فرض مراقبة عدد 5 في الرياضيات

الإعدادية النموذجية
بضفاف البحيرة
تونس 1
التاريخ: 19 أفريل 2014
التوقيت: 45 دقيقة
الأستاذان:
الطاهر التليلي و مالك دمق
1
تمرين عدد 1 (4 نقاط)

اختر الإجابة الصحيحة من بين المقترحات المقدمة:

(1) ربع الخمسين يساوي:

\(\frac{1}{10}\)
\(\frac{8}{5}\)
\(\frac{5}{8}\)

(2) مقلوب \(\left(\frac{2}{3} + \frac{5}{2}\right)\) يساوي:

\(\frac{3}{2} + \frac{2}{5}\)
\(\frac{3}{2}\)
\(\frac{6}{19}\)

(3) نتيجة العبارة \(\frac{26}{5} - \frac{2}{5} \times 3\) تساوي:

\(\frac{24}{5} \times 3\)
\(\frac{26}{5} - \frac{6}{15}\)
\(4\)

(4) \(ABCD\) مستطيل حيث \(BF\) منصف الزاوية \(\angle DBC\) و \(\angle FBC = 20°\)

إذن: \(\angle ADB\) تساوي:

\(50°\)
\(40°\)
\(45°\)

الحل التفصيلي

(1) ربع الخمسين = \(\frac{1}{4} \times 50 = \frac{50}{4} = 12.5\)
نتحقق من الخيارات: \(\frac{1}{10} = 0.1\)، \(\frac{8}{5} = 1.6\)، \(\frac{5}{8} = 0.625\)
لا يوجد خيار صحيح، الإجابة الصحيحة هي \(12.5\)
(2) نحسب أولاً: \(\frac{2}{3} + \frac{5}{2} = \frac{4 + 15}{6} = \frac{19}{6}\)
مقلوب \(\frac{19}{6}\) هو \(\frac{6}{19}\)
الإجابة الصحيحة: \(\frac{6}{19}\)
(3) نطبق ترتيب العمليات:
\(\frac{26}{5} - \frac{2}{5} \times 3 = \frac{26}{5} - \frac{6}{5} = \frac{20}{5} = 4\)
الإجابة الصحيحة: \(4\)
(4) في المستطيل \(ABCD\):
\(\angle DBC = 2 \times \angle FBC = 2 \times 20° = 40°\)
\(\angle ADB = 90° - \angle DBC = 90° - 40° = 50°\)
الإجابة الصحيحة: \(50°\)
2
تمرين عدد 2 (5 نقاط)

احسب العبارات التالية مختزلاً إلى أقصى حد:

A = \(\frac{3}{7} \times \left(49 - \frac{7}{3}\right)\)

B = \(\frac{1}{8} \times \left(\frac{11}{3} \times 16\right) \times \frac{33}{121}\)

C = \(\frac{37}{14} \times 0.25 + \frac{19}{14} \times \frac{1}{4}\)

D = \(\frac{5 \times \frac{3}{4}}{5 - \frac{3}{4}}\)

الحل التفصيلي

حساب A:
\(A = \frac{3}{7} \times \left(49 - \frac{7}{3}\right)\)
\(= \frac{3}{7} \times \left(\frac{147 - 7}{3}\right)\)
\(= \frac{3}{7} \times \frac{140}{3}\)
\(= \frac{140}{7} = 20\)
A = 20
حساب B:
\(B = \frac{1}{8} \times \left(\frac{11}{3} \times 16\right) \times \frac{33}{121}\)
\(= \frac{1}{8} \times \frac{176}{3} \times \frac{33}{121}\)
\(= \frac{176 \times 33}{8 \times 3 \times 121}\)
\(= \frac{11 \times 16 \times 3 \times 11}{8 \times 3 \times 11^2}\)
\(= \frac{16}{8} = 2\)
B = 2
حساب C:
\(C = \frac{37}{14} \times 0.25 + \frac{19}{14} \times \frac{1}{4}\)
\(= \frac{37}{14} \times \frac{1}{4} + \frac{19}{14} \times \frac{1}{4}\)
\(= \frac{1}{4} \times \left(\frac{37}{14} + \frac{19}{14}\right)\)
\(= \frac{1}{4} \times \frac{56}{14} = \frac{1}{4} \times 4 = 1\)
C = 1
حساب D:
\(D = \frac{5 \times \frac{3}{4}}{5 - \frac{3}{4}}\)
\(= \frac{\frac{15}{4}}{\frac{20-3}{4}}\)
\(= \frac{\frac{15}{4}}{\frac{17}{4}}\)
\(= \frac{15}{17}\)
D = \(\frac{15}{17}\)
3
تمرين عدد 3 (4 نقاط)

خير تلاميذ قسمك بين أحد الألعاب الرياضية التالية: كرة المضرب - سباحة.

فاختار نصف الثلث السباحة والباقي اختار ثلثي كرة المضرب وبقي 10 تلاميذ بدون اختيار.

