يُباع حاسوب بسعر 12600 فرنك. يُدفع ثلث سعره عند الطلب، وخُمس عند التسليم، والباقي على عشرة أقساط شهرية متطابقة.
1) ما هو الكسر من سعر الحاسوب الذي يمثله مبلغ القسط الشهري الواحد؟
2) احسب مبلغ القسط الشهري الواحد.
أولاً، احسب الكسر الإجمالي الذي تم دفعه (عند الطلب والتسليم). ثم، اطرح هذا الكسر من 1 (الذي يمثل السعر الكامل) لإيجاد الكسر المتبقي. هذا الكسر المتبقي سيتم توزيعه على 10 أشهر.
1) الكسر المدفوع = \[\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5}\]. وحّد المقامات لإيجاد المجموع.
2) الكسر المتبقي = \[1 - (\text{الكسر المدفوع})\].
3) كسر القسط الواحد = \[(\text{الكسر المتبقي}) \div 10\].
4) لحساب المبلغ، اضرب السعر الإجمالي (12600) في كسر القسط الواحد.
الكسر المدفوع = \[\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} = \dfrac{5}{15} + \dfrac{3}{15} = \dfrac{8}{15}\]
الكسر المتبقي للدفع = \[1 - \dfrac{8}{15} = \dfrac{7}{15}\]
1) كسر القسط الواحد = \[\dfrac{7}{15} \div 10 = \dfrac{7}{15} \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{7}{150}\]
2) مبلغ القسط الواحد = \[12600 \times \dfrac{7}{150} = \dfrac{12600 \times 7}{150} = 84 \times 7 = 588\] فرنك.
اكتب التعابير التالية على شكل قوى بسيطة.
\[A=(2\times 3)^{-4}\times(2^{3})^{-2}\times 3^{2}\times 2^{-2}\]
\[B=(7^{-3}\times 2^{4})^{-2}\times(7^{3})^{-2}\times 21\times 3\]
\[C=\dfrac{2^{3}\times 3^{-2}\times(2^{-1})^{3}\times 3^{3}}{(3^{2})^{2}\times(2^{2}\times 3)^{+3}}\]
استخدم قواعد القوى: \[(a\times b)^n = a^n \times b^n\], \[(a^n)^m = a^{n \times m}\], \[a^n \times a^m = a^{n+m}\], و \[\dfrac{a^n}{a^m} = a^{n-m}\]. قم بتجميع القوى التي لها نفس الأساس.
بالنسبة لـ A:
\[A = (2^{-4} \times 3^{-4}) \times (2^{3 \times -2}) \times 3^2 \times 2^{-2}\]
\[A = 2^{-4} \times 3^{-4} \times 2^{-6} \times 3^2 \times 2^{-2}\]
\[A = (2^{-4} \times 2^{-6} \times 2^{-2}) \times (3^{-4} \times 3^2)\]
\[A = 2^{-4-6-2} \times 3^{-4+2}\]
\[A = 2^{-12} \times 3^{-2}\]
\[B = (7^6 \times 2^{-8}) \times 7^{-6} \times (3 \times 7) \times 3 = (7^6 \times 7^{-6} \times 7^1) \times 2^{-8} \times (3^1 \times 3^1) = 7^1 \times 2^{-8} \times 3^2\]
\[C = \dfrac{2^3 \times 3^{-2} \times 2^{-3} \times 3^3}{3^4 \times 2^6 \times 3^3} = \dfrac{2^0 \times 3^1}{3^7 \times 2^6} = 2^{-6} \times 3^{-6}\]
1) اكتب التعابير التالية على شكل \[2^{n}\times 3^{m}\times 5^{p}\], حيث n, m, p أعداد صحيحة.
\[C=12\times 36\times 6^{-5}\times 100\times 5^{-3}\]
2) أعط كتابة مبسطة لـ E و F حيث a, b, c, n, m لا تساوى الصفر.
\[E=\dfrac{a^{2}\times(bc^{3})^{4}}{a^{-2}\times b^{2}\times c^{2}}\]
\[F=\dfrac{n^{-3}\times(n\times m)^{3}\times n^{6}}{m^{+5}\times n^{-8}\times m^{-7}}\]
ابدأ بتفكيك كل عدد غير أولي إلى جداء عوامله الأولية (مثلاً: \[12 = 2^2 \times 3\], \[100 = 10^2 = (2 \times 5)^2\]). ثم استخدم قواعد القوى لتجميع الأساسات المتشابهة.
1) \[C = (2^2 \times 3) \times (2^2 \times 3^2) \times (2 \times 3)^{-5} \times (2^2 \times 5^2) \times 5^{-3}\]
\[C = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 2^2 \cdot 3^2 \cdot 2^{-5} \cdot 3^{-5} \cdot 2^2 \cdot 5^2 \cdot 5^{-3}\]
الآن قم بجمع أسس كل أساس على حدة.
2) \[E = \dfrac{a^2 \times b^4 c^{12}}{a^{-2} \times b^2 \times c^2} = a^{2 - (-2)} \times b^{4-2} \times c^{12-2}\]
1) \[C = 2^{2+2-5+2} \times 3^{1+2-5} \times 5^{2-3} = 2^1 \times 3^{-2} \times 5^{-1}\]
2) \[E = a^4 \times b^2 \times c^{10}\]
\[F = \dfrac{n^{-3} \cdot n^3 \cdot m^3 \cdot n^6}{m^5 \cdot n^{-8} \cdot m^{-7}} = \dfrac{n^6 \cdot m^3}{m^{-2} \cdot n^{-8}} = n^{6-(-8)} \cdot m^{3-(-2)} = n^{14} \cdot m^5\]
حدد إشارة كل من الأعداد التالية:
\[\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{4}\;;\qquad\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{5}\;;\qquad\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-5}\;;\qquad 4^{-8}\;;\qquad -\dfrac{1}{4^{7}}\]
تعتمد إشارة القوة على أمرين: إشارة الأساس (العدد المرفوع للقوة) وزوجية الأس.
- أساس سالب مرفوع لأس زوجي يعطي نتيجة موجبة.
- أساس سالب مرفوع لأس فردي يعطي نتيجة سالبة.
- أساس موجب يعطي دائمًا نتيجة موجبة.
اكتب التعابير التالية على شكل \[a\times 10^{p}\], حيث p عدد صحيح.
\[A=10^{7}\times 10^{-4}\times 10^{2}\]
\[B=5.7\times 10^{-7}\times(10^{-5}\times 10^{+2})^{-2}\]
\[C=105.7\times 10^{-7}-120\times 10^{-7}\]
\[D=2.9\times 10^{-1}-17.8\times 10^{-2}\]
للضرب، اجمع الأسس. للجمع والطرح، يجب أن يكون للحدود نفس قوة العدد 10. إذا لم تكن كذلك، فقم بتعديل أحد الحدود لتوحيد الأسس قبل إجراء العملية.
\[A = 10^{7-4+2}\]
\[B = 5.7 \times 10^{-7} \times (10^{-3})^{-2} = 5.7 \times 10^{-7} \times 10^6\]
\[C = (105.7 - 120) \times 10^{-7}\]
\[D = 2.9 \times 10^{-1} - 1.78 \times 10^{-1} = (2.9 - 1.78) \times 10^{-1}\]
\[A = 10^5\] (أو \[1 \times 10^5\])
\[B = 5.7 \times 10^{-1}\]
\[C = -14.3 \times 10^{-7}\]
\[D = 1.12 \times 10^{-1}\]