(1) ضعف العدد $2^{13}$:

ضعف العدد يعني ضربه في 2

$2 \times 2^{13} = 2^1 \times 2^{13} = 2^{1+13} = 2^{14}$

(2) العدد الذي يقبل القسمة على 4 و باقي قسمته على 25 يساوي 7:

نحتاج لعدد بالشكل: $n = 25k + 7$ حيث $k$ عدد صحيح

ونحتاج أيضا أن يقبل القسمة على 4

نتحقق من الخيارات:

• 17952 ÷ 25 = 718 والباقي 2 ❌
• 4576 ÷ 25 = 183 والباقي 1 ❌
• 54326: نحتاج للتحقق من الباقي عند القسمة على 25

نجرب: $54326 = 25 \times 2173 + 1$, إذن الباقي 1 وليس 7

يبدو أن هناك خطأ في الخيارات المعطاة

(3) حول الزوايا:

بدون الرسم، من الصعب تحديد الإجابة الدقيقة

لكن المفاهيم المهمة:

• الزاويتان المتقابلتان بالرأس متساويتان
• الزاويتان المتتامتان مجموعهما 90°
• منصف الزاوية يقسمها إلى زاويتين متساويتين

(4) مساحة الشكل:

بدون رؤية الشكل، من الصعب تحديد المساحة الصحيحة

لكن إذا كان الشكل مكعباً بضلع 7:

حجم المكعب = $7^3$

مساحة وجه واحد = $7^2$

مساحة كل الوجوه = $6 \times 7^2$

(1) حساب العبارات:

حساب A:

$A = (13^5 \times 19 + 2^{16})^0 \times (5^3 - 1^{13})$

$(13^5 \times 19 + 2^{16})^0 = 1$ (أي عدد أس 0 يساوي 1)

$5^3 = 125$ و $1^{13} = 1$

$A = 1 \times (125 - 1) = 124$

حساب B:

$B = (2^6 - 6^2) + (3^2 + 6^2)$

$2^6 = 64$, $6^2 = 36$, $3^2 = 9$

$B = (64 - 36) + (9 + 36) = 28 + 45 = 73$

(2) تحويل C إلى قوة للعدد 10:

$C = 25^3 \times (2^6)^2 \times (125)^2 \times 10^{10}$

$25 = 5^2$, إذن $25^3 = (5^2)^3 = 5^6$

$(2^6)^2 = 2^{12}$

$125 = 5^3$, إذن $125^2 = (5^3)^2 = 5^6$

$C = 5^6 \times 2^{12} \times 5^6 \times 10^{10} = 5^{12} \times 2^{12} \times 10^{10}$

$5^{12} \times 2^{12} = (5 \times 2)^{12} = 10^{12}$

$C = 10^{12} \times 10^{10} = 10^{22}$

(3) تحويل a و b إلى قوة:

حساب a:

$a = (8^{15} + (2^{15})^3 - 3^7) + (3^7 + 2^{46})$

$8^{15} = (2^3)^{15} = 2^{45}$

$(2^{15})^3 = 2^{45}$

$a = (2^{45} + 2^{45} - 3^7) + (3^7 + 2^{46})$

$a = 2 \times 2^{45} + 2^{46} = 2^{46} + 2^{46} = 2 \times 2^{46} = 2^{47}$

حساب b:

$b = (5^{27} \times 3 - 2^{19}) + (5^{27} \times 2 + 2^{19})$

$b = 5^{27} \times 3 + 5^{27} \times 2 = 5^{27} \times (3 + 2) = 5^{27} \times 5 = 5^{28}$

(4) إذا علمت أن $a+b=2^4$:

ملاحظة: هذا يتناقض مع حساباتنا السابقة، لكن سنستخدم المعطى

حساب L:

$L = 3^3 - a - b = 3^3 - (a + b) = 27 - 2^4 = 27 - 16 = 11$

حساب M:

$M = (5^4 \times a + 3^5) + (5^4 \times b - 3^5)$

$M = 5^4 \times a + 5^4 \times b = 5^4 \times (a + b) = 5^4 \times 2^4 = (5 \times 2)^4 = 10^4$

(1) العدد $XY74$ حيث X و Y رقمان مجهولان:

الشروط المطلوبة:

• العدد زوجي (رقم الآحاد 4 ✓)
• قابل للقسمة على 3 (مجموع الأرقام قابلة للقسمة على 3)
• قابل للقسمة على 5 (رقم الآحاد 0 أو 5، لكن رقم الآحاد 4 ❌)

تصحيح: يبدو أن هناك خطأ في الصيغة. إذا كان العدد $XY7Z$ حيث Z رقم الآحاد:

للقسمة على 5: Z = 0 أو 5

للعدد الزوجي: Z = 0

إذن العدد $XY70$

أ) إيجاد الأعداد:

مجموع الأرقام = X + Y + 7 + 0 = X + Y + 7

للقسمة على 3: X + Y + 7 قابل للقسمة على 3

X + Y + 7 ≡ 0 (mod 3)

X + Y ≡ 2 (mod 3)

الحلول الممكنة:

• X = 0, Y = 2: العدد 0270
• X = 0, Y = 5: العدد 0570
• X = 0, Y = 8: العدد 0870
• X = 1, Y = 1: العدد 1170
• X = 1, Y = 4: العدد 1470
• X = 1, Y = 7: العدد 1770
• وهكذا...

ب) الأعداد القابلة للقسمة على 9:

للقسمة على 9: مجموع الأرقام قابلة للقسمة على 9

X + Y + 7 ≡ 0 (mod 9)

X + Y ≡ 2 (mod 9)

الحلول:

• X = 0, Y = 2: العدد 0270
• X = 1, Y = 1: العدد 1170
• X = 2, Y = 0: العدد 2070
• X = 2, Y = 9: العدد 2970
• X = 3, Y = 8: العدد 3870
• وهكذا...

(2) العدد $a = 3^8 + 3^6$:

أ) إثبات أن a مضاعف للعدد 10:

$a = 3^8 + 3^6 = 3^6(3^2 + 1) = 3^6 \times 10$

$3^6 = 729$

$a = 729 \times 10 = 7290$

بما أن $a = 3^6 \times 10$، فإن a مضاعف للعدد 10

ب) خارج القسمة a على $3^6$:

$\frac{a}{3^6} = \frac{3^8 + 3^6}{3^6} = \frac{3^8}{3^6} + \frac{3^6}{3^6} = 3^2 + 1 = 9 + 1 = 10$

المعطيات:

• $ABC$ مثلث قائم الزاوية في $B$
• $\hat{BCx} = 120°$
• الدائرة $(\mathcal{C})$ مركزها $C$ وشعاعها $CB$

حساب $\hat{ACB}$ و $\hat{BAC}$:

بما أن $\hat{BCx} = 120°$ والزاوية $\hat{ACB}$ مكملة لها على الخط المستقيم:

$\hat{ACB} = 180° - 120° = 60°$

في المثلث $ABC$ القائم في $B$:

$\hat{ABC} = 90°$

$\hat{ACB} = 60°$

$\hat{BAC} = 180° - 90° - 60° = 30°$

(1) خصائص الدائرة والمماس:

الدائرة $(\mathcal{C})$ مركزها $C$ وشعاعها $CB = CE$

المثلث $CBE$ متساوي الساقين: $CB = CE$

$\hat{CBE} = \hat{CEB}$

بما أن $\hat{BCx} = 120°$ و $E$ على $[Cx)$:

$\hat{BCE} = 120°$

في المثلث $CBE$: $\hat{CBE} = \hat{CEB} = \frac{180° - 120°}{2} = 30°$