تمارين في الأعداد الكسرية، الهندسة، الجبر، والحساب
(1) إيجاد العدد الكسري الذي يمثل الراسبين:
[cite_start]عدد التلاميذ الناجحين بمعدل يفوق 10 هو \(\frac{2}{3}\) [cite: 59] من إجمالي التلاميذ.
عدد التلاميذ الناجحين بالإسعاف هو \(\frac{1}{6}\) (افتراض لتوضيح الحل).
(2) عدد كل نوع من التلاميذ:
عدد التلاميذ الإجمالي = 36 تلميذاً.
العدد الكسري للراسبين: \(\frac{1}{6}\)
عدد الناجحين بمعدل يفوق 10: 24 تلميذاً
عدد الناجحين بالإسعاف: 6 تلاميذ
عدد الراسبين: 6 تلاميذ
حساب تكلفة كل نوع من القماش:
حساب المبلغ الإجمالي:
نفرض أن عدد الأولاد هو \(B\) وعدد البنات هو \(G\).
معطى أن \(B = 5\).
العدد الإجمالي للتلاميذ في البداية هو \(B + G = 5 + G\).
عندما نعوض بنتا بولد:
عدد الأولاد يصبح \(B' = B + 1 = 5 + 1 = 6\).
عدد البنات يصبح \(G' = G - 1\).
العدد الإجمالي للتلاميذ يبقى كما هو: \(5 + G\).
الكسر الذي يمثل عدد البنات الجديد هو \(\frac{G'}{B+G} = \frac{5}{6}\).
نفرض أن المبلغ الإجمالي الذي جمعته ياسمين هو \(X\).
صرفت في العشاء \(\frac{1}{4}X\).
المبلغ المتبقي بعد العشاء هو \(X - \frac{1}{4}X = \frac{3}{4}X\).
اشترت سماعات بثلث ما تبقى:
المبلغ المتبقي بعد شراء السماعات هو \(\frac{3}{4}X - \frac{1}{4}X = \frac{2}{4}X = \frac{1}{2}X\).
ادخرت نصف هذا المبلغ المتبقي:
المبلغ المتبقي لها في النهاية هو ما تبقى بعد الادخار: \(\frac{1}{2}X - \frac{1}{4}X = \frac{1}{4}X\).
معطى أن المبلغ المتبقي هو 160 ديناراً.
(1) العدد الكسري الذي يمثل ما زرعه في كل يوم:
اليوم الأول: زرع \(\frac{3}{5}\) من أرضه.
المساحة المزروعة في اليومين السابقين = \(\frac{3}{5} + \frac{2}{15}\).
(2) المساحة الجملية للأرض:
إجمالي ما زرعه الفلاح = \(\frac{3}{5} + \frac{2}{15} + \frac{11}{90}\).
المساحة المتبقية غير المزروعة = \(1 - \frac{77}{90} = \frac{13}{90}\).
معطى أن هذه المساحة هي 26 هكتار.
ما زرعه في اليوم الأول: \(\frac{3}{5}\)
ما زرعه في اليوم الثاني: \(\frac{2}{15}\)
ما زرعه في اليوم الثالث: \(\frac{11}{90}\)
المساحة الجملية للأرض: 180 هكتار.
المسافة المقطوعة = 120 كلم.
الزمن المستغرق = ثلاثة أرباع ساعة = \(\frac{3}{4}\) ساعة.
(1) العدد الكسري الذي يمثل المسافة الرابعة:
المرحلة الأولى: \(\frac{1}{8}\).
المرحلة الثانية: \(\frac{1}{5}\).
المرحلة الثالثة: \(\frac{1}{2}\).
(2) المسافة التي قطعها الدراج الأول:
قطع المرحلة الأولى (\(\frac{1}{8}\)) وثلث المرحلة الثانية (\(\frac{1}{3} \times \frac{1}{5}\)).
(3) المسافة التي قطعها الدراج الثاني:
قطع المرحلتين الأولى والثانية (\(\frac{1}{8} + \frac{1}{5}\)) وربع المرحلة الثالثة (\(\frac{1}{4} \times \frac{1}{2}\)).
(4) المراحل التي قطعها الدراج الثالث:
قطع ثلاثة أخماس المسافة الجملية للسباق = \(\frac{3}{5}\).
المرحلة الأولى = \(\frac{1}{8} = \frac{5}{40}\).
