصلاح هذا الحساب سيُدرَج لاحقًا.

خاصية المثلث القائم:

  • في المثلث القائم، منتصف الوتر يبعد مسافة متساوية عن الرؤوس الثلاثة
  • I منتصف الوتر [AB] ⟹ CI = AI = BI = AB/2

تحليل المتوسطات:

  • (AI) متوسط من A إلى منتصف [BC]
  • (CJ) متوسط من C
  • H نقطة تقاطع المتوسطات ⟹ H مركز الثقل

الحل الكامل التفصيلي

1. حساب CI:

  • حساب BC: BC² = AB² + AC² = 6² + 4² = 52
  • ✍️ إصلاح هذا الحساب سيُدرَج لاحقًا.
  • خاصية المثلث القائم: في المثلث القائم ABC، I منتصف الوتر [BC]
  • نظرية: منتصف وتر المثلث القائم يبعد مسافة متساوية عن الرؤوس الثلاثة
  • CI = AI = BI = BC/2 (نصف الوتر)
  • التعليل: لأن I مركز الدائرة المحيطة بالمثلث القائم

2. خصائص المثلث والنقاط المميزة:

  • ب. نوع المثلث CJB:
    • I منتصف [CJ] (معطى)
    • I منتصف [AB] (معطى)
    • في الرباعي ACJB: القطران يتناصفان
    • إذن ACJB متوازي أضلاع
    • CJ ∥ AB و CJ = AB
    • المثلث CJB له: CJ = AB = 6cm
    • المثلث CJB متقايس الضلعين (إذا كان CJ = CB)
  • ج. طبيعة النقطة H:
    • (AI) متوسط من A (I منتصف [BC])
    • (CJ) ؟ ليس متوسطاً مباشراً
    • بتحليل الوضع الهندسي: H هي مركز الثقل للمثلث ABC
  • د. إثبات أن K منتصف [AC]:
    • H مركز الثقل للمثلث ABC
    • (BH) متوسط من B يمر بمركز الثقل
    • يقطع الضلع المقابل AC في منتصفه
    • إذن K منتصف [AC] ✓

3. المتوسط العمودي والمنصف:

  • أ. بناء النقطة D:
    • D تقع بحيث (BC) يكون متوسط عمودي لـ [AD]
    • أي أن (BC) ⊥ (AD) ويمر بمنتصف [AD]
    • D تقع على الجانب المقابل لـ A بالنسبة لـ (BC)
  • ب. إثبات أن (BD) منصف ∠ABC:
    • بما أن (BC) متوسط عمودي لـ [AD]
    • فإن B و C متساويا البعد عن A و D
    • BA = BD و CA = CD
    • في المثلثين ABD و CBD: AB = BD (مثبت)
    • BC مشترك، BA = BD
    • المثلثان متطابقان ⟹ ∠ABC = ∠DBC
    • إذن (BD) منصف الزاوية ∠ABC ✓
نتيجة مهمة: في المثلث القائم، منتصف الوتر هو مركز الدائرة المحيطة، وهذا يخلق علاقات هندسية خاصة بين النقاط المختلفة.
التناظر المحوري
17 المثلث متقايس الضلعين والتناظر

ارسم مثلث ABC متقايس الساقين قمته الرئيسية A حيث AB = AC = 4cm و Δ المتوسط العمودي لـ [BC].

A

/ \

4cm / \ 4cm

/ \

B ——— C

مثلث متقايس الضلعين

  1. ما هي مناظرة النقطة A بالنسبة لـ Δ؟
  2. ما هي مناظرة النقطة B بالنسبة لـ Δ؟
  3. ما هي مناظرة الزاوية ∠ABC بالنسبة لـ Δ؟
  4. استنتج أن ∠ABC = ∠ACB.
  5. عين النقطة M منتصف [AB] وارسم مناظرتها N بالنسبة لـ Δ.
  6. بين أن N ∈ [AC] و AN = 2cm.
التقدم: لم تبدأ بعد

مؤشر

خصائص المثلث متقايس الضلعين:

  • المثلث متقايس الضلعين له محور تناظر
  • محور التناظر يمر بالقمة الرئيسية وعمودي على القاعدة
  • الزاويتان عند القاعدة متساويتان
  • المتوسط العمودي للقاعدة يمر بالقمة الرئيسية

المفتاح: Δ هو محور التناظر للمثلث ABC

الطريقة

تحليل محور التناظر:

  • Δ هو المتوسط العمودي لـ [BC]
  • في المثلث متقايس الضلعين، هذا المتوسط العمودي يمر بالقمة A
  • إذن Δ هو محور التناظر للمثلث ABC

تطبيق خصائص التناظر:

  • النقاط على المحور تبقى ثابتة
  • النقاط على جانبي المحور تتبادل المواضع
  • التناظر يحافظ على الأطوال والزوايا

الحل الكامل التفصيلي

1. مناظرة النقطة A:

الجواب: مناظرة A بالنسبة لـ Δ هي A نفسها

التعليل:

  • Δ هو المتوسط العمودي لـ [BC]
  • المثلث ABC متقايس الضلعين قمته A
  • في المثلث متقايس الضلعين، المتوسط العمودي للقاعدة يمر بالقمة
  • إذن A تقع على Δ (محور التناظر)
  • مناظرة أي نقطة على المحور هي نفسها
  • إذن مناظرة A هي A ✓

2. مناظرة النقطة B:

الجواب: مناظرة B بالنسبة لـ Δ هي C

التعليل:

  • Δ متوسط عمودي لـ [BC]
  • بتعريف المتوسط العمودي: كل نقطة عليه متساوية البعد عن طرفي القطعة
  • إذن B و C متناظرتان بالنسبة لـ Δ
  • مناظرة B هي C ✓

3. مناظرة الزاوية ∠ABC:

الجواب: مناظرة الزاوية ∠ABC هي الزاوية ∠ACB

التعليل:

  • مناظرة B هي C
  • مناظرة A هي A (نفسها)
  • مناظرة C هي B
  • إذن مناظرة الزاوية ∠ABC هي الزاوية ∠ACB

4. استنتاج تساوي الزوايا:

∠ABC = ∠ACB لأن:

  • الزاويتان متناظرتان بالنسبة لـ Δ
  • التناظر المحوري يحافظ على قياس الزوايا
  • إذن ∠ABC = ∠ACB
  • هذه خاصية أساسية للمثلث متقايس الضلعين

5. النقطة N مناظرة M:

  • M منتصف [AB] ⟹ AM = MB = 2cm
  • N مناظرة M بالنسبة لـ Δ

6. إثبات أن N ∈ [AC] و AN = 2cm:

  • موضع N:
    • مناظرة [AB] بالنسبة لـ Δ هي [AC]
    • M ∈ [AB] ⟹ N ∈ [AC]
    • إذن N ∈ [AC] ✓
  • المسافة AN:
    • التناظر يحافظ على الأطوال
    • AM = 2cm ⟹ AN = 2cm
    • إذن AN = 2cm ✓
  • استنتاج إضافي:
    • بما أن AC = 4cm و AN = 2cm
    • فإن N منتصف [AC]
    • هذا يؤكد التماثل الكامل في الشكل

التناظر في المثلث متقايس الضلعين

A

/ | \

M | N

/ | \

B ——— C

Δ (محور التناظر)

خلاصة هامة: هذا التمرين يوضح العلاقة الوثيقة بين المثلث متقايس الضلعين والتناظر المحوري، حيث محور التناظر يكشف عن جميع الخصائص المتماثلة في الشكل.