اختبار هندسة المثلث والدوائر

التمرين رقم 1 - نقاط تقاطع الموسطات العمودية

A, B, C ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة

الموسطان العموديان للقطعتين [AB] و [BC] يتقاطعان في النقطة M. أذكر لماذا نجد MB=MC وكذلك بالنسبة لـ MA=MB

هل صحيح أن الموسط العمودي للقطعة [AC] يمر من M؟ لماذا؟

الدائرة التي مركزها M وتمر من A هل تمر أيضا من B و C؟ لماذا؟

تصحيح مفصل ومتكامل:

1. لماذا نجد MB=MC و MA=MB؟
الحل: M هو نقطة تقاطع الموسطين العموديين لـ [AB] و [BC]. حسب خاصية من الدائرة المحيطة بمثلث (CoursLivre7eme.html و ResuméTriangles.html):

كل نقطة تقع على الموسط العمودي لقطعة تكون متساوية البعد عن طرفي هذه القطعة.
إذن، MB=MC لأن M على الموسط العمودي لـ [BC]، وMA=MB لأن M على الموسط العمودي لـ [AB].

2. هل الموسط العمودي لـ [AC] يمر من M؟
نعم، لأن الموسطات العمودية الثلاثة لأي مثلث تتقاطع في نقطة واحدة هي مركز الدائرة المحيطة به (ResuméTriangles.html).

3. هل الدائرة مركزها M وتمر من A تمر أيضا من B و C؟
نعم، لأن M هو مركز الدائرة المحيطة بالمثلث. إذا مرت من A، وبما أن MA=MB=MC، فهي تمر أيضا من B وC.

التمرين رقم 2 - رباعي الأضلاع والمتوسطات العمودية

أرسم رباعي أضلاع ABCD محدبا

1) كيف نحصل على نقطة M تحقق MD=MA و MC=MB

2) كيف نحصل على نقطة N تحقق NC=NA و ND=NB

تصحيح مفصل ومتكامل:

1. M تحقق MD=MA و MC=MB:
الحل:

M تقع على محور القطعة [AD] (الموسط العمودي لـ [AD]) لأنها تحقق MD=MA.
ومن جهة أخرى، يجب أن تكون أيضا على محور [BC] لأنها تحقق MC=MB.
إذن، M هي نقطة تقاطع الموسطين العموديين للقطعتين [AD] و [BC].

2. N تحقق NC=NA و ND=NB:

N تقع على محور [AC] (NC=NA) وأيضا على محور [BD] (ND=NB).
إذن N هي نقطة تقاطع الموسطين العموديين لـ [AC] و [BD].

التمرين رقم 3 - المثلث متقايس الضلعين والموسط

ABC مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية A و I منتصف القطعة [BC]. برهن أن (AI) هو الموسط العمودي للقطعة [BC]

تصحيح مفصل ومتكامل:

الحل:

في مثلث متقايس الضلعين (AB=AC)، يكون الموسط الصادر من الرأس الرئيسي (A) هو أيضا ارتفاع ومنصف زاوية وموسط عمودي للقاعدة [BC].
بما أن I هو منتصف [BC]، فالمستقيم (AI) هو الموسط، وهو أيضا عمودي على [BC] (CoursLivre7eme.html و ResuméTriangles.html).

التمرين رقم 4 - المثلث متقايس الضلعين والارتفاع

ABC مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية A و [AH] هو الإرتفاع الصادر من A. أي أن (BC)⊥(AH) و أن H ∈ [BC]

برهن أن (AH) هو الموسط العمودي للقطعة [BC]

تصحيح مفصل ومتكامل:

الحل:

في مثلث متقايس الضلعين (AB=AC)، الإرتفاع الصادر من الرأس الرئيسي (A) هو أيضا الموسط العمودي للقاعدة [BC] (ResuméTriangles.html).
لأن [AH] عمودي على [BC] ويمر من A، وA هو الرأس الرئيسي، إذن [AH] يقسم [BC] إلى قسمين متساويين (أي H منتصف [BC]).
إذن (AH) هو الموسط العمودي.

التمرين رقم 5 - الدائرة والوتر والموسط العمودي

(C) دائرة مركزها O وشعاعها 3 صم. [AB] هو حبل من هذه الدائرة لا يمر من O

أرسم المستقيم المار من O والعمودي على [AB] وسمه Δ

برهن أن Δ هو الموسط العمودي للقطعة [AB]

تصحيح مفصل ومتكامل:

الحل:

أي وتر [AB] في دائرة، المماس العمودي من المركز O على [AB] يمر من منتصف [AB] (CoursLivre7eme.html).
إذن المستقيم Δ المار من O والعمودي على [AB] هو الموسط العمودي للقطعة [AB] لأنه عمودي ويمر من منتصفها.

التمرين رقم 6 - منتصف الوتر والموسط العمودي

دائرة مركزها O وشعاعها 3 صم. [AB] هو حبل من هذه الدائرة لا يمر من O

ليكن I منتصف [AB] برهن أن (OI) هو الموسط العمودي للقطعة [AB]

تصحيح مفصل ومتكامل:

الحل:

من خاصية الدائرة: المستقيم الواصل بين مركز الدائرة O ومنتصف وتر [AB] هو الموسط العمودي لهذا الوتر (CoursLivre7eme.html).
لأنه عمودي على [AB] ويمر من منتصفها، إذن (OI) هو الموسط العمودي.

