تمارين: الموسطات العمودية والارتفاعات

دفواراتي
إنشاء مثلث متساوي الأضلاع
تمرين 1
  1. ارسم قطعة مستقيم $[EF]$ طولها 5 cm.
  2. ارسم الموسط العمودي لهذه القطعة.
  3. أنشئ مثلثًا متساوي الأضلاع $EFG$.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • ما هي الأداة الهندسية الأنسب لرسم الموسط العمودي بدقة؟ (البركار)
  • ماذا يعني "مثلث متساوي الأضلاع" بالنسبة لأطوال أضلاعه؟

📝 الطريقة

لإنشاء الموسط العمودي: افتح البركار بفتحة أكبر من نصف طول $[EF]$ وارسم أقواسًا من النقطتين $E$ و $F$ لتتقاطع، ثم صل بين نقاط التقاطع.

لإنشاء المثلث متساوي الأضلاع: افتح البركار بفتحة تساوي طول $[EF]$ (أي 5cm)، ارسم قوسًا من $E$ وقوسًا من $F$ لتحديد الرأس الثالث $G$.

✅ الحل الكامل

يتم إنشاء الموسط العمودي باستخدام البركار. المثلث متساوي الأضلاع $EFG$ يعني أن جميع أضلاعه متساوية ($EF = FG = GE = 5 cm$). يتم تحقيق ذلك باستخدام البركار بفتحة ثابتة تساوي 5cm من طرفي القطعة $[EF]$ لتحديد الرأس الثالث $G$.

طبيعة مثلث متقايس الضلعين
تمرين 2
  1. ارسم قطعة مستقيم $[AB]$ طولها 8cm.
  2. أنشئ الموسط العمودي $(d)$ للقطعة $[AB]$.
  3. ضع نقطة $M$ على الموسط العمودي $(d)$ بحيث $AM = 5cm$.
  4. ما هي طبيعة المثلث $AMB$؟ اشرح.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تذكر الخاصية الأساسية لنقطة تنتمي إلى الموسط العمودي لقطعة: ما علاقة البعد بين هذه النقطة وطرفي القطعة؟

📝 الطريقة

  1. النقطة $M$ تنتمي إلى $(d)$، الموسط العمودي لـ $[AB]$.
  2. طبق خاصية الموسط العمودي على النقطة $M$ لتجد العلاقة بين $MA$ و $MB$.
  3. بناءً على تساوي هاتين المسافتين، استنتج طبيعة المثلث $AMB$.

✅ الحل الكامل

بما أن النقطة $M$ تنتمي إلى الموسط العمودي $(d)$ للقطعة $[AB]$، فإنها متساوية البعد عن $A$ و $B$. هذا يعني أن $MA = MB$. بما أن $MA = 5cm$، فإن $MB = 5cm$ أيضًا. المثلث $AMB$ له ضلعان متساويان، فهو إذن مثلث متقايس الضلعين رأسه $M$.

تحديد الموسط العمودي
تمرين 3

في شكل ما، $ABE$ مثلث متقايس الضلعين في $E$ و $ABF$ مثلث متقايس الضلعين في $F$. ما هو الموسط العمودي للقطعة $[AB]$؟ برّر.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم الخاصية العكسية للموسط العمودي. ماذا يعني أن مثلثًا متقايس الضلعين في $E$ بالنسبة للمسافتين $EA$ و $EB$؟

📝 الطريقة

  1. بما أن $ABE$ متقايس الضلعين في $E$, فإن $EA = EB$. إذن $E$ تنتمي للموسط العمودي لـ $[AB]$.
  2. بما أن $ABF$ متقايس الضلعين في $F$, فإن $FA = FB$. إذن $F$ تنتمي للموسط العمودي لـ $[AB]$.
  3. بما أن النقطتين $E$ و $F$ تنتميان إلى نفس المستقيم (الموسط العمودي)، فماذا يمثل المستقيم $(EF)$؟

✅ الحل الكامل

بما أن $EA = EB$, فإن $E$ تنتمي للموسط العمودي لـ $[AB]$. وبما أن $FA = FB$, فإن $F$ تنتمي أيضًا للموسط العمودي لـ $[AB]$. بما أن النقطتين $E$ و $F$ تحددان مستقيمًا واحدًا، فإن المستقيم $(EF)$ هو الموسط العمودي للقطعة $[AB]$.

