لاحظ الشكل التالي (دائرة مركزها $O$) ثم احسب $\widehat{OBC}$ و $\widehat{DOC}$.
(الشكل يظهر مثلثات متقايسة الضلعين داخل الدائرة)
في المثلث $OAB$ المتقايس الضلعين في $O$ (أنصاف أقطار):
$\widehat{OAB} = \widehat{OBA} = 30^\circ$ (حسب التشفير في الصورة).
في المثلث $OBC$ المتقايس الضلعين في $O$:
لدينا الزاوية $\widehat{BOC}$ هي زاوية قمة، وبحساب الزوايا المجاورة:
$\widehat{OBC} = 60^\circ$ (بناءً على معطيات الرسم المتممة).
الزاوية $\widehat{DOC}$ هي زاوية مركزية مكملة لـ $\widehat{AOD}$.
$\widehat{DOC} = 180^\circ - \widehat{AOD} = 120^\circ$.
تمرين رقم 521 (تكملة)
3) منصفا الزاويتين $[BA, BC]$ و $[CA, CB]$ يتقاطعان في $I$.
أ) بين أن $I \in [Ax)$.
ب) احسب $\widehat{BIC}$.
أ) بما أن منصفات زوايا المثلث تتقاطع في نقطة واحدة (مركز الدائرة المحاطة بالمثلث).
وبما أن $I$ هي نقطة تقاطع منصفي الزاويتين $B$ و $C$.
فإن المنصف الصادر من $A$ (وهو $[Ax)$ حسب السؤال السابق) يجب أن يمر حتماً من النقطة $I$.
إذن $I \in [Ax)$.
ب) في المثلث $IBC$:
$\widehat{IBC} = \widehat{ABC} \div 2 = 68^\circ \div 2 = 34^\circ$.
$\widehat{ICB} = \widehat{ACB} \div 2 = 42^\circ \div 2 = 21^\circ$.
$\widehat{BIC} = 180^\circ - (34^\circ + 21^\circ) = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ$.
تمرين رقم 522
1) ارسم مثلثاً $ABC$ بحيث $\widehat{ABC} = 45^\circ$ و $\widehat{BCA} = 120^\circ$. احسب $\widehat{BAC}$.
2) ارسم الارتفاع $[AH]$ المنحدر من $A$ والعمودي $(Ax)$ على $(AB)$ في $A$.
3) منصف الزاوية $[BA, BC]$ يقطع $[AH]$ في $I$ و $(Ax)$ في $D$.
أ) احسب $\widehat{IAB}$ و $\widehat{AID}$ و $\widehat{ADI}$.
ب) ما هي طبيعة المثلث $IAD$؟ علل إجابتك.
1) حساب $\widehat{BAC}$:
$\widehat{BAC} = 180^\circ - (120^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 165^\circ = 15^\circ$.
3) أ) حساب الزوايا:
بما أن $[BD)$ منصف لـ $\widehat{ABC}$ فإن $\widehat{ABD} = 45^\circ \div 2 = 22.5^\circ$.
في المثلث $ABD$ القائم في $A$: $\widehat{ADI} = 90^\circ - 22.5^\circ = 67.5^\circ$.
في المثلث القائم $ABH$: $\widehat{BAH} = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. إذن $\widehat{IAB} = 45^\circ$.
الزاوية $\widehat{AID}$ هي زاوية خارجية للمثلث $ABI$: $\widehat{AID} = \widehat{IAB} + \widehat{IBA} = 45^\circ + 22.5^\circ = 67.5^\circ$.
ب) طبيعة المثلث $IAD$:
بما أن $\widehat{AID} = \widehat{ADI} = 67.5^\circ$.
فإن المثلث $IAD$ متقايس الضلعين قمته الرئيسية $A$.
تمرين رقم 523
$ABC$ مثلث متقايس الأضلاع. العمودي على $(AC)$ في $A$ والعمودي على $(AB)$ في $B$ يتقاطعان في $D$.
ليكن $E$ من نصف المستقيم $[AD)$ بحيث $E \notin [AD]$ و $ED = BD$.
1) احسب $\widehat{BAD}$ و $\widehat{BDE}$.
2) بين أن المثلث $ABE$ متقايس الضلعين.
3) بين أن النقطة $B$ هي منتصف القطعة $[EC]$.
1) بما أن $ABC$ متقايس الأضلاع فإن زواياه تساوي $60^\circ$.
العمودي على $(AC)$ في $A$ يعني أن الزاوية القائمة هي $90^\circ$.
إذن $\widehat{BAD} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
في المثلث $ABD$ القائم في $B$ (لأن $BD \perp AB$):
$\widehat{ADB} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.
الزاوية $\widehat{BDE} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
2) في المثلث $BDE$ المتقايس الضلعين ($ED=BD$):
$\widehat{BED} = \widehat{EBD} = (180^\circ - 120^\circ) \div 2 = 30^\circ$.
بما أن $\widehat{BAD} = \widehat{BED} = 30^\circ$ فإن المثلث $ABE$ متقايس الضلعين في $B$.
3) من السؤال السابق $BA = BE$. وبما أن $BA = BC$ (متقايس الأضلاع).
فإن $BE = BC$.
بما أن $E, B, C$ على استقامة واحدة (يمكن إثباتها بحساب الزوايا حول $B$ لتكون $180^\circ$).
إذن $B$ هي منتصف $[EC]$.