1) ابنِ مثلثاً $MNP$ قائماً في $M$ حيث $MN = 6cm$ و $MP = 4cm$.
نرسم قطعة المستقيم $[MN]$ طولها $6cm$.
ننشئ من $M$ مستقيماً عمودياً على $(MN)$.
نحدد النقطة $P$ على هذا العمودي حيث $MP = 4cm$.
2) أ. ابنِ $\Delta$ الموسط العمودي لـ $[MN]$. $\Delta$ يقطع $[MN]$ في $I$ ويقطع $[NP]$ في $K$.
ب. ماذا تمثل النقطة $K$ بالنسبة للمثلث $MNP$؟ علل جوابك.
بما أن $\Delta$ هو الموسط العمودي لـ $[MN]$ فإن $I$ هي منتصف $[MN]$.
في المثلث $MNP$ القائم في $M$، لدينا $(MI) \perp (MP)$ و $\Delta \perp (MN)$ إذن $\Delta // (MP)$.
بما أن $\Delta$ يمر من منتصف $[MN]$ ويوازي الضلع $(MP)$، فإنه يقطع الضلع الثالث $[NP]$ في منتصفه.
إذن $K$ هي منتصف الوتر $[NP]$.
(ملاحظة: النقطة $K$ هي أيضاً مركز الدائرة المحيطة بالمثلث القائم $MNP$).
3) لتكن $H$ المسقط العمودي لـ $M$ على $[NP]$. $(MH)$ يقطع $\Delta$ في $A$.
أ. ماذا تمثل النقطة $K$ بالنسبة للمثلث $AMN$؟ علل جوابك.
ب. استنتج أن $(MK)$ و $(AN)$ متعامدان.
أ. في المثلث $AMN$:
لدينا $\Delta$ هو الموسط العمودي لـ $[MN]$، وبما أن $A \in \Delta$ فإن $AM = AN$.
أيضاً $\Delta$ يمر من $I$ منتصف $[MN]$، فالخط $(AI)$ هو موسط صادر من $A$.
بما أن $K$ هي منتصف $[NP]$ (من السؤال السابق)، وبما أن $H$ مسقط عمودي فإن $MK = KN = KP$ (خاصية الموسط المتعلق بالوتر).
في المثلث $AMN$، النقطة $K$ تمثل مركز ثقل المثلث أو نقطة تقاطع الارتفاعات حسب موقع $A$. بتحليل أدق: بما أن $\Delta \perp (MN)$ و $(MH) \perp (NP)$، فإن $K$ هي نقطة تقاطع الموسطات.
ب. بما أن $K$ هي نقطة تقاطع الموسطات (أو الارتفاعات حسب الرسم)، فإن الخط المار بها $(MK)$ يكون عمودياً على الضلع المقابل $(AN)$.
4) لتكن $B$ مناظرة $N$ بالنسبة إلى $(MP)$.
أ. ابنِ $[Bx)$ منصف الزاوية $\widehat{PBM}$. يقطع $(PM)$ في $O$.
ب. بين أن $[NO)$ هو منصف الزاوية $\widehat{PNM}$.
أ. ننشئ النقطة $B$ بحيث يكون $(MP)$ هو الموسط العمودي لـ $[NB]$.
نرسم المنصف $[Bx)$ باستعمال البركار.
ب. بما أن $B$ هي مناظرة $N$ بالنسبة لـ $(MP)$، فإن المثلثين $MPN$ و $MPB$ متناظران.
التناظر المحوري يحفظ قياس الزوايا، بالتالي النقطة $O$ التي تنتمي لـ $(PM)$ (محور التناظر) تجعل الزوايا متساوية.
بما أن $[BO)$ منصف، فإن بالتماثل يكون $[NO)$ هو منصف الزاوية $\widehat{PNM}$.