دليل: التناظر المحوري والمثلث متقايس الأضلاع

قواعد أساسية:

المثلث متقايس الأضلاع:

أضلاعه الثلاثة متساوية وكل زواياه $60^\circ$.

التناظر المحوري:

يحفظ الأطوال وقيس الزوايا. صورة مستقيم هي مستقيم؛ ونقطة على المحور تكون مناظرة نفسها.

الموسط في المتقايس الأضلاع:

الموسط الصادر من رأس هو أيضًا ارتفاع وموسط عمودي للضلع المقابل.

إثبات التناظر: لإثبات أن نقطتين متناظرتان بالنسبة لمستقيم، يكفي أن يكون هذا المستقيم هو الموسط العمودي للقطعة الواصلة بينهما.

أخطاء شائعة:

اتجاه نصف المستقيم

M على المستقيم (AC) لكن خارج القطعة [AC] من جهة A، لذا نصف المستقيم [CA) و [CM) واحد، والزاوية $\widehat{BAM}$ متتامة مع $\widehat{BAC}$.

نصيحة:

اربط دائمًا صورة المستقيم بصورتَي نقطتين منه: صورة (AC) هي (EF) لأن $A\mapsto E$ و $C\mapsto F$.

المثلثات — التمرين رقم 7 (ضفاف البحيرة)

دفواراتي
المثلث متقايس الأضلاع والتناظر المحوري — 7 أساسي
تمرين 7
  1. ارسم مثلثًا BAC متقايس الأضلاع، و $\Delta$ المستقيم المار من B والعمودي على (BC).
    1. ابنِ E و F مناظرتَي A و C على التوالي بالنسبة لـ $\Delta$.
    2. أوجد مناظرة الزاوية $\widehat{ACB}$ بالنسبة لـ $\Delta$.
  3. المستقيم (AC) يقطع $\Delta$ في M.
    1. أثبت أن E و M و F على استقامة واحدة.
    2. استنتج طبيعة المثلث FMC.
    1. احسب $\widehat{ABM}$ و $\widehat{BAM}$.
    2. استنتج طبيعة المثلث BAM.
    1. بيّن أن A منتصف [CM].
    2. استنتج أن C و M متناظرتان بالنسبة لـ (AF).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • س2: في المثلث متقايس الأضلاع كل الزوايا $60^\circ$. التناظر يبادل $A\mapsto E$، $C\mapsto F$، و B ثابتة (لأنها على $\Delta$).
  • س3-أ: صورة المستقيم (AC) هي (EF). و M على $\Delta$ فهي مناظرة نفسها، إذًا تقع على (EF).
  • س3-ب: F و B و C على استقامة واحدة و B منتصف [CF]. M على $\Delta$ الموسط العمودي لـ [CF] $\Rightarrow MC = MF$. والزاوية عند C تساوي $60^\circ$.
  • س5: استعمل أن FMC متقايس الأضلاع (فيكون $MC = CF = 2\,BC$)، وأن A على [MC].

📝 الطريقة

1) جميع زوايا المثلث BAC تساوي $60^\circ$، و $\Delta \perp (BC)$ في B.

2-ب) صورة الزاوية $\widehat{ACB}$ هي $\widehat{EFB} = 60^\circ$ (التناظر يحفظ القيس).

3-أ) صورة (AC) هي (EF)، و $M \in \Delta \Rightarrow M \in (EF) \Rightarrow$ E و M و F مستقيمة.

3-ب) $MC = MF$ (M على الموسط العمودي $\Delta$ لـ [CF])، و $\widehat{MCF} = \widehat{ACB} = 60^\circ$ $\Rightarrow$ FMC متقايس الأضلاع، و $CF = 2\,BC$.

4) $\widehat{ABM} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ و $\widehat{BAM} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ $\Rightarrow$ BAM متقايس الضلعين.

5-أ) $MC = CF = 2\,BC = 2\,AC$ و A على [MC] $\Rightarrow MA = MC - AC = AC \Rightarrow$ A منتصف [CM].

5-ب) FMC متقايس الأضلاع و A منتصف [MC] $\Rightarrow$ (FA) موسط = موسط عمودي لـ [MC].

