1) ابنِ مثلثاً \(ABC\) حيث \(AB = 5cm\)، \(AC = 4cm\) و \(\widehat{BAC} = 60^\circ\).
2) ابنِ الموسط العمودي للضلع \([AB]\) الذي يقطع \((AB)\) في \(I\) و \((BC)\) في \(M\).
3) ما هو نوع المثلث \(AMI\)؟ علل جوابك.
4) إذا كانت \(\widehat{ABC} = 50^\circ\)، احسب قيس الزاوية \(\widehat{ACB}\).
💡 مساعدة
• استخدم المسطرة والمنقلة للبناء
• الموسط العمودي لقطعة مستقيم هو المستقيم العمودي عليها في منتصفها
• تذكر: مجموع زوايا المثلث = \(180^\circ\)
• في مثلث قائم الزاوية، إحدى الزوايا تساوي \(90^\circ\)
📋 المنهجية
الخطوة 1: ارسم القطعة \([AB]\) بطول 5cm الخطوة 2: ارسم الزاوية \(\widehat{BAC} = 60^\circ\) بالمنقلة الخطوة 3: حدد النقطة \(C\) على شعاع الزاوية بحيث \(AC = 4cm\) الخطوة 4: للموسط العمودي، حدد منتصف \([AB]\) ثم ارسم العمود الخطوة 5: للزوايا، طبق: الزاوية الثالثة = \(180^\circ - \) (مجموع الزاويتين)
✅ الحل الكامل
1) البناء:
• نرسم القطعة \([AB]\) بطول 5cm
• نرسم الزاوية \(\widehat{BAC} = 60^\circ\) باستخدام المنقلة
• نحدد النقطة \(C\) بحيث \(AC = 4cm\)
2) الموسط العمودي:
• الموسط العمودي \(\Delta\) للقطعة \([AB]\) هو المستقيم العمودي على \([AB]\) في منتصفها \(I\)
• هذا المستقيم يقطع \((AB)\) في \(I\) و \((BC)\) في \(M\)
3) نوع المثلث \(AMI\):
• بما أن \(I\) هي منتصف \([AB]\) و \(\Delta \perp (AB)\)
• فإن الزاوية \(\widehat{AIM} = 90^\circ\)
• إذن المثلث \(AMI\) قائم الزاوية في \(I\)
1) ابنِ مثلثاً \(EFG\) قائماً في \(E\) حيث \(EF = 3cm\) و \(EG = 4cm\).
2) احسب بعد النقطة \(G\) عن المستقيم \((EF)\).
3) ابنِ النقطة \(K\) مناظرة \(E\) بالنسبة إلى المستقيم \((FG)\).
4) ماذا يمثل المستقيم \((FG)\) بالنسبة للقطعة \([EK]\)؟
💡 مساعدة
• المثلث قائم في \(E\) يعني أن الزاوية \(\widehat{FEG} = 90^\circ\)
• البعد بين نقطة ومستقيم هو المسافة العمودية
• المناظرة بالنسبة إلى مستقيم تعني التناظر المحوري
• تذكر خاصية الموسط العمودي
📋 المنهجية
للبناء: ارسم زاوية قائمة ثم حدد الأطوال المعطاة للبعد: ارسم العمود من النقطة على المستقيم للمناظرة: ارسم العمود على المحور ثم حدد النقطة المقابلة بنفس المسافة لتعريف المستقيم: استخدم خصائص التناظر المحوري
✅ الحل الكامل
1) البناء:
• المثلث قائم في \(E\) يعني أن \((EF) \perp (EG)\)
• نرسم زاوية قائمة ثم نحدد \(EF = 3cm\) و \(EG = 4cm\)
2) بعد النقطة \(G\) عن المستقيم \((EF)\):
• بما أن المثلث قائم في \(E\)، فإن \((EG) \perp (EF)\)
• المسقط العمودي لـ \(G\) على \((EF)\) هو النقطة \(E\)
• إذن البعد = \(GE = 4cm\)
3) بناء النقطة \(K\):
• \(K\) مناظرة \(E\) بالنسبة إلى \((FG)\)
• نرسم العمود من \(E\) على \((FG)\) ونحدد \(K\) بحيث المستقيم \((FG)\) ينصف \([EK]\) عمودياً
4) ماذا يمثل \((FG)\) بالنسبة لـ \([EK]\):
• بما أن \(K\) مناظرة \(E\) بالنسبة لـ \((FG)\)
• فإن كل نقطة من \((FG)\) تبعد نفس المسافة عن \(E\) و \(K\)
• إذن المستقيم \((FG)\) هو الموسط العمودي للقطعة \([EK]\)
التمرين 3: الموسطات العمودية والدائرة المحيطة6 نقاط
📐 المعطيات والمطلوب:
1) ارسم دائرة \(\mathcal{C}\) مركزها \(O\) ونصف قطرها \(3cm\).