الموسط العمودي والمنتصف
تمرين 4
  1. أنشئ مثلثًا $TAC$ قائم الزاوية في $A$ بحيث $AT = 5 cm$ و $AC = 7 cm$.
  2. أنشئ الموسط العمودي للقطعة $[TC]$. هذا الموسط يقطع $[TC]$ في النقطة $I$.
  3. ماذا تمثل النقطة $I$ بالنسبة للقطعة $[TC]$؟
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تذكر التعريف الدقيق للموسط العمودي. من أي نقطة مميزة على القطعة يمر هذا المستقيم؟

📝 الطريقة

الموسط العمودي لقطعة مستقيم هو المستقيم العمودي على هذه القطعة في منتصفها. بما أن $I$ هي نقطة تقاطع الموسط العمودي مع القطعة نفسها، فإن $I$ هي هذه النقطة المميزة.

✅ الحل الكامل

حسب تعريف الموسط العمودي، فإنه يقطع القطعة في منتصفها. بما أن المستقيم المنشأ هو الموسط العمودي للقطعة $[TC]$ ويقطعها في النقطة $I$، فإن النقطة $I$ هي منتصف القطعة $[TC]$.

الموسط العمودي والدائرة
تمرين 5

دائرة مركزها $O$. النقطتان $A$ و $B$ هما نقطتان من هذه الدائرة. هل يمر الموسط العمودي للقطعة $[AB]$ بالنقطة $O$؟ اشرح.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

ماذا تعرف عن البعد بين مركز الدائرة وأي نقطة على محيطها؟ استخدم الخاصية العكسية للموسط العمودي.

📝 الطريقة

  1. بما أن $A$ و $B$ نقطتان من الدائرة التي مركزها $O$, فإن $OA = OB$ (كلاهما نصف قطر).
  2. هذا يعني أن النقطة $O$ متساوية البعد عن طرفي القطعة $[AB]$.
  3. طبق الخاصية العكسية للموسط العمودي.

✅ الحل الكامل

نعم، يمر الموسط العمودي بالنقطة $O$.
الشرح: بما أن $A$ و $B$ تنتميان للدائرة التي مركزها $O$، فإن $OA = OB$. كل نقطة متساوية البعد عن طرفي قطعة مستقيم تنتمي إلى الموسط العمودي لهذه القطعة. إذن، النقطة $O$ تنتمي إلى الموسط العمودي للقطعة $[AB]$.

الدائرة المحيطة بالمثلث
تمرين 6
  1. ارسم مثلثًا $ABC$ أيًا كان.
  2. ارسم الموسطين العموديين للضلعين $[AB]$ و $[AC]$. سمِّ $O$ نقطة تقاطعهما. ارسم الدائرة التي مركزها $O$ وتمر بالنقطة $A$.
  3. ما هي هذه الدائرة؟ برّر.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم خاصية تساوي البعد لنقطة على الموسط العمودي. ماذا يمكنك أن تقول عن البعد $OA$, $OB$, و $OC$؟

📝 الطريقة

  1. بما أن $O$ تنتمي للموسط العمودي لـ $[AB]$، فإن $OA = OB$.
  2. بما أن $O$ تنتمي للموسط العمودي لـ $[AC]$، فإن $OA = OC$.
  3. باستخدام خاصية التعدي، نستنتج أن $OA = OB = OC$.
  4. الدائرة مركزها $O$ وتمر بـ $A$. هل تمر أيضاً بـ $B$ و $C$؟

✅ الحل الكامل

هذه الدائرة هي الدائرة المحيطة بالمثلث $ABC$.
التبرير: بما أن $OA = OB = OC$, فإن النقطة $O$ متساوية البعد عن الرؤوس الثلاثة للمثلث. الدائرة التي مركزها $O$ وتمر بـ $A$ ستمر حتمًا بـ $B$ و $C$ أيضًا.

