2) ابن $[Ax)$ منصف الزاوية $B\widehat{A}C$. يقطع $(BC)$ في النقطة $I$.
أ- ماهو نوع المثلث $IAC$؟ علل جوابك.
ب- احسب $A\widehat{I}B$.
أ- في المثلث $IAC$:
لدينا $[Ax)$ منصف الزاوية $B\widehat{A}C$ يعني $I\widehat{A}C = B\widehat{A}C / 2$
$I\widehat{A}C = 80^\circ / 2 = 40^\circ$
بما أن $I\widehat{A}C = 40^\circ$ و $I\widehat{C}A = 40^\circ$
فإن المثلث $IAC$ مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية $I$.
ب- حساب $A\widehat{I}B$:
في المثلث $AIC$: مجموع الزوايا $180^\circ$
$A\widehat{I}C = 180^\circ - (40^\circ + 40^\circ) = 100^\circ$
بما أن النقاط $B$ و $I$ و $C$ على استقامة واحدة، فإن $A\widehat{I}B$ و $A\widehat{I}C$ زاويتان متكاملتان.
$A\widehat{I}B = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$
3) ابن $[By)$ منصف الزاوية $A\widehat{B}C$. $[Ax)$ و $[By)$ يتقاطعان في النقطة $J$.
أ- ماذا تمثل النقطة $J$ بالنسبة للمثلث $ABC$؟
ب- أثبت أن $[CJ]$ هو منصف الزاوية $A\widehat{C}B$.
أ- النقطة $J$ هي نقطة تقاطع منصفين في المثلث $ABC$.
إذن $J$ هي مركز الدائرة المحاطة بالمثلث $ABC$.
ب- بما أن منصفات زوايا المثلث تتقاطع في نقطة واحدة (التي هي $J$)،
وبما أن $J$ تنتمي إلى المنصفين الصادرين من $A$ و $B$،
فإن المستقيم المار من الرأس الثالث $C$ والنقطة $J$ هو بالضرورة المنصف الثالث.
إذن $[CJ]$ هو منصف الزاوية $A\widehat{C}B$.
4) ابن $[It]$ منصف الزاوية $A\widehat{I}C$. $[It]$ يقطع $(AC)$ في $K$.
أ- بين أن $K$ منتصف $[AC]$.
ب- ابن $H$ المسقط العمودي لـ $A$ على $(BC)$. $(IK)$ و $(AH)$ يتقاطعان في النقطة $O$. ماذا تمثل $O$ بالنسبة للمثلث $IAC$؟ علل جوابك.
ج- بين أن $(CO)$ و $(AI)$ متعامدان.
أ- في المثلث $IAC$ المتقايس الضلعين في $I$:
بما أن $[IK)$ هو منصف زاوية القمة الرئيسية $I$،
فإن $[IK)$ هو أيضاً الموسط العمودي والارتفاع والموسط الصادر من $I$.
بما أنه موسط، فإن $K$ هي منتصف الضلع المقابل $[AC]$.
ب- في المثلث $IAC$:
$(IK)$ هو الارتفاع الصادر من $I$ (لأن المثلث متقايس الضلعين ومنصف القمة هو ارتفاع).
$(AH)$ هو الارتفاع الصادر من $A$ (لأنه المسقط العمودي لـ $A$ على حامل الضلع المقابل).
بما أن $O$ هي نقطة تقاطع ارتفاعين في المثلث $IAC$،
فإن $O$ تمثل مركز تعامد المثلث $IAC$.
ج- بما أن $O$ هي مركز تعامد المثلث $IAC$،
فإن المستقيم المار من الرأس الثالث $C$ والنقطة $O$ هو الارتفاع الثالث.
وبالتالي فإن $(CO) \perp (AI)$.