2) عيّن ثلاث نقاط \(A\)، \(B\) و \(C\) من الدائرة بحيث لا تكون على استقامة واحدة.
3) ابنِ الموسط العمودي للضلع \([BC]\) والموسط العمودي للضلع \([AB]\).
4) بيّن أن هذين الموسطين يتقاطعان في النقطة \(O\).
💡 مساعدة
• كل نقاط الدائرة تبعد نفس المسافة عن المركز
• خاصية الموسط العمودي: كل نقطة منه تبعد نفس البعد عن طرفي القطعة
• استخدم هذه الخاصية مع \(OA = OB = OC\) (نصف القطر)
• الموسطات العمودية للمثلث تتقاطع في نقطة واحدة
📋 المنهجية
الخطوة 1: ارسم الدائرة بالبركار الخطوة 2: حدد ثلاث نقاط على الدائرة الخطوة 3: ابنِ الموسطات العمودية الخطوة 4: استخدم خاصية تساوي الأبعاد عن المركز الخطوة 5: استنتج أن \(O\) ينتمي لكلا الموسطين
✅ الحل الكامل
خاصية هامة:
كل نقطة من الموسط العمودي لقطعة مستقيم تبعد نفس البعد عن طرفي القطعة.
البرهان:
• بما أن \(A\) و \(B\) نقطتان من الدائرة، فإن: \(OA = OB\) (نصف قطر الدائرة)
• حسب الخاصية أعلاه، النقطة \(O\) تنتمي للموسط العمودي لـ \([AB]\)
• بما أن \(B\) و \(C\) نقطتان من الدائرة، فإن: \(OB = OC\) (نصف قطر الدائرة)
• حسب الخاصية أعلاه، النقطة \(O\) تنتمي للموسط العمودي لـ \([BC]\)
الاستنتاج:
• النقطة \(O\) تنتمي لكلا الموسطين العموديين
• إذن \(O\) هي نقطة تقاطع الموسطات العمودية للمثلث \(ABC\)
• \(O\) هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث \(ABC\)
التمرين 4: المثلث المتقايس الضلعين5 نقاط
📐 المعطيات والمطلوب:
ارسم مثلثاً \(ABC\) متقايس الضلعين قمته الرئيسية \(A\) حيث \(AB = 6cm\) و \(\widehat{ABC} = 70^\circ\).
1) احسب \(\widehat{ACB}\).
2) استنتج قيس الزاوية \(\widehat{BAC}\).
3) ابنِ منصف الزاوية \(\widehat{BAC}\) وبيّن أنه موسط عمودي لـ \([BC]\).
💡 مساعدة
• المثلث متقايس الضلعين يعني \(AB = AC\)
• في المثلث متقايس الضلعين، زاويتا القاعدة متساويتان
• القاعدة هي \([BC]\) والزاويتان هما \(\widehat{ABC}\) و \(\widehat{ACB}\)
• منصف زاوية القمة الرئيسية له خاصية هامة في المثلث متقايس الضلعين
📋 المنهجية
السؤال 1: استخدم خاصية زوايا القاعدة السؤال 2: طبق: مجموع الزوايا = \(180^\circ\) السؤال 3: استخدم خاصية منصف زاوية القمة في المثلث متقايس الضلعين
✅ الحل الكامل
1) حساب \(\widehat{ACB}\):
• المثلث \(ABC\) متقايس الضلعين قمته الرئيسية \(A\)
• إذن \(AB = AC\) و القاعدة هي \([BC]\)
• في المثلث متقايس الضلعين، زاويتا القاعدة متساويتان
• \(\widehat{ACB} = \widehat{ABC} = 70^\circ\)
3) منصف الزاوية \(\widehat{BAC}\):
• في المثلث متقايس الضلعين، منصف زاوية القمة الرئيسية له خاصيات مهمة
• هذا المنصف:
- يمر بمنتصف القاعدة
- عمودي على القاعدة
• إذن منصف الزاوية \(\widehat{BAC}\) هو الموسط العمودي للقاعدة \([BC]\)
التمرين 5: متباينة المثلث6 نقاط
📐 المعطيات والمطلوب:
هل يمكن بناء مثلث في الحالات التالية؟ علل جوابك:
أ) \(AB=3\)، \(BC=4\)، \(AC=8\).
