الأعداد الكسرية: تقديم

سلسلة التمارين - السنة الأولى ثانوي إعدادي

الأستاذ: ياسني نورالدين
المادة: الرياضيات بالثانوي الإعدادي
تمرين 1
اكتب على شكل عدد كسري الأعداد التالية:
\(65\) ؛ \(0\) ؛ \(8,2\) ؛ \(0,001\) ؛ \(159,2351\)
التصحيح
تحويل الأعداد إلى كسور:
\[65 = \frac{65}{1}\]
\[0 = \frac{0}{1}\]
\[8,2 = \frac{82}{10} = \frac{41}{5}\]
\[0,001 = \frac{1}{1000}\]
\[159,2351 = \frac{1592351}{10000}\]
الأجوبة النهائية: \(\frac{65}{1}\) ؛ \(\frac{0}{1}\) ؛ \(\frac{41}{5}\) ؛ \(\frac{1}{1000}\) ؛ \(\frac{1592351}{10000}\)
تمرين 2
باستعمالك للأعداد الكسرية التالية، املأ الجدول التالي:
\(\frac{3}{2}\) \(\frac{475}{5}\) \(\frac{657}{9}\) \(\frac{4}{6}\) \(\frac{575}{6}\) \(\frac{19}{4}\) \(\frac{105}{7}\) \(\frac{1258}{12}\)
التصنيف الأعداد
أعداد تكتب على شكل عدد صحيح .....................................
أعداد تكتب على شكل عدد عشري .....................................
أعداد لا يمكن جعلها صحيحة ولا عشرية .....................................
التصحيح
تحليل كل كسر:
• \(\frac{475}{5} = 95\) (عدد صحيح)
• \(\frac{105}{7} = 15\) (عدد صحيح)
• \(\frac{3}{2} = 1,5\) (عدد عشري)
• \(\frac{4}{6} = \frac{2}{3} \approx 0,666...\) (دوري)
• \(\frac{575}{6} \approx 95,833...\) (دوري)
• \(\frac{19}{4} = 4,75\) (عدد عشري)
• \(\frac{1258}{12} \approx 104,833...\) (دوري)
• \(\frac{657}{9} = 73\) (عدد صحيح)
التصنيف الأعداد
أعداد تكتب على شكل عدد صحيح \(\frac{475}{5}\) ؛ \(\frac{105}{7}\) ؛ \(\frac{657}{9}\)
أعداد تكتب على شكل عدد عشري \(\frac{3}{2}\) ؛ \(\frac{19}{4}\)
أعداد لا يمكن جعلها صحيحة ولا عشرية \(\frac{4}{6}\) ؛ \(\frac{575}{6}\) ؛ \(\frac{1258}{12}\)
تمرين 3
أوجد كتابتين مختلفتين لكل عدد من الأعداد الكسرية التالية:
\(\frac{17}{2}\) \(\frac{245}{35}\) \(\frac{78}{12}\) \(\frac{6}{7}\)
التصحيح
للعدد \(\frac{17}{2}\):
\[\frac{17}{2} = \frac{34}{4} = \frac{51}{6}\]
للعدد \(\frac{245}{35}\):
\[\frac{245}{35} = \frac{7}{1} = \frac{14}{2} = \frac{49}{7}\]
للعدد \(\frac{78}{12}\):
\[\frac{78}{12} = \frac{13}{2} = \frac{39}{6} = \frac{26}{4}\]
للعدد \(\frac{6}{7}\):
\[\frac{6}{7} = \frac{12}{14} = \frac{18}{21} = \frac{24}{28}\]
كل عدد كسري له عدد لا نهائي من الكتابات المكافئة
تمرين 4
أتمم الكتابات التالية:
\(\frac{2}{15} = \frac{...}{90}\) ؛ \(\frac{0}{623} = \frac{...}{...}\) ؛ \(\frac{8}{24} = \frac{...}{...}\) ؛ \(\frac{5}{8} = \frac{...}{85}\) ؛ \(\frac{...}{4} = \frac{432}{100}\)
التصحيح
\(\frac{2}{15} = \frac{...}{90}\):
\[90 \div 15 = 6\] إذن: \[\frac{2}{15} = \frac{12}{90}\]
\(\frac{0}{623} = \frac{...}{...}\):
\[\frac{0}{623} = \frac{0}{1} = 0/\text{أي عدد غير صفر}\]
\(\frac{8}{24} = \frac{...}{...}\):
\[\frac{8}{24} = \frac{1}{3} = \frac{2}{6} = \frac{4}{12}\]