المرحلة الثانية = \(\frac{1}{5} = \frac{8}{40}\).
المرحلة الثالثة = \(\frac{1}{2} = \frac{20}{40}\).
قطع الدراج المرحلة الأولى والثانية: \(\frac{5}{40} + \frac{8}{40} = \frac{13}{40}\).
المتبقي من مسافته: \(\frac{24}{40} - \frac{13}{40} = \frac{11}{40}\).
بما أن \(\frac{11}{40} < \frac{20}{40}\) (المرحلة الثالثة)، فقد قطع جزءاً من المرحلة الثالثة.
الجزء المقطوع من المرحلة الثالثة: \(\frac{11/40}{20/40} = \frac{11}{20}\) من المرحلة الثالثة.
المسافة الرابعة: \(\frac{7}{40}\)
مسافة الدراج الأول: \(\frac{23}{120}\)
مسافة الدراج الثاني: \(\frac{9}{20}\)
المراحل التي قطعها الدراج الثالث: المرحلة الأولى، المرحلة الثانية، و \(\frac{11}{20}\) من المرحلة الثالثة.
1) تمثيل النقطة O:
النقطة O هي نقطة تقاطع منصفات الزوايا [Bx) و [Cy) في المثلث ABC.
التعليل: نقطة تقاطع منصفات الزوايا في المثلث هي مركز الدائرة المحاطة به (Incenter).
2) أ- حساب \(\angle BAI\):
في المثلث ABC، مجموع الزوايا هو \(180^\circ\).
بما أن O هو مركز الدائرة المحاطة، فإن المستقيم (AO) هو منصف الزاوية \(\angle BAC\).
بما أن I تقع على (BC) والمستقيم (AO) يقطع (BC) في I، فإن \(\angle BAI\) هو جزء من \(\angle BAC\) وينصفه AO.
2) ب- تمثيل النقطة G:
في المثلث ABI، (AJ) هو متوسط لأنه يربط الرأس A بمنتصف الضلع المقابل [IB] (حيث J منتصف [IB]).
كذلك، (IH) هو متوسط لأنه يربط الرأس I بمنتصف الضلع المقابل [AB] (حيث H منتصف [AB]).
النقطة G هي نقطة تقاطع المتوسطين (AJ) و (IH).
التعليل: نقطة تقاطع متوسطات المثلث هي مركز ثقل المثلث (Centroid).
3) أ- إثبات أن [IH] ارتفاع المثلث AIB:
معطى أن IA = IB، إذن المثلث AIB متساوي الساقين رأسه I وقاعدته [AB].
بما أن H منتصف [AB] (من السؤال 2.ب)، فإن [IH] هو متوسط متعلق بالقاعدة [AB].
في المثلث المتساوي الساقين، المتوسط المتعلق بالقاعدة يكون أيضاً ارتفاعاً عليها وعمودياً عليها.
لذلك، [IH] هو ارتفاع المثلث AIB المتعلق بالضلع [AB].
3) ب- إثبات أن [AN] ارتفاع المثلث ABC:
الارتفاع من A على الضلع [BC] هو المستقيم الذي يمر من A ويكون عمودياً على [BC].
(ملاحظة: النص يطلب إثبات أن [AN] ارتفاع، دون تعريف N. نفترض أن N هي نقطة على BC بحيث AN عمودي على BC).
في المثلث ABC، زواياه هي \(\angle ABC = 50^\circ\), \(\angle ACB = 30^\circ\), \(\angle BAC = 100^\circ\).
لتكون AN ارتفاعاً، يجب أن يكون \(AN \perp BC\).
في هذه الحالة، يمكن حساب زاوية \(\angle NAC\) في المثلث القائم ANC: \(\angle NAC = 90^\circ - \angle C = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\).
وزاوية \(\angle BAN = \angle BAC - \angle NAC = 100^\circ - 60^\circ = 40^\circ\).
بما أن (AO) يمثل (AI) وهو منصف الزاوية A، وزاوية \(\angle BAI = 50^\circ\)، فإن (AI) ليس هو الارتفاع (AN).
ولذلك، فإن "AN" في هذه المسألة تشير إلى القطعة المستقيمة التي تمثل الارتفاع، وتتطلب معرفة خاصة لإثبات وجودها أو خصائصها.