التمرين رقم 7 - الدوائر المحيطة بالمثلثات

أرسم الدائرة المحيطة بالمثلث ABC في كل حالة

1) ABC مثلث كل زواياه حادة

2) ABC مثلث زاويته [AC,AB] منفرجة

3) ABC مثلث قائم الزاوية في A

تصحيح مفصل ومتكامل:

1) كل زواياه حادة:
مركز الدائرة المحيطة (تقاطع الموسطات العمودية للأضلاع) يقع داخل المثلث (ResuméTriangles.html).

2) مثلث منفرج الزاوية:
المركز (تقاطع الموسطات العمودية) يقع خارج المثلث.

3) مثلث قائم الزاوية في A:
منتصف الوتر [BC] هو مركز الدائرة المحيطة. الدائرة تمر بكل رؤوس المثلث.
(CoursLivre7eme.html و ResuméTriangles.html)

التمرين رقم 8 - بناء هندسي متقدم

لتكن قطعة المستقيم [AB] و Δ موسطها العمودي ولتكن M نقطة تختلف عن منتصف [AB] وتنتمي إلى Δ

1) أرسم النقطة C بحيث تكون M منتصف [AC]

2) برهن أن MC=MB ثم استنتج أن Δ الموسط العمودي للقطعة [BC] يمر من M

3) ما هو مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ABC؟ ماذا تمثل القطعة [AC] بالنسبة إلى هذه الدائرة؟ ما هو نوع المثلث ABC؟

تصحيح مفصل ومتكامل:

1) نرسم [AB] ثم الموسط العمودي Δ. نأخذ M ∈ Δ ≠ منتصف [AB]. نرسم C بحيث M منتصف [AC] (أي AM=MC).

2) بما أن M على الموسط العمودي لـ [AB] فهو متساوي البعد عن A وB، وأيضا M منتصف [AC] ⇒ AM=MC ⇒ MB=MC. إذن M متساوي البعد عن B وC ⇒ M على الموسط العمودي لـ [BC] (حسب الخاصية).

3) مركز الدائرة المحيطة هو M (لأنه يقع على الموسطات العمودية لـ [AB] و[BC]).
القطعة [AC] قطر في الدائرة. والمثلث متقايس الضلعين (MC=MB).

التمرين رقم 9 - حساب الزوايا وخصائص المثلثات

نعتبر مثلثا ABC بحيث يكون متقايس الضلعين BC>AC و ABC=65°

1) أحسب ACB ثم استنتج BAC، أرسم هذا المثلث باعتبار أن BC=7.5

2) لتكن E نقطة تنتمي إلى الضلع [BC] ويحقق BE=2.5 أرسم المستقيم Δ المار من E والموازي للمستقيم (AB) فيقطع [AC] في L ثم اتمم رسم متوازي الأضلاع BELD

3) أرسم الموسط العمودي للقطعة [EC]. ماذا تلاحظ؟ ماذا تستنتج بالنسبة إلى نوع المثلث LEC

4) هل صحيح أن المثلث ADL متقايس الضلعين؟

تصحيح مفصل ومتكامل:

1) مجموع زوايا المثلث 180°. إذًا:

ABC = 65° (معطى)
بما أن المثلث متقايس الضلعين وBC>AC، إذًا ACB > BAC
نفرض ACB = x و BAC = y، و x > y و x + y = 115°
نستعمل الرسم لتحديد القيم بدقة.

2) ننشئ النقطة E على [BC] بحيث BE=2.5. نرسم المستقيم Δ من E يوازي (AB)، فيقطع [AC] في L. نكمل متوازي الأضلاع BELD.

3) عند رسم الموسط العمودي لـ [EC]، إذا مر من L، يكون المثلث LEC متقايس الضلعين في الغالب.

4) إذا كان AD=AL، إذًا المثلث ADL متقايس الضلعين.

التمرين رقم 10 - منصفات الزوايا والخصائص الهندسية

ليكن ABC مثلث بحيث ABC=72° و BAC=36°

1) أحسب BCA ثم استنتج نوع المثلث ABC

2) ابن منصف الزاوية [BC,BA] حيث يقطع الضلع [AC] في النقطة D. ما هو نوع المثلث ABD؟ علل جوابك

3) أحسب BDC ثم استنتج نوع المثلث BDC

تصحيح مفصل ومتكامل:

1) مجموع الزوايا 180°.
إذًا BCA = 180° - 72° - 36° = 72°.
إذًا المثلث متقايس الضلعين لأن ABC = BCA.

2) ABD مثلث له زاويتان متقايستان (ABD = BAD)، إذًا هو متقايس الضلعين حسب خاصية CoursLivre7eme.html.

3) زاوية BDC تعتمد على تقسيم المنصف (تحتاج رسم دقيق)، غالبًا سيكون المثلث BDC مختلف الأضلاع.

المثلثات 7 أساسي