\(\frac{5}{8} = \frac{...}{85}\):
\[85 \div 8 = 10,625 \text{ (ليس عدد صحيح)}\]
هذا التمرين غير صحيح رياضياً
\(\frac{...}{4} = \frac{432}{100}\):
\[\frac{432}{100} = 4.32\] إذن: \[\frac{17.28}{4} = \frac{432}{100}\]
الأجوبة: \(\frac{12}{90}\) ؛ \(\frac{0}{1}\) ؛ \(\frac{1}{3}\) ؛ مستحيل ؛ \(\frac{17.28}{4}\)
تمرين 5
1- اجعل المقام عدداً صحيحاً في كل حالة:
\(\frac{8}{3,2}\) ؛ \(\frac{14}{0,4}\) ؛ \(\frac{345}{37,145}\) ؛ \(\frac{1}{0,0085}\)
2- اجعل البسط والمقام عدداً صحيحاً في كل حالة:
\(\frac{6,1}{2,7}\) ؛ \(\frac{94,32}{47,95}\) ؛ \(\frac{41,645}{66,2}\) ؛ \(\frac{0,065}{2,7}\)
التصحيح
الجزء الأول - جعل المقام صحيحاً:
\[\frac{8}{3,2} = \frac{8}{(32/10)} = \frac{80}{32} = \frac{5}{2}\]
\[\frac{14}{0,4} = \frac{14}{(4/10)} = \frac{140}{4} = 35\]
\[\frac{345}{37,145} = \frac{345}{(37145/1000)} = \frac{345000}{37145}\]
\[\frac{1}{0,0085} = \frac{1}{(85/10000)} = \frac{10000}{85}\]
الجزء الثاني - جعل البسط والمقام صحيحين:
\[\frac{6,1}{2,7} = \frac{61}{27} \text{ (ضرب \(\times 10\))}\]
\[\frac{94,32}{47,95} = \frac{9432}{4795} \text{ (ضرب \(\times 100\))}\]
\[\frac{41,645}{66,2} = \frac{41645}{66200} \text{ (ضرب \(\times 1000\))}\]
\[\frac{0,065}{2,7} = \frac{65}{2700} \text{ (ضرب \(\times 1000\))}\]
نضرب البسط والمقام في نفس القوة من 10 لإزالة الفاصلة
تمرين 6
1- أوجد عدداً كسرياً يساوي \(\frac{36}{42}\) ومقامه \(7\)
2- أوجد عدداً كسرياً يساوي \(\frac{125}{225}\) ومقامه \(9\)
3- أوجد عدداً كسرياً يساوي \(\frac{24}{18}\) وبسطه \(8\)
التصحيح
السؤال الأول:
أولاً نختزل الكسر: \(\frac{36}{42} = \frac{6}{7}\)
\[\frac{36}{42} = \frac{6}{7} \text{ (مقامه 7 بالفعل)}\]
السؤال الثاني:
أولاً نختزل الكسر: \(\frac{125}{225} = \frac{5}{9}\)
\[\frac{125}{225} = \frac{5}{9} \text{ (مقامه 9 بالفعل)}\]
السؤال الثالث:
أولاً نختزل الكسر: \(\frac{24}{18} = \frac{4}{3}\)
نريد كسراً مكافئاً بسطه 8: \(\frac{4}{3} = \frac{8}{6}\)
\[\frac{24}{18} = \frac{8}{6}\]
الأجوبة: \(\frac{6}{7}\) ؛ \(\frac{5}{9}\) ؛ \(\frac{8}{6}\)
تمرين 7
1- اختزل الأعداد الكسرية التالية:
\(\frac{24}{32}\) \(\frac{8}{2}\) \(\frac{235}{140}\) \(\frac{981}{27}\) \(\frac{121}{33}\)
2- اختزل الأعداد الكسرية التالية:
\(\frac{2 \times 5 \times 12}{3 \times 4 \times 10}\) ؛ \(\frac{15 \times 16 \times 49 \times 9}{12 \times 3 \times 25 \times 14}\) ؛ \(\frac{39 \times 45 \times 6}{800 \times 124 \times 9}\)
التصحيح
الجزء الأول:
\[\frac{24}{32} = \frac{3}{4} \text{ (القاسم المشترك الأكبر: 8)}\]
\[\frac{8}{2} = 4 \text{ (القاسم المشترك الأكبر: 2)}\]
\[\frac{235}{140} = \frac{47}{28} \text{ (القاسم المشترك الأكبر: 5)}\]
\[\frac{981}{27} = \frac{109}{3} \text{ (القاسم المشترك الأكبر: 9)}\]
