إصلاح مفصل لتمارين الهندسة

(1 ارسم مثلثا $ABC$ حيث $BC = 5$ و $\widehat{ABC} = 55^{\circ}$ و $\widehat{ACB} = 45^{\circ}$.

(2 ارسم $[AH]$ الارتفاع الصادر من $A$.

(3 احسب $\widehat{CAH}$ و $\widehat{BAH}$.

(4 ارسم $M$ المركز القائم للمثلث $ABC$.

حساب $\widehat{CAH}$: في المثلث $AHC$ القائم في $H$ (لأن $[AH]$ ارتفاع)، مجموع الزاويتين الحادتين هو $90^{\circ}$. $\widehat{CAH} = 90^{\circ} - \widehat{ACH}$ $\widehat{CAH} = 90^{\circ} - 45^{\circ}$ $\widehat{CAH} = 45^{\circ}$ حساب $\widehat{BAH}$: في المثلث $AHB$ القائم في $H$. $\widehat{BAH} = 90^{\circ} - \widehat{ABC}$ $\widehat{BAH} = 90^{\circ} - 55^{\circ}$ $\widehat{BAH} = 35^{\circ}$ تحديد $M$: نرسم ارتفاعاً ثانياً (مثلاً الصادر من $B$)، نقطة تقاطعه مع $[AH]$ هي المركز القائم $M$.

نعتبر الرسم المقابل:

1) أ) ماذا تمثل النقطة $O$ بالنسبة إلى المثلث $ABC$؟ علل جوابك.

ب) أثبت أن $(CO) \perp (AB)$.

2) أ) ابن الموسط العمودي $\Delta$ لـ $[BC]$. $\Delta$ يقطع $[AC]$ في $I$ و $(AB)$ في $E$.

ب) ما هو المركز القائم لكل من المثلثات $ABC$ و $EBC$ و $IBC$؟

ج) أثبت أن $(EC) \perp (BI)$.

1) أ) بما أن النقطة $O$ هي نقطة تقاطع الارتفاعين الصادرين من $A$ و $B$، فإن $O$ هي المركز القائم للمثلث $ABC$. ب) بما أن $O$ هو المركز القائم، فإن المستقيم $(CO)$ المار من الرأس $C$ ومن النقطة $O$ يحمل الارتفاع الثالث. إذن $(CO)$ عمودي على الضلع المقابل $(AB)$. 2) ب) المركز القائم لـ $ABC$ هو $O$. المركز القائم لـ $IBC$: نلاحظ أن $(IE) \perp (BC)$ (لأن $\Delta$ موسط عمودي) و $(AB) \perp (IC)$ (ارتفاع). بما أن $E$ هي نقطة تقاطع هذين الارتفاعين في المثلث $IBC$، فإن $E$ هي المركز القائم لـ $IBC$. ج) بما أن $E$ المركز القائم لـ $IBC$، فإن المستقيم $(EC)$ هو الارتفاع الثالث. إذن $(EC) \perp (BI)$.

ابن مثلثا $ABC$ حيث: $AB = 4$ و $AC = 6$ و $BC = 3.5$.

1) أ) ابن الموسطين $[AI]$ و $[BJ]$ الصادرين على التوالي من $A$ و $B$ للمثلث $ABC$.

ب) احسب $BI$.

2) المستقيمان $(AI)$ و $(BJ)$ يتقاطعان في $G$. المستقيم $(GC)$ يقطع المستقيم $(AB)$ في $K$.

أ) ماذا تمثل القطعة $[CK]$ بالنسبة للمثلث $ABC$؟ علل جوابك.

ب) احسب $AK$.

1) ب) بما أن $[AI]$ موسط صادر من $A$ فإن $I$ هي منتصف الضلع $[BC]$. $BI = BC / 2$ $BI = 3.5 / 2 = 1.75$ 2) أ) $G$ هي نقطة تقاطع موسطين، إذن $G$ هي مركز ثقل المثلث $ABC$. بما أن المستقيم $(CK)$ يمر من الرأس $C$ ومن مركز الثقل $G$، فهو يحمل الموسط الثالث. إذن القطعة $[CK]$ هي الموسط الصادر من $C$. ب) بما أن $[CK]$ موسط، فإن $K$ هي منتصف $[AB]$. $AK = AB / 2$ $AK = 4 / 2 = 2$

1) ارسم مثلثاً $EFG$ قائم الزاوية في $E$ حيث $EG = 2$ و $FG = 5$.

2) ارسم النقطة $H$ بحيث تكون $E$ منتصف $[HG]$.

أ) ما هي مناظرة كل من $G$ و $F$ بالنسبة لـ $(EF)$؟ علل جوابك.

ب) استنتج أن $HF = 5$.

3) ارسم $[HK]$ الارتفاع الصادر من $H$ للمثلث $HFG$.

أ) بين أن $EK = 2$.

4) أ) عين $M$ منتصف $[HF]$. بين أن $MK = 2.5$.

ب) استنتج محيط المثلث $MEK$.

2) أ) بما أن $E$ منتصف $[HG]$ و المستقيم $(EF) \perp (HG)$ (لأن المثلث قائم في $E$)، فإن $(EF)$ هو الموسط العمودي لـ $[HG]$. مناظرة $G$ بالنسبة لـ $(EF)$ هي $H$. مناظرة $F$ بالنسبة لـ $(EF)$ هي $F$ نفسها لأن $F \in (EF)$. ب) بما أن التناظر المحوري يحافظ على الأبعاد، فإن $HF = GF$. بما أن $GF = 5$ فإن $HF = 5$. 3) أ) نلاحظ أن المثلثين $EFG$ و $EHK$ متطابقان أو عبر خاصيات الارتفاع، نجد $EK = EG = 2$. 4) أ) في المثلث $HKF$ القائم في $K$، القطعة $[KM]$ هي الموسط المتعلق بالوتر $[HF]$. حسب خاصية الموسط في المثلث القائم: $MK = HF / 2$. $MK = 5 / 2 = 2.5$

الإصلاح التفصيلي لتمارين المثلث