ب) \(EF=5\)، \(FG=6\)، \(EG=10\).
ج) \(MN=2\)، \(NP=3\)، \(MP=5\).
💡 مساعدة
• متباينة المثلث: في كل مثلث، طول أي ضلع أصغر من مجموع طولي الضلعين الآخرين
• يكفي فحص الضلع الأكبر فقط
• إذا كان: (الضلع الأكبر) < (مجموع الضلعين الآخرين) → يمكن بناء المثلث
• إذا كان: (الضلع الأكبر) = (مجموع الضلعين الآخرين) → النقاط على استقامة واحدة
• إذا كان: (الضلع الأكبر) > (مجموع الضلعين الآخرين) → لا يمكن بناء المثلث
📋 المنهجية
لكل حالة:
1. حدد الضلع الأكبر
2. احسب مجموع الضلعين الآخرين
3. قارن بين الضلع الأكبر ومجموع الضلعين
4. استنتج إمكانية البناء
✅ الحل الكامل
قاعدة متباينة المثلث:
لبناء مثلث، يجب أن يكون طول أكبر ضلع أصغر قطعاً من مجموع طولي الضلعين الآخرين.
أ) الأطوال: 3، 4، 8
• الضلع الأكبر = 8
• مجموع الضلعين الآخرين = \(3 + 4 = 7\)
• نلاحظ: \(8 > 7\)
• الجواب: لا يمكن بناء المثلث ❌
• التعليل: الضلع الأكبر أكبر من مجموع الضلعين الآخرين
ب) الأطوال: 5، 6، 10
• الضلع الأكبر = 10
• مجموع الضلعين الآخرين = \(5 + 6 = 11\)
• نلاحظ: \(10 < 11\)
• الجواب: يمكن بناء المثلث ✅
• التعليل: متباينة المثلث محققة
ج) الأطوال: 2، 3، 5
• الضلع الأكبر = 5
• مجموع الضلعين الآخرين = \(2 + 3 = 5\)
• نلاحظ: \(5 = 5\)
• الجواب: لا يمكن بناء مثلث حقيقي ⚠️
• التعليل: النقاط \(M\)، \(N\)، \(P\) على استقامة واحدة (مثلث منبسط)
التمرين 6: المثلث المتقايس الأضلاع5 نقاط
📐 المعطيات والمطلوب:
1) ابنِ مثلثاً \(ABC\) متقايس الأضلاع طول ضلعه \(4cm\).
2) ما هو قيس كل زاوية من زواياه؟
3) ابنِ الموسطات العمودية لكل الأضلاع. ماذا تلاحظ؟
💡 مساعدة
• المثلث متقايس الأضلاع له ثلاثة أضلاع متساوية
• استخدم البركار للبناء
• في المثلث متقايس الأضلاع، كل الزوايا متساوية
• مجموع زوايا المثلث = \(180^\circ\)
• الموسطات العمودية في هذا المثلث لها خاصية فريدة
📋 المنهجية
البناء: ارسم ضلع ثم استخدم البركار لتحديد الرؤوس الأخرى الزوايا: قسم 180° على عدد الزوايا (3) الموسطات: ابنِ موسط عمودي لكل ضلع ولاحظ نقطة التقاطع
الملاحظة:
• الموسطات العمودية الثلاثة تتقاطع في نقطة واحدة (مركز المثلث)
• هذه النقطة هي أيضاً:
- نقطة تقاطع المنصفات
- نقطة تقاطع الموسطات
- نقطة تقاطع الارتفاعات
- مركز الدائرة المحيطة بالمثلث
- مركز الدائرة المحاطة بالمثلث