\[\frac{121}{33} = \frac{11}{3} \text{ (القاسم المشترك الأكبر: 11)}\]
الجزء الثاني:
\[\frac{2 \times 5 \times 12}{3 \times 4 \times 10} = \frac{120}{120} = 1\]
\[\frac{15 \times 16 \times 49 \times 9}{12 \times 3 \times 25 \times 14} = \frac{105840}{12600} = \frac{168}{20} = \frac{42}{5}\]
\[\frac{39 \times 45 \times 6}{800 \times 124 \times 9} = \frac{10530}{893600} = \frac{1053}{89360}\]
الأجوبة المختزلة: \(\frac{3}{4}\) ؛ \(4\) ؛ \(\frac{47}{28}\) ؛ \(\frac{109}{3}\) ؛ \(\frac{11}{3}\) ؛ \(1\) ؛ \(\frac{42}{5}\)
تمرين 8
وحد مقامي كل عددين مما يلي (أوجد أصغر مقام موحد ممكن):
\(\frac{12}{7}\) و \(\frac{15}{21}\) ؛ \(\frac{7}{6}\) و \(\frac{14}{9}\) ؛ \(\frac{3}{6}\) و \(\frac{11}{14}\) ؛ \(\frac{2,6}{13}\) و \(\frac{300}{32}\) ؛ \(\frac{3,9}{6,1}\) و \(\frac{5,4}{8,7}\)
التصحيح
المثال الأول: \(\frac{12}{7}\) و \(\frac{15}{21}\)
المقام المشترك الأصغر لـ \(7\) و \(21\) هو \(21\)
\[\frac{12}{7} = \frac{36}{21} \text{ و } \frac{15}{21} = \frac{15}{21}\]
المثال الثاني: \(\frac{7}{6}\) و \(\frac{14}{9}\)
المقام المشترك الأصغر لـ \(6\) و \(9\) هو \(18\)
\[\frac{7}{6} = \frac{21}{18} \text{ و } \frac{14}{9} = \frac{28}{18}\]
المثال الثالث: \(\frac{3}{6}\) و \(\frac{11}{14}\)
المقام المشترك الأصغر لـ \(6\) و \(14\) هو \(42\)
\[\frac{3}{6} = \frac{21}{42} \text{ و } \frac{11}{14} = \frac{33}{42}\]
المثال الرابع: \(\frac{2,6}{13}\) و \(\frac{300}{32}\)
المقام المشترك الأصغر لـ \(13\) و \(32\) هو \(416\)
\[\frac{2,6}{13} = \frac{83.2}{416} \text{ و } \frac{300}{32} = \frac{3900}{416}\]
لتوحيد المقامات نجد المضاعف المشترك الأصغر للمقامين
تمرين 9
قارن العددين في كل حالة باستعمال أحد الرموز: \(=\) أو \(<\) أو \(>\)
\(\frac{7}{5}\) و \(\frac{6}{5}\) ؛ \(\frac{23}{13}\) و \(\frac{12}{26}\) ؛ \(\frac{66}{3}\) و \(\frac{8}{24}\) ؛ \(\frac{2}{1}\) و \(\frac{4}{9}\) ؛ \(\frac{9}{6}\) و \(\frac{14}{4}\) ؛ \(\frac{8}{11}\) و \(\frac{11}{8}\)
\(\frac{457}{9,02}\) و \(\frac{902}{45,7}\) ؛ \(1\) و \(\frac{48}{48}\) ؛ \(17,3\) و \(\frac{37}{2}\) ؛ \(\frac{4}{3}\) و \(\frac{5,12}{1,8}\)
التصحيح
مقارنة الكسور ذات المقام الواحد:
\[\frac{7}{5} > \frac{6}{5} \text{ (المقام واحد، نقارن البسطين)}\]
مقارنة الكسور المختلفة المقامات:
\[\frac{23}{13} \approx 1,77 \text{ و } \frac{12}{26} = \frac{6}{13} \approx 0,46\] إذن: \[\frac{23}{13} > \frac{12}{26}\]
\[\frac{66}{3} = 22 \text{ و } \frac{8}{24} = \frac{1}{3} \approx 0,33\] إذن: \[\frac{66}{3} > \frac{8}{24}\]
\[\frac{2}{1} = 2 \text{ و } \frac{4}{9} \approx 0,44\] إذن: \[\frac{2}{1} > \frac{4}{9}\]
\[\frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1,5 \text{ و } \frac{14}{4} = 3,5\] إذن: \[\frac{9}{6} < \frac{14}{4}\]
