في الرسم المصاحب $ABC$ مثلث قائم الزاوية في $A$ حيث $CB = 5cm$ و $\widehat{ACB} = 40^\circ$.
1) احسب $\widehat{ABC}$.
بما أن المثلث $ABC$ قائم في $A$، فإن مجموع الزاويتين الحادتين يساوي $90^\circ$.
$\widehat{ABC} = 90^\circ - \widehat{ACB}$
$\widehat{ABC} = 90^\circ - 40^\circ$
$\widehat{ABC} = 50^\circ$
2) أ- ابن النقطة $M$ مناظرة $B$ بالنسبة إلى $(AC)$.
ب- حدد مناظرة الزاوية $\widehat{ACM}$ بالنسبة إلى $(AC)$.
ج- بين أن المثلث $BMC$ متقايس الضلعين.
أ- نرسم المستقيم العمودي على $(AC)$ والمار من $B$. نحدد $M$ بحيث تكون $A$ منتصف $[BM]$ (لأن المثلث قائم في $A$).
ب- بما أن $C \in (AC)$ فإن مناظرتها هي نفسها $C$. وبما أن مناظرة $B$ هي $M$.
فإن مناظرة الزاوية $\widehat{ACB}$ هي الزاوية $\widehat{ACM}$.
ج- بما أن $M$ مناظرة $B$ بالنسبة إلى $(AC)$ فإن $CB = CM$ (التناظر المحوري يحفظ البعد).
إذن المثلث $BMC$ متقايس الضلعين قمته الرئيسية $C$.
3) منصف الزاوية $\widehat{MBC}$ يقطع $[AC]$ في النقطة $I$.
أ- بين أن $I$ هي مركز الدائرة $\mathscr{C}$ المحاطة بالمثلث $BMC$.
ب- ابنِ الدائرة $\mathscr{C}$.
ج- احسب $\widehat{BIC}$.
د- احسب $\widehat{CMI}$.
أ- في المثلث $BMC$ متقايس الضلعين، الخط $(AC)$ هو موسط عمودي للقاعدة $[BM]$ فهو أيضاً منصف للزاوية $\widehat{BCM}$.
بما أن $I$ هي نقطة تقاطع المنصف $[BI)$ والمنصف $[CI)$، فإن $I$ هي مركز الدائرة المحاطة بالمثلث.
ج- في المثلث $IBC$: لدينا $\widehat{ICB} = 40^\circ$ و $\widehat{IBC} = 25^\circ$ (نصف $50^\circ$).
$\widehat{BIC} = 180^\circ - (40^\circ + 25^\circ) = 115^\circ$.
د- بما أن $I$ تنتمي إلى منصف الزاوية $\widehat{MCB}$ والمثلث متقايس الضلعين، فإن $\widehat{CMI} = 25^\circ$.
4) أ- ابن النقطة $N$ بحيث $C$ منتصف $[MN]$. بين أن $CN = 5cm$.
ب- احسب $\widehat{BCN}$ ثم استنتج أن $\widehat{CBN} = 40^\circ$.
ج- بين أن المثلث $MBN$ قائم في $B$.
د- ابن $[Cu)$ منصف $\widehat{BCN}$؛ بين أن $(Cu) // (AB)$.
أ- بما أن $C$ منتصف $[MN]$ فإن $CN = CM$. وبما أن $CM = CB = 5cm$ فإن $CN = 5cm$.
ب- النقاط $M, C, N$ على استقامة واحدة، إذن $\widehat{BCN} = 180^\circ - \widehat{BCM} = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.
في المثلث متقايس الضلعين $BCN$ (لأن $CB=CN$): الزاوية $\widehat{CBN} = (180^\circ - 100^\circ) / 2 = 40^\circ$.
ج- لدينا $\widehat{MBN} = \widehat{MBC} + \widehat{CBN} = 50^\circ + 40^\circ = 90^\circ$. إذن المثلث قائم في $B$.
د- الزاوية $\widehat{uCB} = \widehat{BCN} / 2 = 50^\circ$.
✍️ إصلاح السؤال (د) سيُدرَج لاحقًا.