دليل المثلثات والخطوط الهامة

قواعد أساسية:

مجموع زوايا المثلث:

$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ$

المثلث القائم ومنتصف الوتر:

منتصف الوتر يبعد عن الرؤوس الثلاثة بنفس المسافة (نصف الوتر)، وهو مركز الدائرة المحيطة.

المثلث متقايس الأضلاع:

أضلاعه الثلاثة متساوية وكل زواياه تساوي $60^\circ$.

الخطوط الهامة في المثلث:

الارتفاع

مستقيم من رأس عمودي على الضلع المقابل. تتقاطع الارتفاعات الثلاثة في المركز القائم.

الموسط العمودي

عمودي على ضلع في منتصفه. تتقاطع المواسط العمودية في مركز الدائرة المحيطة.

شعاع الدائرة المحيطة بمثلث متقايس الأضلاع طول ضلعه $a$:

✍️ حساب الشعاع سيُدرَج لاحقًا

أخطاء شائعة:

منتصف الوتر

خطأ: اعتبار $AI = BC$.

صحيح: $AI = \dfrac{BC}{2}$ في المثلث القائم.

نصيحة:

ابحث دائمًا عن المثلث القائم والوتر، فمنتصف الوتر يكشف لك تساوي أطوال كثيرة!

المثلثات — التمرين رقم 2

دفواراتي
المثلث القائم ومنتصف الوتر — 7 أساسي
تمرين 2

ارسم مثلثًا ABC قائم الزاوية في A بحيث $AC = 3\ \text{cm}$ و $BC = 6\ \text{cm}$، ثم عيّن I منتصف [BC] و J منتصف [AB].

  1. بيّن أن $AI = 3\ \text{cm}$ ثم استنتج أن المثلث AIC متقايس الأضلاع.
  2. أوجد قيس $\widehat{ACB}$ و $\widehat{ABC}$. علل جوابك.
  3. ارسم [IH] و [CK] ارتفاعَي المثلث AIC، يتقاطعان في P.
    1. ماذا تمثل P في المثلث AIC ؟
    2. ارسم الدائرة المحيطة بالمثلث AIC.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • س1: في المثلث القائم، منتصف الوتر يبعد عن كل رأس مسافة نصف الوتر. قارن بين $AI$ و $IC$ و $AC$.
  • س2: في المثلث متقايس الأضلاع جميع الزوايا تساوي $60^\circ$. استعمل أن $\widehat{BAC} = 90^\circ$.
  • س3: المركز القائم هو تقاطع الارتفاعات. ومركز الدائرة المحيطة بمثلث متقايس الأضلاع هو تقاطع المواسط العمودية، وشعاعها ✍️ حساب الشعاع سيُدرَج لاحقًا.

📝 الطريقة

1) إثبات $AI = 3$ : المثلث قائم في A فإن [BC] هو الوتر، و I منتصفه، إذًا $AI = \dfrac{BC}{2}$. ثم قارن $AI، IC، AC$.

2) الزوايا : المثلث AIC متقايس الأضلاع فكل زواياه $60^\circ$. استنتج $\widehat{ABC}$ من $\widehat{BAC} = 90^\circ$ ثم $\widehat{ACB}$.

3-أ) النقطة P : هي تقاطع ارتفاعَي المثلث AIC فهي المركز القائم.

3-ب) الدائرة المحيطة : مركزها تقاطع المواسط العمودية، وشعاعها ✍️ حساب الشعاع سيُدرَج لاحقًا مع $a = 3$.

✅ الحل الكامل

1) إثبات $AI = 3\ \text{cm}$ وطبيعة AIC :

المثلث ABC قائم الزاوية في A، إذًا [BC] هو الوتر. وبما أن I منتصف الوتر، فإنه يبعد عن كل رأس مسافة نصف الوتر :

$$AI = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{6}{2} = 3\ \text{cm}$$

ولدينا $IC = \dfrac{BC}{2} = 3\ \text{cm}$ و $AC = 3\ \text{cm}$، إذًا :

$$AI = IC = AC = 3\ \text{cm}$$

ومنه المثلث AIC متقايس الأضلاع.

2) قيس الزوايا :

بما أن AIC متقايس الأضلاع فإن جميع زواياه تساوي $60^\circ$ :

$$\widehat{IAC} = \widehat{ACI} = \widehat{AIC} = 60^\circ$$

وبما أن $\widehat{BAC} = 90^\circ$ والزاوية $\widehat{IAC}$ جزء منها :

$$\widehat{ABC} = 90^\circ - \widehat{IAC} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$$

ثم في المثلث ABC : $\widehat{ACB} = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

3-أ) النقطة P :

[IH] و [CK] ارتفاعان في المثلث AIC، و $P = (IH) \cap (CK)$، إذًا P هو المركز القائم للمثلث AIC.

3-ب) الدائرة المحيطة بالمثلث AIC :

المثلث AIC متقايس الأضلاع، فمركز دائرته المحيطة هو نقطة تقاطع المواسط العمودية لأضلاعه (وهو نفسه مركز ثقله ومركزه القائم). شعاعها بدلالة الضلع $a = 3\ \text{cm}$ :

✍️ حساب شعاع الدائرة المحيطة سيُدرَج لاحقًا.