✅ الحل الكامل

1) المعطيات :

المثلث BAC متقايس الأضلاع، فأضلاعه متساوية ($AB = BC = CA$) وكل زواياه تساوي $60^\circ$. و $\Delta$ مستقيم مار بـ B وعمودي على (BC)، أي $\Delta \perp (BC)$ في B.

2-أ) بناء E و F :

E مناظرة A و F مناظرة C بالنسبة لـ $\Delta$. والتناظر يحفظ الأطوال، وبما أن $B \in \Delta$ فإن $BE = BA$ و $BF = BC$.

2-ب) مناظرة الزاوية $\widehat{ACB}$ :

بالتناظر بالنسبة لـ $\Delta$ : $C \mapsto F$ و $A \mapsto E$ و $B \mapsto B$ (لأن B على المحور). إذًا صورة الزاوية $\widehat{ACB}$ هي الزاوية $\widehat{EFB}$، والتناظر يحفظ القيس :

$$\widehat{EFB} = \widehat{ACB} = 60^\circ$$

3-أ) E و M و F على استقامة واحدة :

صورة المستقيم (AC) بالنسبة لـ $\Delta$ هي المستقيم (EF) (لأن $A \mapsto E$ و $C \mapsto F$). و $M = (AC) \cap \Delta$، فهي على المحور، إذًا مناظرتها هي نفسها، ومنه تقع على صورة (AC) أي على (EF) :

$\Rightarrow$ E و M و F على استقامة واحدة.

3-ب) طبيعة المثلث FMC :

F مناظرة C بالنسبة لـ $\Delta$ و $\Delta \perp (BC)$ في B، إذًا F تقع على المستقيم (BC) بحيث B منتصف [CF]، ومنه $CF = 2\,BC$. ولأن M على $\Delta$ (الموسط العمودي لـ [CF]) فإن $MC = MF$. ومن جهة أخرى، نصف المستقيم [CM) هو نفسه [CA) ونصف المستقيم [CF) هو نفسه [CB)، إذًا :

$$\widehat{MCF} = \widehat{ACB} = 60^\circ$$

المثلث FMC متقايس الضلعين ($MC = MF$) وإحدى زاويتي قاعدته $60^\circ$، فالأخرى $60^\circ$ والثالثة $60^\circ$، ومنه المثلث FMC متقايس الأضلاع، ويكون $MC = CF = 2\,BC$.

4-أ) حساب $\widehat{ABM}$ و $\widehat{BAM}$ :

النقطتان B و M على $\Delta$، إذًا $(BM) = \Delta$. وبما أن $\Delta \perp (BC)$ و $\widehat{ABC} = 60^\circ$ :

$$\widehat{ABM} = 90^\circ - \widehat{ABC} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$$

والنقطة A تقع بين M و C على المستقيم (AC)، فنصف المستقيم [AM) عكس نصف المستقيم [AC)، ومنه :

$$\widehat{BAM} = 180^\circ - \widehat{BAC} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$$

4-ب) طبيعة المثلث BAM :

في المثلث BAM : $\widehat{AMB} = 180^\circ - \widehat{ABM} - \widehat{BAM} = 180^\circ - 30^\circ - 120^\circ = 30^\circ$. بما أن $\widehat{ABM} = \widehat{AMB} = 30^\circ$، فالضلعان المقابلان لهما متساويان، ومنه المثلث BAM متقايس الضلعين قمته A ($AB = AM$).

5-أ) A منتصف [CM] :

من السؤال 3-ب : $MC = 2\,BC$. وبما أن المثلث BAC متقايس الأضلاع فإن $BC = AC$، إذًا $MC = 2\,AC$. والنقطة A تقع على [MC] (بين M و C)، ومنه :

$$MA = MC - AC = 2\,AC - AC = AC$$

إذًا $MA = AC$، ومنه A هو منتصف [CM].

5-ب) C و M متناظرتان بالنسبة لـ (AF) :

المثلث FMC متقايس الأضلاع (3-ب)، و A منتصف الضلع [MC] (5-أ). إذًا المستقيم (FA) هو الموسط الصادر من F نحو منتصف [MC]، وفي المثلث متقايس الأضلاع يكون هذا الموسط هو نفسه الموسط العمودي للضلع المقابل [MC]. ومنه (AF) هو الموسط العمودي لـ [CM] :

$\Rightarrow$ C و M متناظرتان بالنسبة للمستقيم (AF).