إنشاء الدائرة المحيطة
تمرين 7
  1. أنشئ مثلثًا $HOP$ بحيث: $HO = 9 cm$, $HP = 8,5 cm$ و $OP = 7,5 cm$.
  2. أنشئ الدائرة المحيطة بهذا المثلث.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

أين يقع مركز الدائرة المحيطة بالمثلث؟ كيف يمكنك إيجاده بالإنشاء الهندسي؟

📝 الطريقة

  1. مركز الدائرة المحيطة هو نقطة تلاقي الموسطات العمودية لأضلاع المثلث.
  2. باستخدام البركار، ارسم الموسط العمودي للضلع $[HO]$.
  3. ارسم الموسط العمودي للضلع $[OP]$.
  4. نقطة تقاطع هذين الموسطين هي مركز الدائرة المحيطة. (لا داعي لرسم الثالث).
  5. ضع رأس البركار على نقطة التقاطع وافتح البركار حتى يصل إلى أحد الرؤوس، ثم ارسم الدائرة.

✅ الحل الكامل

لإنشاء الدائرة المحيطة، نجد أولاً مركزها، وهو نقطة تلاقي الموسطات العمودية لأضلاع المثلث. يكفي رسم الموسطين العموديين لضلعين (مثلاً $[HO]$ و $[OP]$). نقطة تقاطعهما هي مركز الدائرة. ثم نضع رأس البركار على هذا المركز ونرسم الدائرة التي تمر بالرؤوس الثلاثة للمثلث.

تطبيق عملي
تمرين 8

ثلاثة لاعبين يشكلون مثلثًا $EAI$ حيث $EA = 3.7 m$, $IE = 4.2 m$, و $IA = 4.2 m$. يجب وضع كرية كبيرة على نفس البعد من كل لاعب. على أي مسافة تقريبية من كل لاعب توجد الكرية الكبيرة؟

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

النقطة المتساوية البعد عن رؤوس المثلث الثلاثة هي مركز الدائرة المحيطة. البعد المطلوبة هي نصف قطر هذه الدائرة.

📝 الطريقة

  1. موقع الكرية هو مركز الدائرة المحيطة بالمثلث $EAI$.
  2. لإيجاد هذا المركز، نرسم الموسطات العمودية لأضلاع المثلث (يكفي اثنان).
  3. نقطة تقاطع الموسطين هي موقع الكرية.
  4. البعد المطلوبة هي البعد من هذه النقطة إلى أي من اللاعبين (الرؤوس).

✅ الحل الكامل

موقع الكرية هو مركز الدائرة المحيطة بالمثلث $EAI$. البعد من الكرية إلى كل لاعب هي نصف قطر هذه الدائرة. بعد الرسم الدقيق والقياس، نجد أن البعد تساوي حوالي 2.3 متر.

تعريف الارتفاعات
تمرين 10

في مثلث $STU$، لاحظ الشكل وأكمل الجمل: (d3) هو ارتفاع صادر من ...، (d2) هو ارتفاع صادر من ...، (d1) ليس ارتفاعًا.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

الارتفاع الصادر من رأس في مثلث هو المستقيم المار من هذا الرأس والعمودي على الضلع المقابل.

📝 الطريقة

  • (d3): يمر بالرأس $U$ وهو عمودي على الضلع المقابل $[ST]$. إذن هو ارتفاع صادر من $U$.
  • (d2): يمر بالرأس $T$ وهو عمودي على الضلع المقابل $[SU]$. إذن هو ارتفاع صادر من $T$.
  • (d1): عمودي على $[SU]$ ولكنه لا يمر بالرأس المقابل $T$. إذن ليس ارتفاعًا.

