دليل المثلثات والخطوط الهامة

قواعد أساسية:

مجموع زوايا المثلث:

$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ$

المثلث متقايس الضلعين:

إذا تساوت زاويتان في مثلث، فالضلعان المقابلان لهما متساويان، والعكس صحيح.

القطعة المتوسطة (الواسط):

القطعة الواصلة بين منتصفي ضلعين توازي الضلع الثالث وطولها نصفه: $HJ = \dfrac{BC}{2}$.

الخطوط الهامة في المثلث:

الارتفاع

مستقيم يمر من رأس وعمودي على الضلع المقابل. الارتفاعات الثلاثة تتقاطع في نقطة واحدة تسمى المركز القائم.

الموسط

قطعة تصل رأسًا بمنتصف الضلع المقابل. المواسط الثلاثة تتقاطع في مركز الثقل الذي يقسم كل موسط بنسبة $2:1$ انطلاقًا من الرأس.

الموسط العمودي

المستقيم العمودي على ضلع في منتصفه. المواسط العمودية الثلاثة تتقاطع في مركز الدائرة المحيطة.

خاصية مهمة في المثلث متقايس الضلعين:

الخط الصادر من القمة الرئيسية (نقطة تلاقي الضلعين المتساويين) يكون في آن واحد:

• ارتفاعًا   • موسطًا   • موسطًا عموديًا للقاعدة   • منصفًا للزاوية الرأسية   • محور تناظر.

أخطاء شائعة يجب تجنبها:

خطأ في حساب الزاوية الثالثة

خطأ: $\widehat{ACB} = 55^\circ + 70^\circ$.

صحيح: $\widehat{ACB} = 180^\circ - 55^\circ - 70^\circ = 55^\circ$.

خطأ في الواسط

خطأ: $HJ = \dfrac{BH}{2}$.

صحيح: [JH] يصل بين منتصفي [AB] و[AC] فهو يوازي [BC]: $HJ = \dfrac{BC}{2}$.

نصيحة نهائية:

ارسم الشكل بدقة وأشّر على الزوايا والأطوال المتساوية، فهذا يكشف لك طبيعة المثلث والخطوط الهامة بسهولة!

المثلثات — التمرين رقم 1

دفواراتي
المثلثات والخطوط الهامة — 7 أساسي
تمرين 1

ارسم مثلثًا ABC بحيث $AB = 6\ \text{cm}$ و $\widehat{BAC} = 55^\circ$ و $\widehat{ABC} = 70^\circ$.

  1. احسب $\widehat{ACB}$. علل جوابك.
  2. ما هي طبيعة المثلث ABC ؟ علل جوابك.
  3. ارسم [BH] ارتفاع المثلث ABC الموافق للضلع [AC].
    1. ما هو نوع المثلث ABH ؟ علل جوابك.
    2. بيّن أن H منتصف [AC].
    3. عيّن J منتصف [AB].
    4. احسب البعد HJ. علل جوابك.
  4. عيّن النقطة K المسقط العمودي لـ A على (BC). المستقيم (HB) يقطع [AK] في I و [CJ] في T.
    1. بيّن أن I هو المركز القائم للمثلث ABC.
    2. ماذا تمثل النقطة T بالنسبة للمثلث ABC ؟ علل جوابك.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • س1: مجموع زوايا المثلث يساوي $180^\circ$. اطرح الزاويتين المعلومتين من $180^\circ$.
  • س2: قارن بين قيس $\widehat{BAC}$ و $\widehat{ACB}$. إذا تساوت زاويتان في مثلث، فالضلعان المقابلان لهما متساويان.
  • س3: في المثلث متقايس الضلعين، الارتفاع الصادر من القمة الرئيسية هو أيضًا موسط. والقطعة الواصلة بين منتصفي ضلعين توازي الضلع الثالث وتساوي نصفه.
  • س4: المركز القائم هو نقطة تقاطع الارتفاعات. وتذكّر أن ارتفاع القمة الرئيسية في المثلث متقايس الضلعين هو نفسه الموسط الصادر منها.

