سلسلة التمارين - مسائل في الرياضيات

إعداد الأستاذ: فوزي الغربي / ياسين نورالدين
المادة: الرياضيات - المرحلة الإعدادية

1 تمرين 1 - مسائل الكسور

في قسم متكون من 36 تلميذ نجح \(\frac{2}{3}\) بمعدل يفوق 10 ونجح \(\frac{1}{6}\) بالإسعاف ورسب الباقي.
(1) ما هو العدد الكسري الذي يمثل الراسبين بالنسبة لمجموع التلاميذ؟
(2) ما هو عدد كل نوع منهم؟

التصحيح

(1) إيجاد العدد الكسري الذي يمثل الراسبين:

عدد التلاميذ الناجحين بمعدل يفوق 10 هو \(\frac{2}{3}\) من إجمالي التلاميذ.

عدد التلاميذ الناجحين بالإسعاف هو \(\frac{1}{6}\).

\[ \text{الناجحون الإجمالي} = \frac{2}{3} + \frac{1}{6} \] \[ \text{الناجحون الإجمالي} = \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \] \[ \text{الراسبون} = 1 - \text{الناجحون الإجمالي} \] \[ \text{الراسبون} = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6} \]

(2) عدد كل نوع من التلاميذ:

عدد التلاميذ الإجمالي = 36 تلميذاً.

\[ \text{عدد الناجحين بمعدل يفوق 10} = \frac{2}{3} \times 36 = 24 \text{ تلميذاً} \] \[ \text{عدد الناجحين بالإسعاف} = \frac{1}{6} \times 36 = 6 \text{ تلاميذ} \] \[ \text{عدد الراسبين} = \frac{1}{6} \times 36 = 6 \text{ تلاميذ} \]

العدد الكسري للراسبين: \(\frac{1}{6}\)

عدد الناجحين بمعدل يفوق 10: 24 تلميذاً

عدد الناجحين بالإسعاف: 6 تلاميذ

عدد الراسبين: 6 تلاميذ

2 تمرين 2 - مسائل الكسور

اشترى ياسين ربع متر من قماش من النوع المتوسط ثمنه 120 دينار للمتر الواحد. واشترى نصف ثلثي أربعة أخماس متر من النوع المتوسط من القماش ثمنه 150 دينار للمتر الواحد. واشترى عشر سبعي ثلث قماش رفيع ثمن المتر الواحد 210 دينار.
كم دفع ياسين في الجملة؟

التصحيح

حساب تكلفة كل نوع من القماش:

\[ \text{القماش الأول} = \frac{1}{4} \text{ متر} \times 120 \text{ د.ت/متر} = 30 \text{ د.ت} \]

\[ \text{كمية القماش الثاني} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{30} = \frac{4}{15} \text{ متر} \] \[ \text{تكلفة القماش الثاني} = \frac{4}{15} \text{ متر} \times 150 \text{ د.ت/متر} = 4 \times 10 = 40 \text{ د.ت} \]

\[ \text{كمية القماش الثالث} = \frac{1}{10} \times \frac{1}{7} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{210} \text{ متر} \] \[ \text{تكلفة القماش الثالث} = \frac{1}{210} \text{ متر} \times 210 \text{ د.ت/متر} = 1 \text{ د.ت} \]

حساب المبلغ الإجمالي:

\[ \text{المبلغ الإجمالي} = 30 + 40 + 1 = 71 \text{ د.ت} \]

دفع ياسين في الجملة: 71 ديناراً.

3 تمرين 3 - مسائل الكسور

عدد الذكور بقسم هو 5. إذا عوضنا بنتا بولد، أصبح عدد البنات في القسم \(\frac{5}{6}\) من العدد الإجمالي.
ما هو عدد البنات في هذا القسم؟

التصحيح

نفرض أن عدد الأولاد هو \(B\) وعدد البنات هو \(G\).

معطى أن \(B = 5\).

العدد الإجمالي للتلاميذ في البداية هو \(B + G = 5 + G\).

عندما نعوض بنتا بولد:

عدد الأولاد يصبح \(B' = B + 1 = 5 + 1 = 6\).

عدد البنات يصبح \(G' = G - 1\).

العدد الإجمالي للتلاميذ يبقى كما هو: \(5 + G\).

الكسر الذي يمثل عدد البنات الجديد هو \(\frac{G'}{B+G} = \frac{5}{6}\).

\[ \frac{G - 1}{5 + G} = \frac{5}{6} \] \[ 6(G - 1) = 5(5 + G) \] \[ 6G - 6 = 25 + 5G \] \[ 6G - 5G = 25 + 6 \] \[ G = 31 \]

عدد البنات في هذا القسم هو 31 بنتاً.

4 تمرين 4 - مسائل الكسور

كان لياسمين هذه السنة الحظ الأوفر في مهبة العيد فقد صرفت منها ربعها في عشاء مع أصدقائها. واشترت بثلث ما تبقى سماعات لهاتفها وادخرت نصفه تبقى لها في النهاية 160 دينارا.
كم جمعت ياسمين في مهبة العيد؟

التصحيح

نفرض أن المبلغ الإجمالي الذي جمعته ياسمين هو \(X\).

صرفت في العشاء \(\frac{1}{4}X\).

المبلغ المتبقي بعد العشاء هو \(X - \frac{1}{4}X = \frac{3}{4}X\).

اشترت سماعات بثلث ما تبقى:

\[ \text{ثمن السماعات} = \frac{1}{3} \times \left(\frac{3}{4}X\right) = \frac{1}{4}X \]

المبلغ المتبقي بعد شراء السماعات هو \(\frac{3}{4}X - \frac{1}{4}X = \frac{2}{4}X = \frac{1}{2}X\).

ادخرت نصف هذا المبلغ المتبقي:

\[ \text{المبلغ المدخر} = \frac{1}{2} \times \left(\frac{1}{2}X\right) = \frac{1}{4}X \]

المبلغ المتبقي لها في النهاية هو ما تبقى بعد الادخار: \(\frac{1}{2}X - \frac{1}{4}X = \frac{1}{4}X\).

معطى أن المبلغ المتبقي هو 160 ديناراً.

\[ \frac{1}{4}X = 160 \] \[ X = 160 \times 4 \] \[ X = 640 \text{ د.ت} \]

جمعت ياسمين في مهبة العيد 640 ديناراً.

5 تمرين 5 - حساب الأعداد العشرية

احسب بأيسر طريقة معتمدا قواعد الحساب في مجموعة الأعداد العشرية:
A = 49,74 - (11,5 + 31,74)
B = (0,25 × 17,05) × 40
C = (89 + 24,7 - 0,5) - (24,7 + 0,5)

التصحيح

حساب A:

\[ A = 49.74 - (11.5 + 31.74) \] \[ A = 49.74 - 11.5 - 31.74 \] \[ A = (49.74 - 31.74) - 11.5 \] \[ A = 18 - 11.5 = 6.5 \]

حساب B:

\[ B = (0.25 \times 17.05) \times 40 \] \[ B = (0.25 \times 40) \times 17.05 \] \[ B = 10 \times 17.05 = 170.5 \]

حساب C:

\[ C = (89 + 24.7 - 0.5) - (24.7 + 0.5) \] \[ C = 89 + 24.7 - 0.5 - 24.7 - 0.5 \] \[ C = 89 + (24.7 - 24.7) + (-0.5 - 0.5) \] \[ C = 89 - 1 = 88 \]

A = 6.5

B = 170.5

C = 88