✅ الحل الكامل

(d3) هو ارتفاع المثلث $STU$ الصادر من الرأس U.
(d2) هو ارتفاع المثلث $STU$ الصادر من الرأس T.
(d1) ليس ارتفاعًا في المثلث $STU$.

إنشاء الارتفاعات
تمرين 11

في مثلث $MNO$، ارسم باللون الأحمر، الارتفاع الصادر من الرأس $N$. وباللون الأخضر، الارتفاع الصادر من الرأس $M$.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم الكوس لرسم مستقيم يمر بالرأس المطلوب ويكون عموديًا على الضلع المقابل. قد تحتاج إلى تمديد الضلع المقابل إذا كانت الزاوية منفرجة.

📝 الطريقة

الارتفاع من N: ضع أحد ضلعي الزاوية القائمة للكوس على الضلع $[MO]$ وحركه حتى يمر الضلع الآخر بالنقطة $N$. ارسم الخط.
الارتفاع من M: ضع أحد ضلعي الزاوية القائمة للكوس على الضلع $[NO]$ (أو امتداده) وحركه حتى يمر الضلع الآخر بالنقطة $M$. ارسم الخط.

✅ الحل الكامل

يتم إنشاء الارتفاعات باستخدام الكوس لضمان التعامد. الارتفاع الصادر من $N$ هو العمودي على $(MO)$, والارتفاع الصادر من $M$ هو العمودي على $(NO)$.

إنشاء الارتفاعات (2)
تمرين 12

المثلث $EFG$ هو بحيث $EF = 5 cm$, $FG = 8 cm$ و $EG = 7cm$.
أ) أنشئ المثلث.
ب) ارسم $(d)$ الارتفاع الصادر من $E$.
ج) ارسم $(d')$ الارتفاع الصادر من $G$.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم المسطرة والبركار لرسم المثلث بالأبعاد الصحيحة، ثم استخدم الكوس لرسم الارتفاعات.

📝 الطريقة

1. ارسم $[FG]$ بطول 8cm. افتح البركار بفتحة 5cm وارسم قوسًا من $F$. افتح البركار بفتحة 7cm وارسم قوسًا من $G$. نقطة التقاطع هي $E$.
2. الارتفاع $(d)$ هو المستقيم المار بـ $E$ والعمودي على $[FG]$.
3. الارتفاع $(d')$ هو المستقيم المار بـ $G$ والعمودي على $[EF]$.

✅ الحل الكامل

يتم إنشاء المثلث بالبركار لضمان دقة الأطوال. الارتفاع $(d)$ هو العمودي من $E$ على $(FG)$. الارتفاع $(d')$ هو العمودي من $G$ على $(EF)$.

إنشاء الارتفاعات (3)
تمرين 13

المثلث $HPN$ هو بحيث $HP = 10 cm$, $PN = 4 cm$ و $HN = 7 cm$.
أ) أنشئ المثلث.
ب) ارسم $(d)$ الارتفاع الصادر من $N$.
ج) ارسم $(d')$ الارتفاع الصادر من $H$.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

هذا مثلث منفرج الزاوية. انتبه إلى أن بعض الارتفاعات قد تقع خارج المثلث.

📝 الطريقة

1. ارسم $[HP]$ بطول 10cm. افتح البركار بفتحة 4cm وارسم قوسًا من $P$. افتح البركار بفتحة 7cm وارسم قوسًا من $H$. نقطة التقاطع هي $N$.
2. الارتفاع $(d)$ هو المستقيم المار بـ $N$ والعمودي على $[HP]$.
3. الارتفاع $(d')$ هو المستقيم المار بـ $H$ والعمودي على امتداد الضلع $[PN]$ لأن الزاوية عند $N$ منفرجة.

✅ الحل الكامل

يتم إنشاء المثلث بالبركار. الارتفاع $(d)$ الصادر من $N$ يقع داخل المثلث وهو عمودي على القاعدة الكبيرة $[HP]$. الارتفاع $(d')$ الصادر من $H$ يقع خارج المثلث، وهو عمودي على المستقيم الحامل للضلع $[PN]$.