(الفرضية هنا هي أن السؤال يطلب التأكد من تعريف الارتفاع وموقعه، وليس إثبات أن قطعة معينة (AN) هي الارتفاع بمعلومات سابقة فقط).
3) ج- إثبات أن P هي المركز القائم للمثلث AIB:
المركز القائم (Orthocenter) هو نقطة تقاطع ارتفاعات المثلث.
لإثبات أن P هو المركز القائم للمثلث AIB، يجب أن نثبت أن (AN) و (IH) هما ارتفاعان في المثلث AIB ويتقاطعان في P.
1. لقد أثبتنا في 3.أ أن [IH] ارتفاع في المثلث AIB (متعلق بالضلع AB).
2. نحتاج لإثبات أن (AN) هو ارتفاع آخر في المثلث AIB.
المستقيم (AN) هو الارتفاع من A في المثلث ABC على [BC] (كما طلب في 3.ب).
إذا كان (AN) يمر أيضاً بـ I، ويعامد ضلعاً في AIB، فسيكون ارتفاعاً.
لكننا أظهرنا أن (AN) (الارتفاع) يختلف عن (AI) (منصف الزاوية) في المثلث ABC.
هذا يشير إلى أن هناك خطأ في صياغة السؤال أو افتراض ضمني غير مذكور لجعل P هو المركز القائم.
(إذا افترضنا أن (AN) يمثل الارتفاع من A في المثلث AIB على الضلع المقابل، و (IH) يمثل الارتفاع من I على الضلع المقابل، وتتقاطعان في P، فإن P ستكون المركز القائم. ولكن هذا يتطلب تعريفاً واضحاً لـ AN كارتفاع في AIB أيضاً، أو أن N تنطبق على I).
في الحالة العامة، ارتفاعات المثلث تتقاطع في المركز القائم.
1) O يمثل مركز الدائرة المحاطة بالمثلث ABC.
2) أ- \(\angle BAI = 50^\circ\).
2) ب- G يمثل مركز ثقل المثلث ABI.
3) أ- [IH] ارتفاع في المثلث AIB لأن AIB متساوي الساقين (IA=IB) و H منتصف القاعدة AB.
3) ب- [AN] هو ارتفاع المثلث ABC من A إلى BC (ملاحظة: هناك تناقض محتمل في المعطيات، لكن الارتفاع هو الخط العمودي من الرأس إلى الضلع المقابل).
3) ج- P هي المركز القائم للمثلث AIB إذا كانت (AN) و (IH) ارتفاعات فيه وتتقاطعان في P.
1) إحداثيات النقطة A:
بالنظر إلى الرسم، النقطة A تقع عند الإحداثيات (-1, 1).
2) تعيين النقطة B (0;2):
يتم رسم النقطة B على المحور y عند القيمة 2.
3) أ- تعيين النقطة K (مركز الدائرة المحيطة):
مركز الدائرة المحيطة K يكون متساوي البعد عن رؤوس المثلث A و B و C.
معطى أن \(K \in (OJ)\)، والمستقيم (OJ) هو المحور y، لذا إحداثيات K هي \((0, y_K)\).
المسافة \(KA = KB\).
إذن، إحداثيات K هي (0, 1).
3) ب- تعيين النقطة C:
معطى أن فاصلة C سالبة وترتيبتها صفر. إذن \(C = (x_C, 0)\) حيث \(x_C < 0\).
بما أن K هو مركز الدائرة المحيطة، فإن \(KA = KC\).
لقد حسبنا \(KA^2 = 1 + (1-1)^2 = 1\). إذن \(KA = 1\).
بما أن \(KA^2 = KC^2\):
هذا يعني أن \(C = (0, 0)\). ومع ذلك، فإن الشرط بأن فاصلتها سالبة (\(x_C < 0\)) لا يتحقق.
هذا يشير إلى وجود تناقض في معطيات السؤال أو أن النقطة C لا يمكن تحديدها فقط بهذه الشروط مع K كنقطة محيطة.
1) إحداثيات A: (-1, 1)
2) تعيين B (0,2) يتم على الرسم.
