الكسور - درس شامل

📖 تعريف الكسر

الكسر هو عدد يمثل جزءًا من الكل أو نسبة بين عددين صحيحين

الكسر يُكتب على الشكل:

a/b

حيث:

• a يسمى البسط (المقسوم)

• b يسمى المقام (المقسوم عليه)

• b ≠ 0 (المقام لا يساوي الصفر أبداً)

📚 أمثلة:

• 3/4 ← ثلاثة أرباع

• 5/8 ← خمسة أثمان

• 7/12 ← سبعة أجزاء من اثني عشر

✍️ الكتابات المختلفة للكسر

🔄 الكسور المتكافئة:

كسران أو أكثر يمثلان نفس القيمة ولكن بأشكال مختلفة

📚 أمثلة على الكسور المتكافئة:

1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10

كلها تمثل النصف

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12 = 10/15

كلها تمثل ثلثين

3/4 = 6/8 = 9/12 = 12/16 = 15/20

كلها تمثل ثلاثة أرباع

⚡ تبسيط الكسور

تبسيط الكسر يعني إيجاد أبسط صورة للكسر بقسمة البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر (PGCD)

🔧 طريقة التبسيط:

1. نجد القاسم المشترك الأكبر للبسط والمقام

2. نقسم البسط والمقام على هذا القاسم

a/b = (a÷d)/(b÷d)

حيث d هو القاسم المشترك الأكبر

📚 أمثلة على التبسيط:

12/18

PGCD(12,18) = 6

12÷6 = 2, 18÷6 = 3

النتيجة: 2/3

24/36

PGCD(24,36) = 12

24÷12 = 2, 36÷12 = 3

النتيجة: 2/3

15/25

PGCD(15,25) = 5

15÷5 = 3, 25÷5 = 5

النتيجة: 3/5

🔍 مقارنة الكسر مع الواحد الصحيح

🎯 قواعد المقارنة مع الواحد:

إذا كان البسط < المقام ⟸ الكسر < 1

إذا كان البسط = المقام ⟸ الكسر = 1

إذا كان البسط > المقام ⟸ الكسر > 1

📚 أمثلة:

3/5 → 3 < 5

إذن: 3/5 < 1

🔸 كسر أصغر من الواحد

7/7 → 7 = 7

إذن: 7/7 = 1

🔸 كسر يساوي الواحد

9/4 → 9 > 4

إذن: 9/4 > 1

🔸 كسر أكبر من الواحد

⚖️ مقارنة كسرين - جميع الحالات

📋 الحالة الأولى: نفس المقام

إذا كان المقامان متساويان، نقارن البسطين

مثال: 3/7 و 5/7

بما أن 3 < 5 إذن 3/7 < 5/7

📋 الحالة الثانية: نفس البسط

إذا كان البسطان متساويان، المقام الأصغر يعطي كسراً أكبر

مثال: 4/3 و 4/7

بما أن 3 < 7 إذن 4/3 > 4/7

📋 الحالة الثالثة: مقامان مختلفان

نوحد المقامات ثم نقارن البسطين

مثال: 2/3 و 3/4

المقام المشترك: 12

2/3 = 8/12 و 3/4 = 9/12

بما أن 8 < 9 إذن 2/3 < 3/4

📋 الحالة الرابعة: المقارنة مع كسر مرجعي

نستخدم كسوراً مرجعية مثل 1/2 أو 1

مثال: 3/8 و 5/9

3/8 < 1/2 (لأن 3 < 4)

5/9 > 1/2 (لأن 5 > 4.5)

إذن 3/8 < 5/9

🔟 الكسور العشرية

الكسر العشري هو كسر يمكن كتابته على شكل عدد عشري منته

🔍 كيفية التعرف على الكسر العشري:

📌 الطريقة الأولى: التبسيط

نبسط الكسر إلى أبسط صورة، إذا كان المقام يحتوي فقط على العوامل 2 و 5، فهو كسر عشري

مثال: 12/20 = 3/5 ← المقام 5 (عامل أولي) ← كسر عشري

📌 الطريقة الثانية: الضرب في قوى 2 أو 5

نحاول جعل المقام قوة للعدد 10 بضرب البسط والمقام في قوى مناسبة للعددين 2 أو 5

مثال: 3/8 = 3×125/8×125 = 375/1000 = 0.375

(ضربنا في 125 = 5³ لنحصل على 8×125 = 1000 = 10³)

📚 أمثلة على الكسور العشرية:

1/2 = 5/10 = 0.5

ضربنا في 5/5

3/4 = 75/100 = 0.75

ضربنا في 25/25

7/20 = 35/100 = 0.35

ضربنا في 5/5

9/25 = 36/100 = 0.36

ضربنا في 4/4

❌ أمثلة على كسور غير عشرية:

1/3

المقام 3 ليس من مضاعفات 2 أو 5

النتيجة: 0.333... (عدد عشري دوري)

2/7

المقام 7 ليس من مضاعفات 2 أو 5

النتيجة: 0.285714... (عدد عشري دوري)

📏 وضع الكسور على المستقيم المدرج

لوضع كسر على المستقيم المدرج، نحتاج إلى تقسيم الوحدة حسب المقام ثم أخذ عدد الأجزاء حسب البسط

🎯 مثال: وضع الكسور التالية على المستقيم

1/4, 1/2, 3/4, 5/4

0

1/4

1/2

2/4

3/4

1

4/4

🔸 للكسر 5/4 = 1.25:

0

1

2

5/4

📝 خطوات وضع كسر على المستقيم:

1. نحدد موضع الصفر والواحد على المستقيم

2. نقسم المسافة بين 0 و 1 إلى عدد من الأجزاء المتساوية = المقام

3. نعد عدداً من هذه الأجزاء = البسط

4. إذا كان الكسر > 1، نمتد إلى ما بعد الواحد