ابن مثلثاً $IAB$ قائماً في $I$ حيث $IA = 4$ cm و $AB = 6$ cm.
1) لتكن $J$ منتصف $[AB]$. احسب $IJ$ معللاً جوابك.
بما أن المثلث $IAB$ قائم في $I$ و $J$ هي منتصف الوتر $[AB]$،
فإن $[IJ]$ هو الموسط المتعلق بالوتر.
حسب القاعدة: الموسط المتعلق بالوتر يساوي نصف طول هذا الوتر.
إذن: $IJ = AB / 2$
$IJ = 6 / 2$
$IJ = 3$ cm.
2)
أ- عين النقطة $C$ بحيث $I$ منتصف $[BC]$.
ب- ما هو نوع المثلث $ABC$؟ علل جوابك.
ج- المستقيمان $(AI)$ و $(CJ)$ يتقاطعان في النقطة $H$. ماذا تمثل $H$ بالنسبة للمثلث $ABC$؟ علل جوابك.
د- $(BH)$ و $(AC)$ يتقاطعان في النقطة $K$. أثبت أن $K$ منتصف $[AC]$.
ب- في المثلث $ABC$:
بما أن $(AI) \perp (BC)$ (لأن $IAB$ قائم في $I$)
وبما أن $I$ هي منتصف $[BC]$،
فإن المستقيم $(AI)$ هو الموسط العمودي للضلع $[BC]$ وهو أيضاً الارتفاع.
بما أن الموسط العمودي للضلع $[BC]$ يمر من الرأس $A$، فإن المثلث $ABC$ متقايس الضلعين قمته الرئيسية $A$.
ج- في المثلث $ABC$:
$(AI)$ هو الموسط الصادر من $A$ (لأن $I$ منتصف $[BC]$).
$(CJ)$ هو الموسط الصادر من $C$ (لأن $J$ منتصف $[AB]$).
بما أن $H$ هي نقطة تقاطع موسطين، فإن $H$ تمثل مركز ثقل المثلث $ABC$.
د- بما أن $H$ هي مركز ثقل المثلث $ABC$،
فإن المستقيم المار من الرأس $B$ والنقطة $H$ هو بالضرورة الموسط الثالث.
بما أن $(BH)$ يقطع $[AC]$ في $K$، فإن $K$ هي منتصف الضلع $[AC]$.
3)
أ- ابن النقطة $D$ بحيث $(BC)$ الموسط العمودي لـ $[AD]$.
ب- ابن $[Dx)$ منصف الزاوية $CDA$.
ج- $(Dx)$ و $(BC)$ يتقاطعان في النقطة $O$. ماذا تمثل $O$ بالنسبة للمثلث $ACD$؟ علل جوابك.
د- ابن الدائرة المحاطة بالمثلث $ACD$.
ج- في المثلث $ACD$:
بما أن $(BC)$ هو الموسط العمودي لـ $[AD]$، فإن $I$ هو منتصف $[AD]$ و $(BC) \perp (AD)$.
أي أن $(BC)$ هو منصف الزاوية $C\widehat{A}D$ في المثلث المتقايس الضلعين $ACD$.
بما أن $O$ هي نقطة تقاطع منصف الزاوية $D$ (المستقيم $Dx$) ومنصف الزاوية $A$ (المستقيم $BC$)،
فإن $O$ تمثل مركز الدائرة المحاطة بالمثلث $ACD$.
د- لرسم الدائرة، نفتح البركار من المركز $O$ إلى المسقط العمودي لـ $O$ على أحد أضلاع المثلث $ACD$.