سلسلة تمارين الهندسة الصريحة (84 - 91)

إصلاح منهجي يعتمد خاصيات الموسطات والارتفاعات والتناظر

تمرين رقم 18 ***ص 84
ارسم مثلثاً $ABC$ قائم الزاوية في $A$ حيث $AC < AB$.
1) أ) ارسم الارتفاع $[AH]$ والموسط $[AI]$ الصادرين من $A$.
ب) بين أن $(AI)$ عمودي على $(BC)$ في حالة خاصة.
2) ماذا تمثل النقطة $I$ بالنسبة للمثلث $ABC$؟ علل جوابك.
1) ب) يكون $(AI) \perp (BC)$ إذا كان المثلث $ABC$ متقايس الضلعين في $A$. في هذه الحالة، الموسط الصادر من القمة الرئيسية هو أيضاً ارتفاع. 2) بما أن المثلث $ABC$ قائم في $A$ و $[AI]$ هو الموسط المتعلق بالوتر $[BC]$، فإن $I$ هي منتصف الوتر. حسب خاصية الموسط في المثلث القائم: $AI = BC/2 = BI = CI$.
تمرين رقم 41 ****ص 90
ارسم مثلثاً $ABC$ قائم الزاوية في $A$ حيث $AB = 4$ و $AC = 3$.
1) أ) احسب قيس مساحة المثلث $ABC$.
ب) أثبت أن للمثلثين $AIC$ و $AIB$ نفس قيس المساحة حيث $I$ منتصف $[BC]$.
2) أ) ليكن $[IE]$ الارتفاع الصادر من $I$ للمثلث $AIB$. احسب $IE$.
ب) استنتج أن $AC = 2 \times IE$.
1) أ) مساحة المثلث القائم $ABC$ هي: $\mathcal{A} = (AB \times AC) / 2 = (4 \times 3) / 2 = 6$ وحدة مساحة. ب) بما أن $I$ منتصف $[BC]$، فإن الموسط $[AI]$ يقسم المثلث $ABC$ إلى مثلثين لهما نفس المساحة لأن لهما نفس القاعدة ($BI=IC$) ونفس الارتفاع الصادر من $A$. 2) أ) بما أن مساحة $AIB$ هي نصف مساحة $ABC$، أي $3$. المساحة أيضاً تساوي $(AB \times IE) / 2$. $3 = (4 \times IE) / 2 \Rightarrow 3 = 2 \times IE \Rightarrow IE = 1.5$. ب) بما أن $AC = 3$ و $IE = 1.5$، فإن $AC = 2 \times 1.5 = 2 \times IE$.
تمرين رقم 43 *****ص 91
1) ارسم مثلثاً $ABC$ قائم الزاوية في $A$ حيث $AB = 3$ و $BC = 5$. عين $M$ منتصف $[BC]$.
2) ابن النقطة $N$ مناظرة $M$ بالنسبة لـ $(AB)$. ابن النقطة $D$ حيث $A$ منتصف $[CD]$.
3) أثبت أن النقطتين $D$ و $C$ متناظرتان بالنسبة لـ $(AB)$.
4) ماذا تمثل النقطة $G$ بالنسبة للمثلث $BCD$؟ علل جوابك.
3) بما أن المثلث $ABC$ قائم في $A$، فإن $(AB) \perp (AC)$. بما أن $A$ منتصف $[CD]$، فإن المستقيم $(AB)$ يعامد $[CD]$ في منتصفها، فهو الموسط العمودي لـ $[CD]$. إذن $D$ و $C$ متناظرتان بالنسبة لـ $(AB)$. 4) في المثلث $BCD$، المستقيم $(BA)$ يمر بالرأس $B$ ومنتصف الضلع المقابل $A$ (لأن $A$ منتصف $[CD]$)، فهو يحمل الموسط الصادر من $B$. بما أن $M$ منتصف $[BC]$، فإن $(DM)$ هو الموسط الصادر من $D$. النقطة $G$ هي نقطة تقاطع الموسطين $(BA)$ و $(DM)$، إذن $G$ هي مركز ثقل المثلث $BCD$.