\[\frac{8}{11} \approx 0,73 \text{ و } \frac{11}{8} = 1,375\] إذن: \[\frac{8}{11} < \frac{11}{8}\]
\[1 = \frac{48}{48} \text{ (متساويان)}\]
لمقارنة الكسور: نوحد المقامات أو نحولها لأعداد عشرية
تمرين 10
1- رتب الأعداد الكسرية الآتية ترتيباً تزايدياً:
\(\frac{22}{16}\) \(\frac{10}{16}\) \(\frac{09}{16}\) \(\frac{71}{16}\) \(\frac{12}{16}\) \(\frac{16}{16}\)
2- رتب الأعداد الكسرية الآتية ترتيباً تناقصياً:
\(\frac{1}{2}\) \(\frac{7}{6}\) \(\frac{3}{4}\) \(\frac{11}{12}\) \(\frac{4}{3}\)
التصحيح
الجزء الأول - الترتيب التزايدي:
جميع الكسور لها نفس المقام (\(16\))، لذا نرتب حسب البسط:
\[\frac{09}{16} < \frac{10}{16} < \frac{12}{16} < \frac{16}{16} < \frac{22}{16} < \frac{71}{16}\]
الجزء الثاني - الترتيب التناقصي:
نوحد المقامات أولاً. المقام المشترك الأصغر هو \(12\):
\[\frac{1}{2} = \frac{6}{12}\] \[\frac{7}{6} = \frac{14}{12}\] \[\frac{3}{4} = \frac{9}{12}\] \[\frac{11}{12} = \frac{11}{12}\] \[\frac{4}{3} = \frac{16}{12}\]
الترتيب التناقصي:
\[\frac{4}{3} > \frac{7}{6} > \frac{11}{12} > \frac{3}{4} > \frac{1}{2}\]
الترتيب التزايدي: \(\frac{09}{16}, \frac{10}{16}, \frac{12}{16}, \frac{16}{16}, \frac{22}{16}, \frac{71}{16}\)
الترتيب التناقصي: \(\frac{4}{3}, \frac{7}{6}, \frac{11}{12}, \frac{3}{4}, \frac{1}{2}\)
تمرين 11
1- قم بتلوين \(\frac{2}{8}\) من مساحة المستطيل أسفله:

الأبعاد: \(6\text{cm} \times 4\text{cm}\)

2- ما هي مساحة الجزء الملون؟
التصحيح
حساب مساحة المستطيل الكاملة:
\[\text{المساحة الكاملة} = \text{الطول} \times \text{العرض} = 6 \times 4 = 24 \text{ cm}^2\]
حساب الجزء المطلوب تلوينه:
\[\frac{2}{8} = \frac{1}{4} \text{ من المساحة الكاملة}\]
حساب مساحة الجزء الملون:
\[\text{مساحة الجزء الملون} = \left(\frac{1}{4}\right) \times 24 = 6 \text{ cm}^2\]
التحقق من الرسم:
الجزء الملون يجب أن يمثل ربع المستطيل، أي شريط بعرض \(1.5 \text{ cm}\)
مساحة الجزء الملون = \(6 \text{ cm}^2\)
تمرين 12
حدد الأخطاء المرتكبة وقم بتصحيحها في كل حالة:
1- كل عدد كسري هو عدد عشري
2- كل عدد يحتوي على الفاصلة هو عدد عشري
3- مهما كان العددين الصحيحين \(a\) و \(b\) فإن: \(a/b\) عدد كسري
4- لدينا: \(\frac{1}{4} = 4\)
5- لدينا: \(\frac{12}{0} = 0\)
التصحيح
خطأ 1: كل عدد كسري هو عدد عشري
التصحيح: ليس كل عدد كسري هو عدد عشري. مثلاً: \(\frac{1}{3} = 0,333...\) (دوري)
خطأ 2: كل عدد يحتوي على الفاصلة هو عدد عشري
التصحيح: الأعداد الدورية تحتوي على فاصلة لكنها ليست أعداد عشرية
خطأ 3: مهما كان \(a\) و \(b\) فإن \(\frac{a}{b}\) عدد كسري
التصحيح: يجب أن يكون \(b \neq 0\)، لأن القسمة على الصفر غير معرفة
خطأ 4: \(\frac{1}{4} = 4\)
التصحيح: \(\frac{1}{4} = 0,25\) وليس \(4\)
خطأ 5: \(\frac{12}{0} = 0\)
التصحيح: \(\frac{12}{0}\) غير معرف، لأن القسمة على الصفر مستحيلة
القاعدة الذهبية: لا يمكن القسمة على الصفر أبداً!