3) أ- K (مركز الدائرة المحيطة): (0, 1)
3) ب- لا يمكن تحديد C بفاصلة سالبة بناءً على المعطيات المعطاة، حيث أن الحساب يؤدي إلى C=(0,0).
| المعطيات | الإجابات | ||
|---|---|---|---|
| أ | ب | ج | |
| 1- عدد قواسم الجداء \(2^2 \times 3^2 \times 5\) هو: | 12 | 18 | 16 |
| 2- العدد \(2^5 - 2^4\) يساوي: | \(2^4\) | \(2^5\) | \(2^9\) |
1) عدد قواسم الجداء \(2^2 \times 3^2 \times 5\):
لإيجاد عدد قواسم عدد مفكك إلى عوامله الأولية \(p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \dots\)، نستخدم القاعدة \((a_1+1)(a_2+1)\dots\)
2) العدد \(2^5 - 2^4\):
يمكننا إخراج العامل المشترك الأكبر \(2^4\) من التعبير.
أ- تفكيك العدد 48 إلى جذاء عوامل أولية:
ب- مجموعة قواسم العدد 48:
القواسم هي: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
أ- تفكيك العدد 108 إلى جذاء عوامل أولية:
ب- مجموعة قواسم العدد 108 واستنتاج ق.م.أ (48,108):
قواسم 108 هي: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108.
القواسم المشتركة بين 48 و 108 هي: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
أكبر قاسم مشترك (ق.م.أ) هو 12.
3- تفكيك \(48 \times 108\) و \(108^2\) إلى جذاء عوامل أولية:
ب- طول ضلع مربع له نفس مساحة مستطيل بعداه 108 سم و 48 سم:
48 = \(2^4 \times 3\)
قواسم 48: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}
108 = \(2^2 \times 3^3\)
قواسم 108: {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108}
ق.م.أ (48, 108) = 12
\(48 \times 108 = 2^6 \times 3^4\)
\(108^2 = 2^4 \times 3^6\)
طول ضلع المربع = 72 سم
أ- تفكيك العدد 144 إلى جذاء عوامل أولية:
ب- تفكيك العدد 14400 إلى جذاء عوامل أولية:
ج- قيس طول ضلع مربع مساحته 14400 \(m^2\):
د- مجموعة قواسم العدد 144:
القواسم هي: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144.
3- تحديد مجموعة قواسم العدد 54:
قواسم العدد 54 هي: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54.
المجموعة الصحيحة هي: \(\{1;2;3;6;9;18;27;54\}\).
4- أ- أكبر عدد ممكن من المدارس:
هذا يساوي القاسم المشترك الأكبر (GCD) لعدد أشجار الزيتون وأشجار البرتقال.
عدد أشجار الزيتون = 144، عدد أشجار البرتقال = 54.
تفكيك 144: \(2^4 \times 3^2\)
تفكيك 54: \(2 \times 3^3\)
4- ب- عدد الأشجار من كل نوع لكل مدرسة:
أكبر عدد ممكن من المدارس: 18 مدرسة.
عدد أشجار الزيتون لكل مدرسة: 8.
عدد أشجار البرتقال لكل مدرسة: 3.
| KL = 13,4cm | KLM = 60° | KL = 9,6cm |
| LM = 10,6cm | LM = 7cm | LM = 1,3cm |
| KM = 8,1cm | KML = 120° | KM = 7,3cm |
1) \(7,280 \div 56\):
المسألة تطلب حساب \(7280 \div 56\).
ملاحظة: الإجابات المقترحة لا تتطابق مع القيمة 130.
0,1x13x56 = 72.8
0,13x5,6 = 0.728
1,3x5,6 = 7.28
2) م أم (75;20) (المضاعف المشترك الأصغر):
نحلل العددين إلى عواملهما الأولية:
3) تمثيل النقاط K و L و M رؤوسا لمثلث:
يجب أن تحقق أطوال الأضلاع متباينة المثلث: مجموع طولي أي ضلعين أكبر من طول الضلع الثالث.
4) تتقاطع منصفات زوايا المثلث في:
منصفات زوايا المثلث تتقاطع في نقطة واحدة هي مركز الدائرة المحاطة به (Incenter).
5) اللغز العددي:
هذا اللغز يحتوي على شروط متناقضة أو غير واضحة في صياغتها، مما يجعل تحديد العدد مستحيلاً بناءً على الخيارات المعطاة.
بالنظر إلى الخيارات المعطاة:
لا يوجد خيار يطابق جميع الشروط بسبب التناقض في صياغة "عدد أجزائه من الأعشار".
حساب A:
حساب B:
حساب C:
حساب E:
حساب D:
A = 6.5
B = 170.5
C = 88
E = 110.3
D = 180