📝 الطريقة

1) حساب $\widehat{ACB}$ : استعمل أن مجموع زوايا المثلث ABC يساوي $180^\circ$ واطرح الزاويتين المعطاتين.

2) طبيعة المثلث : قارن $\widehat{BAC}$ و $\widehat{ACB}$. تساوي زاويتين يعني تساوي الضلعين المقابلين لهما.

3-أ) نوع ABH : بما أن $[BH] \perp [AC]$ فإن $\widehat{BHA} = 90^\circ$، احسب الزاوية الثالثة في ABH واستنتج.

3-ب) H منتصف [AC] : [BH] ارتفاع صادر من القمة الرئيسية B في مثلث متقايس الضلعين، فهو أيضًا موسط.

3-د) حساب HJ : J منتصف [AB] و H منتصف [AC]، فالقطعة [JH] واسط يوازي [BC]: $HJ = \dfrac{BC}{2}$.

4-أ) النقطة I : هي تقاطع ارتفاعين ([AK] و [BH]) فهي المركز القائم.

4-ب) النقطة T : [BH] موسط من B (لأنه ارتفاع القمة الرئيسية) و[CJ] موسط من C، فتقاطعهما هو مركز الثقل.

✅ الحل الكامل

1) حساب $\widehat{ACB}$ :

في المثلث ABC، مجموع الزوايا يساوي $180^\circ$ :

$$\widehat{ACB} = 180^\circ - \widehat{BAC} - \widehat{ABC} = 180^\circ - 55^\circ - 70^\circ = 55^\circ$$

2) طبيعة المثلث ABC :

بما أن $\widehat{BAC} = \widehat{ACB} = 55^\circ$، فإن الضلعين المقابلين لهاتين الزاويتين متساويان :

$$AB = BC = 6\ \text{cm}$$

إذًا المثلث ABC متقايس الضلعين قمته B.

3-أ) نوع المثلث ABH :

$[BH] \perp [AC]$ ومنه $\widehat{BHA} = 90^\circ$. وفي المثلث ABH :

$$\widehat{ABH} = 180^\circ - 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ$$

الزوايا الثلاث ($90^\circ، 55^\circ، 35^\circ$) مختلفة، إذًا المثلث ABH مختلف الأضلاع.

3-ب) H منتصف [AC] :

المثلث ABC متقايس الضلعين ($AB = BC$) والارتفاع [BH] صادر من القمة الرئيسية B. وفي المثلث متقايس الضلعين، الارتفاع من القمة الرئيسية هو أيضًا موسط، إذًا H هو منتصف [AC].

3-ج) تعيين J :

J منتصف [AB] يُعيَّن بالتنصيف (الموسط العمودي لـ [AB] يقطعه في منتصفه J).

3-د) حساب HJ :

J منتصف [AB] و H منتصف [AC]، إذًا [JH] هو الواسط الواصل بين منتصفي ضلعين في المثلث ABC، فهو يوازي [BC] وطوله نصفه :

$$HJ = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{6}{2} = 3\ \text{cm}$$

4-أ) I هو المركز القائم :

  • [AK] ارتفاع المثلث ABC من A (لأن $[AK] \perp (BC)$).
  • [BH] ارتفاع المثلث ABC من B (لأن $[BH] \perp [AC]$).
  • $I = (AK) \cap (BH)$.

تقاطع ارتفاعين يحدّد المركز القائم، إذًا I هو المركز القائم للمثلث ABC.

4-ب) النقطة T :

[CJ] موسط المثلث ABC من C (لأن J منتصف [AB]). و[BH] هو الموسط الصادر من B (لأنه ارتفاع القمة الرئيسية فهو نفسه موسط، وقد رأينا أن H منتصف [AC]). ومنه :

$$T = (BH) \cap (CJ)$$

هي نقطة تقاطع موسطين، وتقاطع المواسط هو مركز الثقل، إذًا T هو مركز ثقل المثلث ABC، يقسم كل موسط بنسبة $2:1$ انطلاقًا من الرأس.