(1) احسب كلا من:

• العدد الكسري الذي يمثل عدد التلاميذ الذين اختاروا السباحة

• العدد الكسري الذي يمثل عدد التلاميذ الذين اختاروا كرة المضرب

(2) ما هو عدد تلاميذ قسمك؟

الحل التفصيلي

(1) تحليل المعطيات:
• اختار السباحة: نصف الثلث = \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\) من إجمالي التلاميذ
• الباقي بعد السباحة: \(1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\) من إجمالي التلاميذ
• اختار كرة المضرب: ثلثي الباقي = \(\frac{2}{3} \times \frac{5}{6} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}\) من إجمالي التلاميذ
السباحة: \(\frac{1}{6}\) من إجمالي التلاميذ
كرة المضرب: \(\frac{5}{9}\) من إجمالي التلاميذ
(2) حساب العدد الإجمالي:
نسبة من لم يختار = \(1 - \frac{1}{6} - \frac{5}{9}\)
\(= \frac{18 - 3 - 10}{18} = \frac{5}{18}\)
إذا كان \(\frac{5}{18}\) من التلاميذ = 10 تلاميذ
فإن العدد الإجمالي = \(10 \times \frac{18}{5} = 36\) تلميذ
عدد تلاميذ القسم = 36 تلميذ
التحقق:
• السباحة: \(\frac{1}{6} \times 36 = 6\) تلاميذ
• كرة المضرب: \(\frac{5}{9} \times 36 = 20\) تلميذ
• بدون اختيار: \(36 - 6 - 20 = 10\) تلاميذ ✓
4
تمرين عدد 4 (7 نقاط)

ليكن \(ABC\) مثلث قائم الزاوية في \(A\) كما يبين الشكل المرافق حيث:

\(AC = 6cm\) و \(AB = 8cm\) و \(BC = 10cm\)

رسم المثلث القائم الزاوية ABC

المثلث ABC قائم الزاوية في A
AC = 6cm، AB = 8cm، BC = 10cm

(1) عين النقطة \(I\) منتصف \([BC]\). بين أن \(IA = IB = 5\).

(2) ابن النقطة \(J\) مناظرة \(I\) بالنسبة إلى المستقيم \(AB\). بين أن الرباعي \(AIBJ\) معين.

(3) إذا علمت أن \(\angle ACB = 54°\)، احسب \(\angle ABC\) ثم استنتج \(\angle BIJ\).

(4) لتكن \(N\) نقطة تقاطع المستقيمين \(IJ\) و \(AB\) و \(M\) المسقط العمودي لـ \(I\) على \(AC\).

أ) بين أن الرباعي \(AMIN\) مستطيل.

ب) بين أن: \(AJ = MN\).

الحل التفصيلي

(1) إثبات أن \(IA = IB = 5\):
بما أن \(I\) منتصف \([BC]\)، فإن \(IB = IC = \frac{BC}{2} = \frac{10}{2} = 5cm\)
في المثلث القائم، المسافة من منتصف الوتر إلى أي رأس تساوي نصف الوتر
لذلك: \(IA = \frac{BC}{2} = 5cm\)
\(IA = IB = IC = 5cm\)
(2) إثبات أن \(AIBJ\) معين:
\(J\) مناظرة \(I\) بالنسبة إلى \(AB\)، إذن \(AB\) محور تماثل للنقطتين \(I\) و \(J\)
لذلك: \(JA = IA = 5cm\) و \(JB = IB = 5cm\)
الرباعي \(AIBJ\) له جميع أضلاعه متساوية: \(AI = IB = BJ = JA = 5cm\)
\(AIBJ\) معين لأن جميع أضلاعه متساوية
(3) حساب الزوايا:
في المثلث القائم \(ABC\):
\(\angle ABC = 90° - \angle ACB = 90° - 54° = 36°\)
في المعين \(AIBJ\)، القطران متعامدان ومنصفان للزوايا
\(\angle BIJ = \frac{\angle AIB}{2}\)
\(\angle AIB = 180° - 2 \times 36° = 108°\) (في المثلث المتساوي الساقين \(AIB\))
\(\angle BIJ = \frac{108°}{2} = 54°\)
\(\angle ABC = 36°\) و \(\angle BIJ = 54°\)
(4أ) إثبات أن \(AMIN\) مستطيل:
\(M\) مسقط \(I\) على \(AC\) إذن \(\angle AMI = 90°\)
\(N\) على \(AB\) و \(J\) مناظرة \(I\) بالنسبة إلى \(AB\) إذن \(\angle ANI = 90°\)
\(\angle MAN = 90°\) (المثلث قائم في \(A\))
الرباعي \(AMIN\) له ثلاث زوايا قائمة، إذن هو مستطيل
\(AMIN\) مستطيل
(4ب) إثبات أن \(AJ = MN\):
في المستطيل \(AMIN\): \(MN = AI\)
من السؤال (2): \(AJ = AI\) (في المعين)
إذن: \(AJ = AI = MN\)
\(AJ = MN\) (أقطار المستطيل متساوية)